Olivier Rivière, doctorant, laboratoire ACTé, Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand, France.
L’objectif de cet atelier est de présenter une situation qui a été construite pour travailler
à remédier à certaines difficultés quand on dénombre une collection d’objets. Qu’est-ce que l’énumération
Dans la continuité du travail pionnier de Guy Brousseau (1984) nous nous appuyons sur Joël Briand (1993; 1999) qui identifie l’énumération comme une connaissance permettant de contrôler une situation de comptage. Pour dénombrer par comptage une collection de ronds
dessiné sur une feuille, il convient d’organiser la mise en correspondance terme à terme de
deux collections : d’un côté, la collection des ronds qui sont dessinés sur la feuille et de
l’autre la collection des mots-nombres de la comptine numérique.
Dans l’extrait de film que nous observons en atelier, le sujet connait la comptine et n’a pas de difficulté dans la mise en œuvre du processus d’association des éléments des deux collections. Sa difficulté réside dans l’oubli d’un des éléments de la collection des ronds
dessinés.
Voici l’algorithme tel qu’il est décrit par Briand (1993).
1- Être capable de distinguer deux éléments différents d'un ensemble donné. 2- Choisir un premier élément de la collection.
3- Énoncer le premier mot nombre (un).
4- Déterminer un successeur dans l'ensemble des éléments non déjà choisis.
5- Attribuer un mot-nombre (successeur du précédent dans une suite de mot-nombres). 6- Conserver la mémoire des choix précédents.
7- Recommencer 3 et 4 en les synchronisant. 8- Savoir que l'on a choisi le dernier élément. 9- Énoncer le dernier mot nombre.
Cet algorithme se présente sous la forme d’une série d’instructions qui doivent être réalisées pas à pas et qui donnent une description du processus de production du cardinal de
l’ensemble.
100
numérique. Cette connaissance intervient dans les étapes 3, 5 et 9.
Si on élimine de l’algorithme de comptage ces trois étapes liées à la connaissance de la comptine, il reste une activité qui ne dépend pas du nombre :
1- Être capable de distinguer deux éléments différents d'un ensemble donné. 2- Choisir un premier élément de la collection.
4- Déterminer un successeur dans l'ensemble des éléments non déjà choisis. 6- Conserver la mémoire des choix précédents.
7- Recommencer 3 et 4 en les synchronisant. 8- Savoir que l'on a choisi le dernier élément.
Cette activité est nécessaire au comptage, et l’extrait de film étudié permet d’observer
une manifestation de sa non-réalisation de cette activité.
Enumérer une collection, c’est donc traiter une fois et une seule chaque élément de cette
collection. Pour que cette contrainte (une fois et une seule) soit réalisée, il va falloir que
l’élève s’organise.
Les sucres : une situation d’énumération
Se pose alors la question de la production d’une situation dans laquelle interviendrait l’énumération sans pour autantque n’interviennent les aspects numériques. Une situation dans
laquelle seule l’énumération interviendrait de manière isolée n’existe pas. Il y a toujours une action minimale à réaliser sur les éléments de la collection. Dans le cas de la situation développée par Briand (1999), cette action consiste à insérer une allumette dans une boite.
Nous allons vous présenter maintenant la situation que nous avons développée pour
travailler sur l’énumération ainsi que le processus que nous avons mis en œuvre pour produire cette situation (Margolinas, Wozniak, & Rivière, 2015, sous presse).
Notre objectif est de produire une situation d’énumération d’une collection d’objets. Nous conservons l’idée d’une collection de ronds dessinés sur une feuille.
Le traitement des éléments de cette collection ne doit pas être de nature numérique. Ce traitement doit consister en la mise en œuvre d’une action qui ne nécessite pas de
connaissance particulière. Dans le cas du comptage, le traitement consistait à associer un rond avec un élément de la collection des mots nombres. Pour notre situation, nous décidons de placer un objet (un sucre dans la situation filmée) sur chaque rond. Le traitement d’un rond
consistera à enlever le sucre qui est posé sur ce rond. Traiter la collection des ronds consiste donc ici à enlever tous les sucres posés sur des ronds. Si, à la fin du traitement, tous les sucres
101
sont enlevés, cela signifiera bien que tous les ronds ont été traités, et donc que la collection des ronds a bien été énumérée.
Revenons maintenant sur une caractéristique de l’énumération que nous n’avons pas
encore intégrée à notre processus de conception. Chaque élément de la collection des ronds doit être traité une fois et une seule. Dans la situation de dénombrement des ronds, le
comptage se déroulait sans que le sujet ne dispose par exemple d’un stylo, stylo qui aurait pu lui permettre de barrer les ronds qu’il avait déjà comptés. L’objectif est de produire une situation avec des caractéristiques identiques du point de vue de l’énumération. Il ne faut donc
pas que le sujet puisse discriminer visuellement les éléments qu’il a déjà traités de ceux qu’il n’a pas encore traités; ou en tout cas pas pendant l’énumération. Nous décidons donc de
cacher chaque rond (et donc chaque sucre) en le recouvrant par un petit chapeau.
Le traitement va donc consister à lever le chapeau, enlever le sucre qui est posé sur le
rond et remettre le chapeau sur le rond. De cette manière, on ne pourra pas voir plus d’un rond
à la fois.
La situation se présente donc de la manière suivante : sur une feuille est disposée une collection de chapeaux. Sous chaque chapeau il y a un sucre et sous chaque sucre il y a un rond dessiné sur une feuille.
Figure 7 : la situation des sucres
Pour gagner il faut ramasser tous les sucres dans les contraintes qui viennent d’être fixées. Donc, il ne faut pas oublier de sucre sous un chapeau et il ne faut pas essayer d’enlever un sucre sous un chapeau qui n’en a déjà plus.
La partie est gagnée si :
—On dit « j’ai fini » après avoir ramassé tous les sucres. La partie est perdue si :
—A la fin de la partie : On dit « j’ai fini» et on constate qu’il reste au moins un sucre
102 —Dans le cours de la partie : On soulève un chapeau et il n’y a pas de sucre sous ce chapeau
Cette situation a été expérimentée auprès de 44 élèves de l’école primaire (de 3 à 11
ans), sur trois supports différents de ronds dessinés sur une feuille. Sur ces 44 élèves, 17 étaient des élèves de maternelle (de 3 à 6 ans).
L’atelier est l’occasion d’observer la procédure mise en œuvre par un élève de
maternelle.
Figure 8 : disposition de la collection des points proposée à l'élève observé Description et analyse de la procédure mise en œuvre par l’élève observé
L’atelier s’appuie sur le visionnage d’un clip vidéo qui rend compte par l’image de la nature des gestes mis en œuvre par l’élève. Il s’agit dans le cadre de ce texte de rendre compte par l’écrit de ce qui est perçu par un observateur.
La description suivante va essayer de rendre compte de la suite des actions réalisées par
l’élève observé en donnant la suite ordonnée des chapeaux qui sont soulevés par cet élève.
Figure 9 : description du premier essai de l'élève observé
Dans ce premier essai, l’élève semble s’être appuyé sur la configuration spatiale pour partitionner sa collection en deux ensembles disjoints, puisqu’à aucun moment de son travail
il ne cherchera à explorer la sous-collection de 4 éléments qui apparait à sa droite. Pour explorer la sous-collection qui apparait à sa gauche, il met en œuvre une stratégie « bord » qui consiste à organiser le balayage des éléments de la collection en choisissant systématiquement les éléments les plus près des bords de la feuille. Il se trompe en soulevant de nouveau
l’élément qu’il avait traité en premier. Cette stratégie trouve en général ses limites sur le repérage des éléments intérieurs. Ici, c’est l’absence de mémorisation de l’origine du traitement qui a engendré l’erreur.
103
Figure 10 : description du second essai de l'élève observé
Lors de ce second essai, l’élève ne réussit toujours pas à énumérer la collection des
ronds. Pour autant, les raisons de son échec sont sensiblement différentes. Dans le premier essai, il échouait car un élément de la collection avait été traité deux fois. Cette fois-ci, il échoue car il reste un élément de la collection qui ne sera pas traité.
Nous pouvons observer que sa stratégie change. Il règle le problème du choix de son origine de balayage en modifiant son premier élément. Lors de son premier essai, il a en fait
choisi l’élément qui était le plus proche de la main qui saisit les chapeaux. L’échec au premier essai lui a permis de transformer cette décision d’opportunité. Son nouveau premier
élément va être le chapeau qui figure dans un coin de la feuille, en haut à gauche. L’appui sur
le partitionnement de la collection en deux sous-collections va être conservé. La stratégie de balayage de la première sous-collection va consister à parcourir cette collection de bas en
haut, tout en continuant de s’appuyer sur des décisions d’opportunités liées à la configuration spatiale. Le choix des deux premiers éléments saisis laisse penser à la mise en œuvre d’une
stratégie de structuration par ligne que le choix du quatrième élément ne conforte pas. Le
choix de ce quatrième élément relève clairement des décisions d’opportunité que nous avons
évoquées et qui semblent être une régularité dans le fonctionnement de cet élève. La première sous-collection est cette fois-ci bien énumérée, ce qui témoigne d’une amélioration de la stratégie mis en œuvre par cet élève. Pour le traitement de la seconde sous-collection, l’élève
observé oublie un élément dans un ensemble de cinq, celui qui est le plus proche de lui. C’est
vraisemblablement lié au choix du premier élément de cette seconde sous-collection qui se trouve être spatialement le plus proche du dernier élément de la première sous-collection.
Les sucres : résultats d’une recherche
Les résultats de ce travail sont en cours d’exploitation. Nous présentons ici seulement
les pistes que nous nous proposons de développer.
Du côté des élèves
Tous les élèves qui ont échoué au premier essai ont accepté de faire un second essai.
104
de modifications. Comme pour l’élève observé sur lequel nous nous sommes appuyés, nous observons une transformation de la manière dont ces élèves s’organisent pour énumérer la
collection des ronds.
Du côté de la situation
L’observation des élèves nous permet de mieux comprendre les stratégies qui peuvent être mises en œuvre pour résoudre ce problème et de mieux identifier certaines variables de
cette situation. Ainsi, nous avons identifié des stratégies qui reposent sur des cheminements
de proche en proche, le repérage de constellations, la structuration en paquets et l’appui sur
les chemins parallèles (par exemple en ligne ou en colonne).
Ce faisant, nous comprenons également mieux les caractéristiques de notre situation. Cela nous permet de pouvoir la décrire en termes de collections et de relations qui unissent ces différentes collections. La description du processus de conception de la situation permet de mieux comprendre la fonction de chacun des collections en jeu dans la situation.
Du côté de l’énumération
La répétition du travail sur ces situations nous a permis de mieux de comprendre ce
qu’est l’énumération. Nous nous sommes affranchis de la limitation initiale qui était la nôtre
de ne pas pouvoir penser l’énumération sans référence au champ numérique.
Nous avons maintenant développé notre capacité à reconnaitre l’énumération dans des
situations très différentes, mathématiques ou non.
Bibliographie
Briand, J. (1993). L'énumération dans le mesurage des collections. Université de Bordeaux I, Bordeaux. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00494623
Briand, J. (1999). Contribution à la réorganisation des savoirs prénumériques et numériques. Étude et réalisation d'une situation d'enseignement de l'énumération dans le domaine prénumérique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19(1), 41-76.
https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00494924
Brousseau, G. (1984). L'enseignement de l'énumération. International Congress on
Mathematical Education. from
http://guy-brousseau.com/2297/lenseignement-de-lenumeration-1984/
Margolinas, C., Wozniak, F., & Rivière, O. (2015, sous presse). Situations d'énumération et organisation des collections. Recherches en Didactique des Mathématiques.
105
MỘT TÌNH HUỐNG GIÚP HỌC ĐẾM TỐT HƠN
Olivier Rivière, nghiên cứu sinh của Trung tâm nghiên cứu ACTé,
Đại học Blaise Pascal, Clermont-Ferrand, Pháp. Mục tiêu của thực nghiệm này là giới thiệu một tình huống được xây dựng nhằm giải quyết những khó khăn khi trẻ phải xác định sốlượng phần tử của một tập hợp các đối tượng.
Liệt kê phần tử của tập hợp là gì ?
Nối tiếp tinh thần của công trình nghiên cứu mang tính tiên phong được thực hiện bởi Guy Brousseau (1984), chúng tôi dựa trên quan điểm của Joel Briand (1993, 1999), người cho rằng liệt kê phần tử của tập hợp là một loại kiến thức cho phép làm chủ tình huống đếm. Để xác định sốlượng phần tử của tập hợp những hình tròn được vẽ trên giấy bằng cách đếm, cần biết thiết lập tương ứng 1-1 giữa hai tập hợp : tập hợp các hình tròn và tập hợp các từ chỉ số trong đếm vẹt.
Trong đoạn phim mà chúng ta quan sát, đối tượng thực nghiệm biết đếm vẹt và không gặp khó khăn trong việc kết hợp các thành phần của hai tập hợp nói trên. Nhưng khó khăn
xuất hiện khi có hiện tượng quên đối với một trong những thành phần của tập hợp các hình tròn.
Dưới đây là thuật toán được mô tả bởi Briand (1993).
1. Có khảnăng phân biệt hai thành phần khác nhau trong một tập hợp. 2. Chọn ra thành phần đầu tiên của tập hợp.
3. Nói ra chữ sốđầu tiên (một).
4. Xác định thành phần tiếp theo trong số những thành phần chưa được chọn. 5. Nói ra một từ chỉ số (tiếp theo từ chỉ sốđi trước trong tập hợp các từ chỉ số). 6. Ghi nhớ những lựa chọn đã được thực hiện.
7. Lặp lại thao tác trên bằng cách kết hợp bước 3 và bước 4. 8. Nhận thức được rằng thành phần cuối cùng đã được chọn. 9. Nói ra từ chỉ số cuối cùng.
Thuật toán nêu trên được trình bày dưới dạng những chỉ dẫn cần được thực hiện theo từng bước, đồng thời nó mô tả quá trình tạo ra bản số của tập hợp.
Trong thuật toán này, Briand chỉ ra cái thuộc về kiến thức đếm vẹt. Kiến thức này tác
động trong các giai đoạn 3, 5 và 9.
Nếu chúng ta bỏ qua một bên những giai đoạn gắn với kiến thức đếm vẹt nói trên, hoạt
động còn lại không liên quan đến số :
106
2. Chọn ra thành phần đầu tiên của tập hợp.
4. Xác định thành phần tiếp theo trong số những thành phần chưa được chọn. 6. Ghi nhớ những lựa chọn đã được thực hiện.
7. Lặp lại thao tác trên bằng cách kết hợp bước 3 và bước 4. 8. Biết được rằng thành phần cuối cùng đã được chọn.
Hoạt động này rất cần thiết cho việc đếm, nhưng đoạn phim mà chúng ta phân tích ở đây cho thấy sự vắng mặt của nó.
Như vậy, việc liệt kê phần tử của một tập hợp có nghĩa là xử lý mỗi thành phần của tập hợp đó với chỉ một lần thao tác. Để cho ràng buộc (một và chỉ một lần) này được thực hiện, trẻ phải được chuẩn bị.
Sử dụng những viên đường : một tình huống liệt kê phần tử tập hợp
Vấn đề được đặt ra ởđây là xây dựng một tình huống liệt kê phần tử của tập hợp mà không cần đến các yếu tố số. Trên thực tế, không có tình huống nào cho phép việc liệt kê tồn tại một cách độc lập, vì luôn luôn có một hành động tối thiểu tác động lên những thành phần của một tập hợp. Trong tình huống được xây dựng bởi Briand (1999), hành động đó là xếp những que diêm vào một cái hộp.
Sau đây chúng tôi xin trình bày tình huống mà chúng tôi đã phát triển cho việc liệt kê phần tử của tập hợp, cũng như quá trình chuẩn bị cho việc xây dựng tình huống này (Margolinas, Wozniak & Rivière, 2015, sắp xuất bản).
Mục tiêu của chúng tôi là đưa ra tình huống liệt kê phần tử của một tập hợp. Chúng tôi giữý tưởng về tập hợp những vòng tròn được vẽ trên giấy.
Thao tác đối với những thành phần của tập hợp nêu trên không mang bản chất số. Thao tác này chỉđòi hỏi một hành động đơn giản, không yêu cầu kiến thức đặc biệt. Trong trường hợp đếm, hành động này là việc kết hợp một vòng tròn trên giấy với một thành phần của tập hợp các từ-số. Trong tình huống do chúng tôi xây dựng, chúng tôi đã quyết định đặt một đồ
vật (viên đường) lên mỗi vòng tròn. Xử lý một vòng tròn có nghĩa là lấy đi viên đường đã được đặt lên vòng tròn đó, và xử lý tập hợp các vòng tròn có nghĩa là lấy đi tất cả các viên
đường đã được đặt lên các vòng tròn đó. Vào giai đoạn cuối của việc xử lý, nếu tất cả các viên
đường được lấy đi, điều đó có nghĩa là tất cảcác vòng tròn đã được xửlý, và như vậy, tập hợp
các vòng tròn đã được liệt kê.
Xin trở lại với một đặc thù của việc liệt kê mà chúng tôi chưa đưa vào quá trình chuẩn bị. Mỗi thành phần của tập hợp các vòng tròn được xử lý một lần và chỉ một lần. Trong tình huống xác định số lượng các vòng tròn, việc đếm đã diễn ra mà đối tượng nghiên cứu không
107
cứu có thểđánh dấu những vòng tròn đã được đếm. Mục tiêu của thí nghiệm là tạo ra một tình huống có những đặc điểm giống như tình huống liệt kê. Theo tinh thần đó, không nên trao cho đối tượng thí nghiệm khả năng phân biệt những thành phần đã được xử lý và những thành phần chưa được xử lý, ít nhất là trong quá trình liệt kê. Như vậy, chúng tôi đã quyết định che mỗi vòng tròn, tức mỗi viên đường, bằng một cái chụp nhỏ.
Bây giờ, việc xử lý là nhấc cái chụp lên, lấy viên đường ra, và đặt lại cái chụp lên vòng tròn. Bằng cách này, người ta sẽ không thấy nhiều hơn một vòng tròn trong mỗi lần thao tác.
Tình huống được trình bày như sau : một tập hợp gồm những cái chụp nhỏđược bố trí trên một tờ giấy. Dưới mỗi cái chụp có một viên đường, và dưới mỗi viên đường là một vòng
tròn được vẽ sẵn.
Hình 1 : tình huống với những viên đường
Để thắng cuộc trong trò chơi này, cần lấy đi hết các viên đường theo những qui định đã được nêu trên. Như vậy, người chơi không được bỏ quên một viên đường nào dưới cái chụp của nó, và không tìm cách nhấc một cái chụp nào đã không còn đường bên trong.
Được coi là thắng cuộc khi :
·Người chơi nói «tôi đã xong », sau khi lấy đi hết các viên đường.
Được coi là thua cuộc khi :
·Cuối giờ, người chơi nói «tôi đã xong», nhưng người ta thấy còn ít nhất một viên
đường dưới cái chụp của nó.
·Trong khi chơi, trẻ nhấc một cái chụp lên, nhưng không có đường dưới cái chụp đó.
Tình huống này đã được thí nghiệm với 44 học sinh Trường tiểu học (từ3 đến 11 tuổi), với ba tờ giấy khác nhau nhưng đều mang những hình tròn. Trong số 44 học sinh, 17 em là trẻ
mẫu giáo (từ3 đến 6 tuổi).
Thí nghiệm này là cơ hội quan sát động thái của một trẻ mẫu giáo.
108
Mô tả và phân tích quá trình thực hiện của trẻ
Thí nghiệm của chúng tôi dựa trên việc quan sát một đoạn video để có thể nắm được bản chất của những cử chỉ của trẻ. Mục tiêu của bài viết này là trình bày những gì mà người
quan sát đã cảm nhận được.
Mô tảsau đây sẽ làm rõ quá trình hành động của trẻ khi trẻ đó thực hiện trình tự thao
tác đối với những cái chụp cần được nhấc lên.
Hình 3 : lần thử thứ nhất của trẻ tham gia thí nghiệm
Trong lần thử đầu tiên, trẻ dường như dựa vào đặc điểm không gian của tập hợp các
vòng tròn để chia chúng thành hai phần riêng biệt, vì các em đã không hề tìm cách khai phá tập hợp nhỏ gồm 4 thành phần nằm phía bên phải. Để khai phá tập hợp phía bên trái, trẻ thực hiện chiến lược « theo rìa giấy », khi chọn một cách có hệ thống các thành phần gần rìa giấy nhất. Trẻ đã nhầm khi đã nhấc một lần nữa cái chụp mà em đã nhấc lên cho lần đầu tiên. Chiến lược này, nhìn chung, có những hạn chế của nó trong việc xác định những thành phần nằm bên trong tập hợp. Ở đây, việc trẻ quên điểm xuất phát của quá trình xử lý là nguyên nhân gây ra nhầm lẫn.
Hình 4 : lần thử thứ 2 của trẻ tham gia thí nghiệm
Trong lần thử thứ 2, trẻ vẫn không thành công trong việc liệt kê phần tử của tập hợp các hình tròn. Tuy nhiên, lý do của thất bại hoàn toàn khác. Trong lần thử thứ nhất, trẻ thất bại vì một thành phần của tập hợp đã được xử lí hai lần. Lần này, trẻ thất bại vì vẫn còn một thành phần của tập hợp chưa được xử lý.
Đoạn phim cho thấy rằng chiến lược của trẻđã thay đổi. Các em giải quyết vấn đềđiểm xuất phát bằng cách thay đổi thành phần đầu tiên. Trong lần thử thứ nhất, trẻ đã chọn thành phần gần nhất so với bàn tay có nhiệm vụ thao tác. Và sự thất bại của lần đầu cho phép trẻđi
109
tìm một cơ hội khác. Lần này, thành phần đầu tiên là cái chụp nằm ở góc trên, phía bên trái.