Existence d’une solution faible pour le probl`eme (4.1)

Le probl`eme dual.

D´efinition 4.2.1 Le probl`eme `a coin, 8 < : L⇤(@)v = f, sur ⌦, C1v|x1=0= g1, sur @⌦1, C2v_|x2=0= g2, sur @⌦2, (4.10)

est appell´e probl`eme dual du probl`eme `a coin (4.1) si pour toutes fonctions r´eguli`eres u et v on a la formule de dualit´e : hL(@)u, vi hu, L⇤(@)vi = 2 X i=1 ⌦ Niu_|xi=0, Civ|xi=0 ↵ +⌦Biu_|xi=0, Miv|xi=0 ↵ ,

o`u les matrices Ni, Ci 2 MN pi⇥N(R) et Mi 2 Mpi⇥N(R) qui apparaissent dans le membre de droite

sont telles que l’on ait la d´ecomposition suivante :

Ai = CiTNi+ MiTBi. (4.11) Proposition 4.2.2 On pose L⇤(@) := @t d X j=1 Aj@j = L(@).

Alors il existe des matrices Ci, Ni 2 MN pi⇥N(R) et Mi 2 Mpi⇥N(R), telles que le probl`eme `a coin

(4.10) soit un probl`eme dual pour le probl`eme `a coin (4.1). De plus, les Ci sont caract´eris´ees par

ker Ci= (Aiker Bi)?, (4.12)

et les Ni sont surjectives et v´erifient

ker Bi\ ker Ni= ker Ai={0} .

D´emonstration : On peut consulter le paragraphe 4.4 de [BG07] pour une d´emonstration de ce r´esultat.

⇤ Propri´et´es du probl`eme dual dans le cas d’un probl`eme sym´etrique strictement dissi- patif.

Th´eor`eme 4.2.2 On suppose que le probl`eme `a coin (4.1) v´erifie les hypoth`eses 4.1.1-4.1.2 et qu’il admet des conditions de bord strictement dissipatives. Alors pour tout choix de matrices C1 et C2

v´erifiant (4.12), le probl`eme dual associ´e d´efini par (4.10) v´erifie les hypoth`eses 4.1.1-4.1.2 et admet aussi des conditions de bord strictement dissipatives.

D´emonstration : Le fait que le probl`eme `a coin dual (4.10) satisfasse les hypoth`eses 4.1.1-4.1.2 est une cons´equence directe de la d´efinition de L⇤(@). On se concentre donc juste ici sur le caract`ere dissipatif de ses conditions de bords. Puisque l’op´erateur dual L⇤(@) est donn´e par L⇤(@) = L(@), on doit montrer que :

Pour ce faire on adapte tr`es l´eg`erement une d´emonstration de [LP60] du cas dissipatif au cas strictement dissipatif. Par l’absurde, on suppose qu’il existe v_{2 ker C}i\ {0}, tel que

hAiv, vi  0.

Alors pour tout u2 ker Bi et pour tout 2 R on a :

hAi(u + v), (u + v)i = hAiu, ui + 2 hAiu, vi + 2hAiv, vi < 0.

En e↵et, le terme hAiu, vi est nul d’apr`es (4.12). Par hypoth`ese, le premier terme est strictement

n´egatif, le dernier n´egatif ou nul.

Puisque l’on a suppos´e ker Bi maximal pour la propri´et´e hAi ·, ·i < 0, il vient que ker Bi +

vect{v} ⇢ ker Bi, c’est-`a-dire que v 2 ker Bi. Or d’apr`es la d´ecomposition (4.11), on a alors

Aiv = Ci⇤Niv et par cons´equent,

hAiv, vi = hNiv, Civi = 0,

car v2 ker Ci. Donc le probl`eme aux limites primal n’est pas strictement dissipatif, d’o`u la contra-

diction recherch´ee.

⇤ Solution faible, d´efinitions et existence.

Dans tout ce qui suit pour 2 R, on notera H l’espace de Hilbert produit d´efini par

H := L2(⌦)_{⇥ L}2(@⌦1)⇥ L2(@⌦2), (4.13)

et muni de la norme du produit :

k(u, ¯u1, ¯u2)k2_H :=kuk2L2_(⌦)+k¯u1k2_L2_(@⌦1)+k¯u2k2_L2_(@⌦2). (4.14)

D´efinition 4.2.2 Soit U = (u, ¯u1, ¯u2)_{2 H et f 2 L}2(⌦). On dit que U est une solution faible de l’´equation L(@)u = f si pour toute fonction v_{2 H}1 _{(⌦) on a la relation :}

hf, viL2_(⌦) hu, L⇤(@)vi_L2_(⌦)= hA₁u¯1, v_|x1=0i_L2_(@⌦1) hA₂u¯2, v_|x2=0i_L2_(@⌦2)

D´efinition 4.2.3 Soit U = (u, ¯u1, ¯u2) 2 H , f 2 L2_{(⌦) et (g}

1, g2) 2 L2(@⌦1)⇥ L2(@⌦2). On dit

que U est une solution faible du probl`eme `a coin (4.1) si U est une solution faible de L(@)u = f au sens de la d´efinition 4.2.2 et si de surcroˆıt (¯u1_{, ¯u}2_{) v´erifie :}

⇢

B1u¯1= g1,

B2u¯2= g2.

Il est clair au vu des d´efinitions qu’une solution faible du probl`eme `a coin (4.1) de trace dans L2_(@⌦

1)⇥ L2(@⌦2) est une solution faible de l’´equation L(@)u = f .

Le th´eor`eme suivant qui montre que le probl`eme `a coin (4.1) admet des solutions faibles suit les travaux de Sarason [Sar62]. Ces travaux di↵`erent des pr´ec´edents r´esultats (cf. [LP60]-[Fri58]-[Fri54]) pour le probl`eme aux limites standard. En e↵et, pour construire une solution faible du probl`eme aux limites standard on cherche une solution faible de l’´equation L(@)u = f sans se soucier de la r´egularit´e de sa trace sur le bord du domaine. La r´egularit´e de la trace est alors obtenue en utilisant

le fait que l’on peut toujours r´egulariser la solution faible et sa trace (sans changer la valeur de cette trace) en r´egularisant seulement dans les variables tangentielles. On obtient alors une solution forte (la r´egularit´e par rapport `a la variable normale ´etant automatiquement donn´ee par l’´equation d’´evolution) dont la trace sur le bord du domaine a bien un sens.

Cette technique semble difficile `a adapter au cas du probl`eme `a coin car pour obtenir assez de r´egularit´e sur la solution on doit r´egulariser dans l’une des variables normales et on change ainsi la valeur de l’une des traces. C’est pourquoi, on cherche une solution faible avec des traces dans L2_{(@⌦) et l’on conclut ensuite par un lemme ”fort=faible” dont la d´emonstration est plus longue}

et technique que dans le cas du demi-espace. Th´eor`eme 4.2.3 Soit f _{2 L}2_{(⌦), (g}

1, g2) un couple de L2(@⌦1)⇥ L2(@⌦1). On suppose que

le probl`eme `a coin (4.1) v´erifie les hypoth`eses 4.1.1-4.1.2 et qu’il admet des conditions de bord strictement dissipatives ; alors (4.1) admet une solution faible U 2 H .

D´emonstration : La d´emonstration de ce r´esultat se base sur les id´ees de [BG07] paragraphe 4.5.3 et de [Sar62].

On introduit l’ensemble

X := L⇤(@)v, C1v|x1=0, C2v|x2=0 avec v2 H

1 _{:= L}⇤_{v avec v2 H}1 _.

D’apr`es le th´eor`eme 4.2.2, le probl`eme `a coin dual de (4.1) v´erifie les hypoth`eses 4.1.1-4.1.2 et admet des conditions de bord strictement dissipatives. En vertu de la proposition 4.2.1, les solutions r´eguli`eres v du probl`eme dual v´erifient l’estimation d’´energie a priori :

kvkH  C kL⇤vkH . (4.15)

Soit (f, g1, g2)2 H on d´efinit la forme lin´eaire ` : X ! R :

`(L⇤v) :=hf, viL2_(⌦)+hM₁v_|x1=0, g₁i_L2_(@⌦1)+hM₂v_|x2=0, g₂i_L2_(@⌦2),

o`u les deux derniers produits scalaires sont des produits scalaires entre vecteurs de taille p1 et p2

respectivement.

D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et l’in´egalit´e de Young on obtient : |`(L⇤v)_{|  kfkL}2_(⌦)kvk_L2 _(⌦)+ c₁kg₁k_L2_(@⌦1)kv_|x1=0k_L2 _(@⌦

1)+ c2kg2kL2(@⌦2)kv|x2=0kL2 (@⌦2)

 C kvkH .

L’estimation (4.15) permet alors de conclure que

|`(L⇤v)_{|  CkL}⇤v_kH .

Ainsi, d’apr`es le th´eor`eme de Hahn-Banach, ` se prolonge par continuit´e `a _H et d’apr`es le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz, il existe un ´el´ement U = (u, u1, u2) 2 H tel que pour tout L⇤v de_H :

`(_L⇤v) =_{hu, L}⇤(@)v_iL2_(⌦)+hu1, C₁v_|x1=0i_L2_(@⌦1)+hu2, C₂v_|x2=0i_L2_(@⌦2). (4.16)

En injectant la d´efinition de `(_L⇤v) dans l’´equation (4.16), on voit que U satisfait : hf, viL2_(⌦) hu, L⇤(@)vi_L2_(⌦) = hg₁, M₁v_|x1=0i + hu1, C₁v_|x1=0i

hg2, M2v|x2=0i + hu

2_{, C}

´equation dans laquelle on va modifier les ´el´ements du bord u1 et u2 en un certain couple (¯u1, ¯u2) de mani`ere `a forcer l’apparition des termes _hA1u¯1, v|x1=0i et hA2u¯

2_{, v}

|x2=0i dans le membre de droite.

Ceci permettra de montrer que U := (u, ¯u1_{, ¯u}2_{) est une solution faible de L(@)u = f .}

On rappelle la d´ecomposition (4.11) :

8i 2 {1, 2}, Ai = CiTNi+ MiTBi.

Les matrices Ni et Bi ´etant surjectives on peut trouver eui et hi deux ´el´ements de L2(@⌦i,RN) tels

que : hgi, Miv_|xi=0i + hu i_{, C} iv_|xi=0i = h(C T i Niuei MiTBihi), v_|xi=0i.

Donc le triplet U := (u, ¯u1, ¯u2) o`u

8i 2 {1, 2}, ¯ui := A_i 1(M_iTBihi CiTNieui), (4.17)

est par construction une solution faible de L(@)u = f .

Pour conclure la d´emonstration et montrer que U = (u, ¯u1_{, ¯u}2_{) est en fait une solution faible du}

probl`eme `a coin (4.1) il suffit donc au vu de la d´efinition 4.2.3 de montrer que ¯u1 et ¯u2 v´erifient les conditions de bords.

On calcule :

Biu¯i = BiA_i 1CiTNiuei+ BiA_i 1MiTBihi. (4.18)

Or BiA_i 1C_iTNi= 0. En e↵et, utilisant les propri´et´es des Ni (cf. proposition 4.2.2), on sait que

ker Bi ker Ni=CN.

Soit u2 ker Bi, on a d’apr`es la d´ecomposition de Ai :

BiA_i 1CiTNiu = BiA_i1 Ai MiTBi u = Biu BiA_i 1MiTBiu = 0.

On montre ensuite que BiA_i 1M_iTBi = Bi. Il suffit de le montrer sur ker Ni. Soit u2 ker Ni, on a

cette fois :

BiA_i 1MiTBiu = BiA_i 1 Ai CiTNi u = Biu.

Par cons´equent, l’´equation (4.18) devient :

Biu¯i = Bihi = gi. (4.19)

Ainsi U est une solution faible du probl`eme `a coin (4.1).

⇤ Afin de finir de d´emontrer le th´eor`eme 4.2.1, maintenant que l’existence d’une solution faible est d´emontr´ee, il ne reste plus qu’`a ´etablir l’unicit´e de cette solution faible et `a montrer qu’elle v´erifie l’estimation d’´energie a priori. La fin de la d´emonstration passe par le th´eor`eme ”fort=faible” suivant.