La T ransformation en ondelette

Latransform
ee en ondelette est un outil tresutilis
edans letraitement du signal (net-toyage du bruit, d
ete tion d'objets), et la ompression de donn
ees. Le prin ipe est de onvoluer le signal ave un noyau de onvolution ou ondelette,de manierer
e ursive.

Lors de lad
e ompositionenondelette d'unsignal, elui- iest onvolu
epar deux fon -tions : une fon tion d'ondelette (graphe du bas de la gure 5.6, par exemple), ltre passe-haut,quipermetded
ete terlesd
etailsdusignalal'
e helledonn
eeded
e omposition, etune fon tion d'
e helle (graphe du haut de lagure 5.6), ltrepasse-bas, qui permet d'obtenirlesignal liss
ede r
ef
eren ealameme
e helle de d
e omposition.Lepro essus est r
eit
er
eapartirdusignalder
ef
eren epouratteindreleniveausuivantdelad
e omposition

4 .

La d
e omposition est ainsi faite de mani ere hi
erar hique, vers des
e helles de plus en plus grandes, des r
esolutions spe trales de plus en plus fortes, et don des r
esolutions spatiales de plus en plus faibles.

Parexemple,al'
e helleL,lar
esolutionspatialeserar
eduited'unfa teur

2L

parrapport ausignald'origineetsar
esolutionspe traleaugmente dumeme fa teur.(Le hangement d'
e helle peut se faire en dilatantla fon tion d'ondelette,

ψ(^x−b_a )

, en faisant varier le pa-rametre d'
e helle, a, ou d'une maniere plus te hnique, en r
eduisant la taille du signal : suppression d'un pixelsur deux apres la onvolution.)

4

D'une mani eresimpli
ee, on peut
e rirela d
e omposition en ondelette d'unefon tion f(x) omme suit:

f(x)=

Σb,a< ψ(x − b

a ^{), f (x) > ψ}

∗(x − b

a ^).

ψ

estlafon tionde onvolutionet

ψ∗

sa onjugu
ee,

Σb < ψ(x − b), f(x) >

orrespond au produit de onvolutionet donne le oe ientd'ondelette a une
e helledonn
ee,aestleparam etred'
e helle.

Commelemontrelegraphedu bas delagure5.6,labased'ondelettequenous avons utilis
eeestantisym
etrique.Ce hoixpermetded
ete terlesgradients(oud
eriv
eepremiere) du signal, tandis qu'une ondelette sym
etrique permettrait de d
ete ter les d
eriv
ees se- ondes. On peut mieuxs'en rendre ompteave les oe ientsissus d'un d
eveloppement de Taylor:

f′

(x) = ^{−f (x)+f (x+∆x)}_∆x

soit : -1, 1 antisym
etrique.

f′′

(x) = ^{f (x−∆x)−2f (x)+f (x+∆x)}_∆x2

soit: 1,-2,1 sym
etrique.

L'ondelette de Haar, par exemple,est d
enie par les oe ients

(√

2, −^√2)

.

Les m
ethodes de d
e omposition a2D :

Lorsque l'on applique l'analyse en ondelette a des donn
ees a deux dimensions (des images),trois prin ipales m
ethodes de d
e omposition sont envisageables:

La d
e omposition dyadique est une transformation dans laquelle seule la sous-partiede r
ef
eren eest d
e ompos
ee a haque
e helle.L'analyse est ee tu
ee dans lesdeux dire tionsdel'imagea haqueniveaudelad
e omposition.Lenombretotaldesous-parties apres L niveaux de d
e omposition est (3L+1) (gure5.5, haut).

La d
e omposition pyramidale est similaire a la dyadique en e sens que seule la sous-partie de r
ef
eren e est d
e ompos
ee a haque niveau. Mais la transformation est ee tu
ee de maniere ind
ependente dans les deux dire tions de l'image (d
e omposition a tous les niveaux dans une dire tion, puis dans l'autre). La r
esolution n'est don pas identiquesur les deux axes de l'image (saufpour lessous-parties diagonales). Lenombre total de sous-parties apres L niveaux de d
e omposition est

(L + 1)2

(gure 5.5, bas). La d
e omposition uniforme est une d
e omposition dans laquelle ha une des sous-parties est d
e ompos
ee a haque it
eration. Le nombre total de sous-parties apres L niveaux de d
e omposition est don

4L

.

Unedire tionspatialeestasso i
eea haquesous-ensemblede oe ients,selonla dire -tion de onvolutionave labase d'ondelette.Ainsi,la onvolution parla based'ondelette suivantl'axedes

x

orrespondal'op
eration

∂

∂x

etseraasso i
eeauxd
etailshorizontaux, de memepourl'axedes

y

etlesd
etailsverti aux.La onvolutiondanslesdeuxdire tionspar labased'ondelette orrespondal'op
eration

∂2

∂x ∂y

etestasso i
eeauxd
etailsdiagonaux.La onvolution dans lesdeux dire tions par la fon tion d'
e helle nous donnera l'imageliss
ee de r
ef
eren e.

Surl'illustrationdelagure5.7,repr
esentantl'imaged'unpaysagepuissad
e omposition en ondelette, a l'ordre 4, suivant la m
ethode dyadique, on peut re onnatre (au moins a

Fig. 5.5: M
ethodes de d
e omposition : dyadique en haut, pyramidale en bas. Le niveau de gris indique l'
e helle de la d
e omposition.

Fig. 5.6:Fon tionsd'
e helleetd'ondelette n

◦

3deVillasenoret al.(1995), utilis
eesdans notre d
e omposition enondelette.

qu'enplus de l'informationspe traledonn
ee parlesdi
erentes
e helles ded
e omposition, l'informationsur la lo alisationdu signal est onserv
ee entre l'espa e r
eelet l'espa e des oe ientsd'ondelette (moyennant un fa teur de remisea l'
e helle).

Notre hoix :

Notre hoixseporte,d'une partsur labased'ondeletteantisym
etriquen

◦

3deVillasenor et al. (1995) (gure 5.6), ar le gradient nous semble le mieux adapt
e a la d
ete tion de sour es pon tuelles, et d'autre part sur la d
e omposition dyadique pour deux raisons. Premierement, 'est la m
ethode pour laquelle haque sous-ensemble de lad
e omposition possede le maximum de oe ients : l'analyse statistique que l'on ee tuera n'en sera que plus signi ative.Et deuxiement, lar
esolutionvarie de la memefa on dans lesdeux dire tions spatiales, e qui permetde onserverla orr
elation entre lesdeux dire tions de la arte, a haque
e helle. La d
e ompositionpyramidale,pour laquelle la r
esolutiondans

dont les deux axes n'auraient pas la meme dimension physique (par exemple les artes temps-distan e en h
eliosismologie lo ale oul'image d'un spe tre d'absorption/
emission).

Fig. 5.7: Image d'un paysage a gau he et satransform
ee en ondelette a l'ordre quatre, selon lam
ethode ded
e omposition dyadique,a droite.

Dans le document Les fluctuations du fond diffus extragalactique et ses avant-plans, de l'infrarouge au domaine millimétrique (Page 131-134)