Le spe tre de puissan e est le arre de la transformee de Fourier du signal. Pour le al uler nous utilisons la transformee de Fourrier dis rete ('FFT' pour 'Fast Fourrier
106 CHAPITRE 4. CORRELATIONDES FLUCTUATIONS DU FDIE
Fig. 4.1:Spe tredepuissan edes u tuationsduFDIEpreditparPerrottaetal.(2003)a170
µm
pour les orrelations produites par les galaxies 'starburst'. La ligne horizontale represente leniveau de bruit poissonien des u tuations a 7400 Jy2
/sr (Laga he &Puget, 2000), pour les sour essoustraites jusqu'aun ux de100 mJy.
Transform' en anglais). On trouvera en annexe le detail du passage de la transformee ontinue a la transformee dis rete, ave les dierents oe ients de normalisation pos-sibles. La 'FFT' impose l'utilisationd'une arte re tangulaireet sans dis ontinuite forte. Eneet,unefortedis ontinuiteoumar hed'es alierdanslesignalequivautaunefon tion de Dira et ree du bruitatouteslesfrequen es danslatransformee deFourier;l'analyse devientpar onsequent impossible.
Nousdevonsdon extrairedes artesdes hampsFIRBACKlesplus grandsre tangles onnexes
1
. Nous perdons de e fait une partie de l'informationstatistique du iel, et en parti ulier,nous perdonslebene ed'avoira esauxe helleslesplus grandes dela arte (voir sur la gure 3.1 la forme du hamp FN1). Pourtant, la possibilite de des endre aux basses frequen es est primordiale pour la dete tion des orrelations. Dans ette se -tion, jevaisdevelopper unete hnique qui permettraitd'utiliserla totalited'une arte du iel de forme quel onque et de plus, de pouvoir masquer les sour es tres brillantes ( ar les methodes lassiques de soustra tion de sour es peuvent laisser des residus et qu'une sour e tres brillanteagit ommeune fon tion de Dira dans la arte).
La te hnique :
Soit une arte d'une vue du iel, par exemple elle de la gure 3.1, dont on mettrait les sour esbrillantesalavaleurzero.Soitune artedemasque,delamemetailleque elledu iel, de nie telle que les zones d'interet astrophysique portent la valeur 'un' et les zones non interessantes sont a la valeur 'zero', par exemple les bords non de nis de la arte et les sour es brillantes que l'on souhaite masquer. Le signal de la arte que l'on analyse peut etre vu omme le produit, pixel a pixel, d'une arte du iel parfaite (re tangulaire et sans trous) et d'une arte de masque indiquant les zones a ne pas prendre en ompte (a ause d'une ouverture du ielnon omplete oude sour estrop brillantes) :
arte = iel
×
masque. (4.1)Notre in onnue est le iel, sans les eets de geometrie ontenu dans le masque. Sa hant quelamultipli ationstandarddevientunproduitde onvolutiondansl'espa ere iproque, le spe tre de puissan e du ielparfait est don onvolue ave le spe tre de puissan e de la arte du masque. Pour les de onvoluer, nous allons ee tuer une division entre leur transformee de Fourier inverse, 'est-a-dire lesfon tions d'auto orelation.Les operations sont aee tuer selon lesetapes suivantes :
✸
1re
etape : Cal ulerlespe tre de puissan e,
P (~k)
,de la arte a analyseret de elle du masque.Pcarte(~k) = |F F T (carte)|2
(4.2)Pmasque(~k) = |F F T (masque)|2
(4.3) 1108 CHAPITRE 4. CORRELATIONDES FLUCTUATIONS DU FDIE
✸
2e
etape :Cal uler lesfon tions d'auto orrelation,
ξ(~r)
.ξcarte(~r) = F F T−1(Pcarte)
(4.4)ξmasque(~r) = F F T−1(Pmasque)
(4.5)On peut egalement al uler la fon tiond'auto orrelation dire tement, pixela pixel, sans passer par la premiere etape. Cependant, nous utilisons ette pro edure pour la rapidite de al ul de l'algorithme de transformee de Fourier,la 'FFT'.
✸
3e
etape:Ee tuer ladivision de la fon tiond'auto orrelationde la arte par elle du masque.
ξciel(~r) = ξcarte(~r)
ξmasque(~r)
(4.6)✸
4e
etape :Retouner dans l'espa e du spe tre de puissan e.
Pciel(~k) = F F T (ξciel)
(4.7)Cette etape est fa ultative puisque l'analyse des donnees peut se faire soit en terme de fon tion d'auto orrelation soit en terme de spe tre de puissan e. Nous restons oherent ave nous-meme en utilisantle spe tre de puissan e.
A un moment donne de e pro essus, il faut transformer lesfon tions a deux dimen-sions en fon tions a une dimension, en les moyennant sur des anneaux on entriques. Faire la moyenne le plus tot possible permet de ne pas propager du bruit inutilement. Nousee tuons ette operation apres lapremiere etape.
De la theorie a la pratique :
La transformee de Fourier d'une fon tion a symetrie radiale s'appelle une transformee de Hankel (Bra ewell, 1830). Il nous faut don rempla er les transformees de Fourier dis retes, FFT, par des transformees de Hankel, a partir de l'etape n
◦
2.La de nition de la transformee de Hankel,
H
, est rappelee a l'annexe A.6. Nous avons mis en pla e un algorithmepour al ulerlatranformee de Hankel dis rete. Lapremiere proprieteque et algorithme doit satisfaire est de redonner l'identite lors d'une transformation puis de sa transformationinverse :H−1(H(f (r))) = f (r)
(4.8)4.3. LES DIFFERENTES COMPOSANTES 109
peu moins en ourageants. Pour des fon tions en 1/r
2
ou 1/r
3
, les resultats ne sont plus oherents.Ce inous pose un probleme,d'autantplus queles irrusquidominentla arte du iel ont un spe tre de puissan e en k
−3
. Nous n'avons pas reussi a surmonter es di ultesnumeriques.
N'ayant pu resoudre les problemes te hniques qui se sont poses, nous avons ontinue l'analyse des omposantes de la arte du iel en travaillant sur le plus grand re tangle onnexe de la artede haque hamp FIRBACK.