On pose
⌦ := (x1, x2)2 R2\ x1 > 0, x2 > 0 ,
@⌦1 := ⌦\ {x1 = 0} , et @⌦2 := ⌦\ {x2 = 0} .
Pour T > 0, on introduit :
Dans tout ce qui suit,L d´esigne le symbole de l’op´erateur L(@), i.e. pour ⌧ 2 R et ⇠ 2 R2 : L(⌧, ⇠) := ⌧ + 2 X j=1 ⇠jAj.
La vari´et´e caract´eristique V de l’op´erateur L(@) est alors donn´ee par V := (⌧, ⇠)2 R ⇥ R2\ det(L(⌧, ⇠)) = 0 .
On se place dans la classe des op´erateurs hyperboliques `a multiplicit´e constante, c’est-`a-dire que l’on suppose que l’hypoth`ese suivante est satisfaite :
Hypoth`ese 6.2.1 Il existe un entier q 1, des fonctions analytiques surR2\ {0} `a valeurs r´eelles ainsi que des entiers positifs ⌫1, ..., ⌫q tels que
8⇠ 2 S1, det 0 @⌧ + 2 X j=1 ⇠jAj 1 A = q Y k=1 (⌧ + k(⇠))⌫k,
avec 1(⇠) < ... < q(⇠), et les valeurs propres k(⇠) de P2j=1⇠jAj sont semi-simples.
On fait aussi l’hypoth`ese que le bord de ⌦ est non caract´eristique : Hypoth`ese 6.2.2 Les matrices A1 et A2 sont inversibles.
On note pj le nombre de valeurs propres positives (compt´ees avec la multiplicit´e) de la matrice Aj.
Sous l’hypoth`ese 6.2.2, on peut d´efinir les matrices r´esolvantes : A1(⇣) := A11( I + i⌘A2) ,
A2(⇣) := A21( I + i⌘A1) ,
o`u ⇣ d´esigne un ´el´ement de l’espace des fr´equences :
⌅ :={⇣ = ( = + i⌧, ⌘) 2 C ⇥ R, 0} \ {(0, 0)} .
Puisque cela sera utile par la suite, on introduit aussi ⌅0 le bord de l’ensemble des fr´equences ⌅,
c’est-`a-dire
⌅0:= ⌅\ { = 0} .
Pour j = 1, 2, ⇣2 (⌅ \ ⌅0), on note Ejs(⇣) le sous-espace stable de la matrice r´esolvanteAj(⇣) et
Eu
j(⇣) son sous-espace instable. Le sous-espace stable Ejs(⇣) est de dimension pj, tandis que le sous-
espace instable Eju(⇣) est de dimension N pj. On rappelle le th´eor`eme suivant dˆu `a Kreiss [Kre70]
et ensuite g´en´eralis´e par M´etivier [M´et00] aux syst`emes hyperboliques `a multiplicit´e constante : Th´eor`eme 6.2.1 Sous les hypoth`eses 6.2.1 et 6.2.2, pour tout ⇣ 2 ⌅, il existe un voisinage V de ⇣ dans ⌅, des entiers L1, L2 1, deux partitions N = ⌫1,1+ ... + ⌫1,L1 = ⌫2,1+ ... + ⌫2,L2 tels que
⌫1,l, ⌫2,l 1, ainsi que deux matrices T1, T2 inversibles r´eguli`eres surV telles que l’on ait :
8⇣ 2 V, T1(⇣) 1A1(⇣)T1(⇣) = diag ⇣ A1,1(⇣), ...,A1,⌫1,L1(⇣) ⌘ , T2(⇣) 1A2(⇣)T2(⇣) = diag ⇣ A2,1(⇣), ...,A2,⌫2,L2(⇣) ⌘ , o`u les blocs Aj,⌫j,l(⇣) sont de taille ⌫j,l et v´erifient l’une des alternatives suivantes :
ii) Tous les ´el´ements dans le spectre de Aj,⌫j,l(⇣) ont une partie r´eelle strictement positive.
iii) ⌫j,l = 1, Aj,⌫j,l(⇣)2 iR, @ Aj,⌫j,l(⇣)2 R \ {0}, ainsi que Aj,⌫j,l(⇣)2 iR pour tout ⇣ 2 V \ ⌅0.
iv) ⌫j,l > 1, 9kij 2 iR tel que
Aj,⌫j,l(⇣) = 2 6 4 kij i 0 . .. i 0 kij 3 7 5 ,
le coefficient dans le coin inf´erieur gauche de @ Aj,⌫j,l(⇣) est r´eel non nul, et de plus Aj,⌫j,l(⇣) 2
iM⌫i,j(R) pour tout ⇣ 2 V \ ⌅0.
Grˆace `a ce th´eor`eme on peut d´ecrire les quatres types de fr´equences possibles dans ⌅0 pour chacune
des faces du bord :
D´efinition 6.2.1 Pour j = 1, 2, on note :
1) Ej l’ensemble des fr´equences elliptiques c’est-`a-dire l’ensemble des ⇣ 2 ⌅0 telles que le
th´eor`eme 6.2.1 pour la matrice Aj(⇣) est v´erifi´e avec des blocs de type i) et ii) seulement.
2) Hj l’ensemble des fr´equences hyperboliques c’est-`a-dire l’ensemble des ⇣ 2 ⌅0 telles que le
th´eor`eme 6.2.1 pour la matrice Aj(⇣) est v´erifi´e avec des blocs de type iii) seulement.
3)EHj l’ensemble des fr´equences elliptico-hyperboliques c’est-`a-dire l’ensemble des ⇣2 ⌅0 telles
que le th´eor`eme 6.2.1 pour la matrice Aj(⇣) est v´erifi´e avec un bloc de type i), un de type ii) et au
moins un bloc de type iii) mais aucun de type iv).
4) Gj l’ensemble des fr´equences de glancing c’est-`a-dire l’ensemble des ⇣ 2 ⌅0 telles que le
th´eor`eme 6.2.1 pour la matrice Aj(⇣) est v´erifi´e avec au moins un bloc de type iv).
On a donc les partitions suivantes du bord de l’espace des fr´equences : ⌅0 =Ej[ EHj[ Hj[ Gj.
L’analyse faite dans [Kre70] et dans [M´et00] permet de d´emontrer que les sous-espaces stables E1s(⇣) et Es
2(⇣) admettent un prolongement par continuit´e sur ⌅0. De plus si ⇣ 2 ⌅0\ (G1[ G2) on a la
relation : CN = Es 1(⇣) E1u(⇣) = E2s(⇣) E2u(⇣), (6.2) et pour j 2 {1, 2} : Esj(⇣) = Ejs,e(⇣) Ejs,h(⇣) Eju(⇣) = Eju,e(⇣) Eu,hj (⇣).
o`u Ejs,e(⇣) (resp. Eu,ej (⇣)) est l’espace propre g´en´eralis´e associ´e aux valeurs propres de Aj(⇣) de
partie r´eelle strictement n´egative (resp. positive), et o`u les espaces Ejs,h(⇣) et Eju,h(⇣) sont des sommes directes de sous-espaces propres deAj(⇣) associ´es `a des valeurs propres imaginaires pures.
En fait, on peut donner une d´ecomposition plus pr´ecise des espaces Ejs,h(⇣) et Eju,h(⇣). En e↵et, soit i!m,j une valeur propre imaginaire pure de Aj(⇣) ; on a alors det(⌧ + ⌘A1+ !m,2A2) =
det(⌧ + !m,1A1+ ⌘A2) = 0, et d’apr`es l’hypoth`ese d’hyperbolicit´e `a multiplicit´e constante, on sait
qu’il existe un indice km,j tel que :
⌧ + km,2(⌘, !m,2) = ⌧ + km,1(!m,1, ⌘) = 0.
D´efinition 6.2.2 L’ensemble des phases entrantes (resp. sortantes) pour la face @⌦1, not´e E1
(resp. S1), est l’ensemble des indices m tels que la vitesse de groupe vm :=r km,1(!m,1, ⌘) v´erifie
@1 km,1(!m,1, ⌘) > 0 (resp. @1 km,1(!m,1, ⌘) < 0).
De la mˆeme fa¸con, l’ensemble des phases entrantes (resp. sortantes) pour la face @⌦2, not´e E2
(resp. S2), est l’ensemble des indices m tels que la vitesse de groupe vm :=r km,2(⌘, !m,2) v´erifie
@2 km,2(⌘, !m,2) > 0 (resp. @2 km,2(⌘, !m,2) < 0).
Avec cette d´efinition on peut ´ecrire la d´ecomposition suivante des espaces Ejs,h(⇣) et Eju,h(⇣) : Lemme 6.2.1 Pour j = 1 ou 2, pour tout ⇣ 2 Hj [ EHj, on a
E1s,h(⇣) = m2E1kerL(⌧, !m,1, ⌘), E1u,h(⇣) = m2S1kerL(⌧, !m,1, ⌘), (6.3)
E1s,h(⇣) = m2E1A1kerL(⌧, !m,1, ⌘), E1u,h(⇣) = m2S1A1kerL(⌧, !m,1, ⌘), (6.4)
E2s,h(⇣) = m2E2kerL(⌧, ⌘, !m,2), E2u,h(⇣) = m2S2kerL(⌧, ⌘, !m,2), (6.5)
E2s,h(⇣) = m2E2A2kerL(⌧, ⌘, !m,2), E
u,h
2 (⇣) = m2S2A2kerL(⌧, ⌘, !m,2), (6.6)
On renvoie par exemple `a [CG10] pour une d´emonstration de ce lemme.
Enfin, on donne les di↵´erentes conditions que doivent satisfaire les matrices intervenant dans les conditions de bord sur les faces @⌦1, @⌦2. En premier lieu,
Hypoth`ese 6.2.3 Les matrices B1 et B2 sont de rang maximal p1 et p2 respectivement, o`u p1 et
p2 sont les nombres de valeurs propres strictement positives de A1 et A2 respectivement compt´ees
avec leurs multiplicit´es.
En second lieu, afin d’avoir une chance que les deux probl`emes aux limites classiques composant le probl`eme (6.1) soient bien pos´es, on supposera que le probl`eme (6.1) v´erifie la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme sur chacune des faces du bord. C’est-`a-dire que l’hypoth`ese suivante est satisfaite :
Hypoth`ese 6.2.4 Pour tout ⇣ 2 ⌅ on a
ker B1\ E1s(⇣) = ker B2\ E2s(⇣) ={0} .
En particulier la restriction de B1(resp. B2) au sous-espace stable E1s(⇣) (resp. E2s(⇣)) est inversible
d’inverse not´ee 1(⇣) (resp. 2(⇣)), uniform´ement born´ee par rapport `a ⇣ 2 ⌅.
On rappelle ici un r´esultat de Strang [Str69], qui ´etablit que si le nombre d’´equations N est ´egal `a 2, alors, la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme est ´equivalente au caract`ere strictement dissipatif des conditions de bords (car ces syst`emes peuvent s’´ecrire sous une forme sym´etrique). C’est pourquoi dans les exemples des paragraphes 6.4, 6.5 et 6.6, on ne v´erifiera pas la condition de Kreiss-Lopatinskii uniforme mais seulement le caract`ere strictement dissipatif des matrices B1et B2.
Pour assurer le caract`ere bien pos´e du probl`eme `a coin, plus pr´ecis´ement pour pouvoir appliquer le lemme ”fort=faible” de Sarason [Sar62], on aura besoin de l’hypoth`ese suivante :
Hypoth`ese 6.2.5 Les valeurs propres r´eelles de la matrice A11A2 associ´ees `a des blocs de Jordan
sont strictement n´egatives.
Dans tout ce qui suit, afin de s’assurer que les amplitudes dans les d´eveloppements BKW sont r´eguli`eres, on aura besoin de se restreindre `a des termes sources sur les faces du bord plats au coin. On a donc choisi de travailler avec des termes sources sur le bord dans l’ensemble suivant :
Hp1:=ng2 H1(R ⇥ R+)\ 8k 2 N, @xkg(t, x)|x=0 = 0
o
. (6.7)