Annie Cariat - ESPE Clermont-Auvergne et Académie de Clermont-Ferrand, France ; Claire Margolinas, Maitre de conférences, Laboratoire ACTé,
Université Blaise-Pascal, Clermont-Ferrand, France.
Éléments de contexte
Avec Floriane Wozniak (Margolinas & Wozniak, 2013), nous avons travaillé sur le nombre ordinal et nous avons recherché une situation fondamentale pour le nombre ordinal, dont nous donnerons quelques éléments.
Pour situer, dans la liste des lettres : X, T, C, M, Z, C la lettre M est la quatrième lettre
de la liste, le nombre 4 est donc l’expression de la position de la lettre M dans cette liste. La situation fondamentale de l’ordinal est donc liée à la position dans une liste et nous pouvons énoncer la situation fondamentale comme : « reproduire à distance une liste composée
d’objets tous identiques sauf un».
Nous avons élaboré une ingénierie didactique pour la recherche (Margolinas & Wozniak, 2013; Margolinas & Wozniak, 2014) qui a été expérimentée en juin 2012 dans deux
classes d’enseignantes très expérimentées, l’une de ces enseignantes était Annie Cariat. Cette ingénierie s’appuie sur la reproduction d’un collier modèle (figure 1).
figure 1 : un collier modèle
Dans toutes les situations mises en place, les élèves disposent d’un fil avec un nœud à une extrémité, de neuf perles identiques et d’une perle différente des autres, la séquence expérimentale s’appuie sur l’évolution des situations. Dans un premier temps, la reproduction
du modèle s’effectue avec le modèle visible, puis la reproduction s’effectue alors que le modèle ne se trouve pas dans le même espace (éloignement dans l’espace), puis alors que le
modèle a été vu un jour ou deux avant la reproduction (éloignement dans le temps) et enfin alors que le modèle a été vu par un élève alors que la reproduction doit être faite par un autre élève (communication à autrui), suivant un schéma de séquence classique en théorie des situations (Brousseau, 1998).
Les buts de l’ingénierie didactique pour la recherche étaient de repérer les connaissances des élèves mises en œuvre dans les situations adidactiques élaborées et analysées par les chercheurs, de manière à comprendre l’effet de ces situations adidactiques
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(Margolinas, Abboud-Blanchard, Bueno-Ravel, Douek, Fluckiger, Gibel, Vandebrouck, & Wozniak, 2011). Il s’agit donc de comprendre les interactions des élèves avec le milieu, et
non pas l’enseignement du professeur. Nous avons donc organisé de façon très précise les rétroactions du milieu et nous avons restreint l’action des professeurs, en leur demandant
notamment une neutralité lors de la phase de conclusion des procédures et un report de
l’institutionnalisation en fin de séquence. Il s’agissait d’une nécessité méthodologique, car nous avions besoin, en tant que chercheur, d’information sur l’effet des situations
adidactiques avec une interférence minimum du professeur. Il ne s’agit en aucun cas d’une conviction de notre part qu’il faut enseigner de cette manière, nous ne pensons pas en effet
que le professeur doit rester neutre hors de situations expérimentales pour la recherche. Cette
position de neutralité n’a pas été facile à adopter pour les professeurs, d’ailleurs. Ce que nous
allons vous présenter maintenant est justement comment une enseignante expérimentée :
Annie Cariat, après avoir participé à l’ingénierie pour la recherche, s’est appuyée sur cette
expérience vécue pour construire un enseignement concernant la position et le nombre ordinal
pendant trois ans (2013, 2014, 2015), et comment les situations qu’elle a construit pour cet
enseignement ont évolué.
Développements dans le cadre professionnel
Après la recherche, Annie Cariat a utilisé des situations pour construire un enseignement du nombre position, car sa participation à la recherche lui a permis de prendre
conscience qu’elle l’enseignait très peu dans sa classe précédemment.
Les premières modifications apportées ont été dictées par deux besoins. Un besoin
pratique d’avoir un matériel plus facilement manipulable que les perles, ce qui a conduit au
choix des cubes emboîtables.
Figure 2 : un modèle réalisé avec des cubes emboîtables
La recherche d’un autre matériel a été guidé aussi par le besoin d’une origine qui n’était pas induite par la manipulation du matériel. Avec les colliers, le fil avait un nœud, qui jouait
donc « naturellement » le rôle de l’origine. Au contraire, les cubes peuvent s’assembler aussi bien par le côté mâle (le « bouton », en suivant le vocabulaire employé par les élèves) ou bien par le côté femelle (le « trou », dans le vocabulaire des élèves), dans la figure 3, suivant la façon dont les cubes sont posés, on voit le « bouton » ou le « trou ».
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Figure 3 : le matériel proposé aux élèves pour reproduire le modèle
Par rapport à l’ingénierie didactique, Annie Cariat a conservé le nombre d’objets identiques (neuf) et l’unique objet différent. Elle a également conservé la nature et l’ordre des différentes phases des situations (action, éloignement dans l’espace, formulation à soi-même avec éloignement dans le temps, formulation à autrui), pour la première partie de sa progression.
Dans la première phase, les élèves ont à reproduire une barre identique au modèle qu’ils
ont sous les yeux.
Dans la deuxième phase, le modèle a été déplacé, pas très loin, dans l’espace de la
classe. Les élèves avaient donc à se rappeler du modèle et à refaire une barre identique. Annie a introduit dès cette phase la désignation du cube différent par deux données : celle de
l’origine « en partant du bouton » ou « en partant du trou » et celle du nombre ordinal, par exemple « le cube rouge est le quatrième en partant du bouton ». Cette désignation a du sens
pour les élèves parce qu’elle est donnée dans une situation où elle est une connaissance utile (Conne, 1992; Laparra & Margolinas, 2010). Dans le clip vidéo 1, tourné en 2014, Annie
Cariat interroge un élève au début d’une séance au sujet de la désignation de la position du cube rouge, il s’agit d’un moment d’institutionnalisation de ce qui a été appris auparavant. Quand l’élève propose « en quatrième position », Annie Cariat s’appuie sur le collectif de la classe pour indiquer qu’il manque quelque chose « en quatrième position à partir du bouton ». Elle lui demande alors de désigner la position du cube rouge en partant du trou : « septième position en partant du trou ». La désignation de la position du cube rouge est donc
institutionnalisée ainsi que l’importance de l’origine dans cette désignation, dans le contexte
des barres de cubes : « Annie : pour donner la position du cube qu’est-ce que je dois choisir ? Une élève : le point de départ […] Annie : je pars du trou ou je pars du bouton/ mais je le dis au début/ je choisis au début ». Cette année, en 2015, Annie Cariat institutionnalise la donnée
des informations en donnant tout d’abord l’origine, de manière à mettre en valeur
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du bouton », comme en 2014, Annie a décidé de désigner l’origine en premier « je pars du bouton, et le cube rouge est en quatrième position ». D’une année à l’autre, il y a des évolution en fonction de l’observation des élèves et de leurs difficultés.
Dans la troisième phase, les élèves disposent d’un modèle qu’ils regardent et manipulent aussi longtemps qu’ils ont envie. Ils doivent se rappeler de ce modèle pour
construire leur barre à l’identique quelques jours plus tard. Ils sont ainsi dans l’obligation d’utiliser l’écrit (Peres, 1984) pour se rappeler de cette position. Dans un premier temps, ce message a été un dessin (figure 4)
Figure 4 : Un dessin (première séance d’éloignement dans le temps)
Le travail sur ces dessins a permis de se rendre compte qu’il fallait symboliser une origine, ce qui n’était pas toujours le cas sur les premiers dessins produits, par exemple dans
la figure 4, le dessin ne comporte pas d’origine visible, cependant, le cube rouge est
représenté sur le dessin, en tournant la feuille, on peut obtenir représentation de la barre modèle.
Les dessins ont donc évolué vers des représentations comportant une origine (figure 5).
Figure 5 : un message écrit qui permet de reconstruire une barre identique au modèle
Annie Cariat a ensuite demandé aux élèves d’utiliser des nombres pour donner la position, pour faire évoluer les messages vers la désignation par l’ordinal écrit. Dans un premier temps, certains élèves utilisent une représentation qui comporte encore un dessin associé au nombre (figure 6).
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Figure 6 : urne représentation qui associe le nombre ordinal et le dessin
Dans un autre clip vidéo, nous voyons une élève qui n’a pas réussi à lire son message, ce qui a conduit à une erreur de reconstruction de la barre (figure 7).
Figure 7 : une erreur dans la reproduction du modèle
L’intervention du professeur consiste alors à s’interroger sur la nature de l’erreur : « Annie Cariat : est-ce que c’est parce que tu as mal construit ou est-ce que c’est parce que tu as fait un message qui n’est pas juste». C’est donc le message qui est maintenant examiné
(figure 8).
Figure 8 : le message
L’élève lit à nouveau son message : « il est en sixième position à partir du bouton ». Cette élève a oublié comment elle avait symbolisé le bouton, elle a donc compté le symbole
comme un premier cube, ce qui a conduit à l’erreur dans la reproduction du modèle, qui est
donc une erreur de lecture lié à une maladresse dans la symbolisation. La maîtresse intervient
dans l’interprétation de la difficulté « Annie Cariat : c’est parce que je crois que ton dessin tu ne t’es plus rappelée/ je crois que ce qui est tout en haut c’est le bouton », elle compte alors « un, deux, trois, quatre, cinq ». La phase suivante va constituer à un travail sur l’écriture
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Conclusion
Il convient d’insister sur ce travail de développement du professeur qui va reprendre tous les ans certains éléments en fonction d’une réflexion qui s’appuie sur l’observation des élèves dans l’évolution des situations. Certaines de ces évolutions sont apparemment
minimes, comme celle de désigner l’origine avant toute donnée chiffrée ou bien de la donner
après, cependant, ces modifications mineures peuvent avoir un impact important sur
l’évolution favorable des connaissances des élèves.
Depuis 2012 (première année de l’ingénierie), nous avons conduit (avec Olivier Rivière) des évaluations en fin d’année dans la classe d’Annie Cariat. Nous présentons maintenant quelques éléments de réflexion tirés des données d’évaluation.
En 2012, à l’issue de l’ingénierie pour la recherche, les élèves ont utilisé majoritairement une écriture originale que nous avons appelée « quantité orientée » (Margolinas & Wozniak, 2014), comme dans la figure 9. L’orientation de l’écriture de gauche
à droite permet de lire les quantités ordonnées : cinq (perles rouges) puis une perle différente (bleue) puis quatre perles rouges.
Figure 9 : écriture de la quantité orientée
Quelques élèves seulement ont utilisé spontanément une écriture ordinale, souvent en
l’associant avec des cardinaux, comme dans la figure 10. Manon explique : « d’abord il y a
quatre blanches, elle est en cinquième, et après il y a cinq perles blanches », elle utilise donc linguistiquement correctement les nombres cardinaux et ordinaux qui expliquent son écrit.
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En conclusion de l’ingénierie pour la recherche (2012), nous considérons que les
interactions avec le milieu permettent de construire la quantité orienté, connaissance nouvelle
qui rend compte de la position. Cependant, le principe de l’économie du nombre ordinal n’est
pas nécessaire dans ces situations ((Margolinas & Wozniak, 2013), seulement 7% des élèves
en font usage durant l’évaluation.
En 2013, dans la classe d’Annie Cariat, suite à l’institutionnalisation de l’ordinal pour désigner des position, on constate une nette évolution, puisqu’environ 37% des élèves utilise l’ordinal pour donner la position d’une perle colorée dans un collier, matériel qu’ils n’ont jamais rencontré auparavant (puisqu’ils avaient travaillé sur des barres de cubes). Certains d’entre eux montrent par leur schéma une amorce de construction d’un repère (figure 11)
Figure 11 : 2013 : schéma similaire à un repère pour désigner la position d’une perle coloré dans un collier
L’usage du nombre ordinal se banalise au point qu’une élève, lors de l’évaluation, fait d’abord un joli dessin (qui ne sert à rien dans la situation) et écrit ensuite 6 en disant « je mets 6 pour dire que la perle est en sixième position » (figure 12).
Figure 12 : le dessin de Tessa
En 2014, environ 67% des élèves utilisent l’ordinal pour désigner un cube différent dans
une barre de cubes (matériel qu’ils ont utilisé toute l’année) et 56% dans le cas des perles (matériel qu’ils ne connaissaient pas). Le nombre est utilisé seul, sans représentation. Cependant, l’explicitation de l’origine reste difficile, comme dans la figure 13.
Figure 13 : deux production d’élèves qui utilisent l’ordinal pour désigner la position d’un cube dans une barre de cubes
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évolutions qu’Annie Cariat a apporté à son enseignement produisent des résultats positifs. Cette évolution est liée, pour ce professeur, à l’observation des réponses des élèves, à la fois en classe et données par l’évaluation finale réalisée de façon plutôt standardisée par les chercheurs années après années. Cependant la conclusion principale est bien que le nombre
ordinal est enseignable, au niveau de l’école maternelle, à des enfants de 5-6 ans.
Références
Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble: La pensée sauvage. Conne, F. (1992). Savoir et connaissance dans la perspective de la transposition didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12(2-3), 221-270.
Laparra, M., & Margolinas, C. (2010). Milieu, connaissance, savoir. Des concepts pour l'analyse de situations d'enseignement. Pratiques, 145-146(Didactique du français (1)), 141-160. http://www.pratiques-cresef.com/p145_la1.pdf
Margolinas, C., & Wozniak, F. (2013). Le nombre comme mémoire de la position : un révélateur des besoins praxélogiques des professeurs. XVIIe école d'été de didactique des mathématiques.
Margolinas, C., & Wozniak, F. (2014). Early construction of number as position with young children: a teaching experiment. ZDM - The International Journal on Mathematics Education 46(1), 29-44. http://dx.doi.org/10.1007/s11858-013-0554-y
Margolinas, C., Abboud-Blanchard, M., Bueno-Ravel, L., Douek, N., Fluckiger, A., Gibel, P., Vandebrouck, F., & Wozniak, F. (Eds.). (2011). En amont et en aval des ingénieries didactiques. Grenoble: La pensée sauvage.
Peres, J. (1984). Utilisation d'une théorie des situations en vue de l'identification des phénomènes didactiques au cours d'une activité d'apprentissage scolaire. Construction d'un code de désignation à l'école maternelle. Université de Bordeaux 1.
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SỐĐỂ NHỚ VỊ TRÍ
Annie Cariat, ESPE Clermont-Auvergne et Học khu giáo dục Clermont-Ferrand, Pháp ; PGS.TSKH. Claire Margolinas, Trung tâm nghiên cứu ACTé,
Đại học Blaise-Pascal, Clermont-Ferrand, Pháp.
Một số khái niệm
Cùng với Floriane Wozniak (Margolina & Wozniak, 2013), chúng tôi đã nghiên cứu vấn đề số thứ tựvà đã tìm cách xác định tình huống cơ sở của loại sốnày. Sau đây là một vài khái niệm có liên quan đến tình huống được nghiên cứu.
Trong chuỗi X, T, C, M, Z, C, chữ cái M là chữ cái thứtư, như vậy số 4 biểu thị vị trí của chữ cái M trong danh sách trên. Có thể nói : tình huống cơ sở của số thứ tự gắn liền với vấn đề vị trí trong một danh sách, và có thểđịnh nghĩa tình huống cơ sở như là «tạo lại từ xa một danh sách những đối tượng giống nhau, ngoại trừ một đối tượng».
Chúng tôi đã thiết lập một đồán sư phạm cho việc nghiên cứu (Margolinas & Wozniak, 2013 ; Margolinas & Wozniak, 2014). Đồán này đã được thí nghiệm vào tháng 6 năm 2012
tại hai lớp của những cô giáo rất có kinh nghiệm, và một trong hai giáo viên đó là Annie Cariat. Đồ án này xuất phát từ việc tạo lại một mẫu chuỗi hạt (hình 1).
Hình 1 : một chuỗi hạt mẫu
Trong tất cả các tình huống được đưa ra, mỗi trẻđược trao một sợi dây đã được thắt nút
ở một đầu, cùng với 9 hạt ngọc giống nhau và một hạt không giống với những hạt còn lại. Thí nghiệm dựa vào tiến triển của các tình huống. Trước tiên, việc tạo lại chuỗi hạt mẫu được thực hiện với mẫu mà trẻ thấy trước mắt, sau đó được thực hiện với mẫu để ở một khoảng cách nhất định (xa dần trong không gian), tiếp theo được thực hiện theo mẫu được thấy một hoặc hai ngày trước (xa dần theo thời gian), và cuối cùng được thực hiện theo lời kể của một trẻ khác đã trông thấy chuỗi hạt mẫu (thông qua giao tiếp), tất cả những tình huống này tuân thủ qui trình cổđiển trong lý thuyết tình huống (Brousseau, 1998).
Mục tiêu của đồ án sư phạm là xác định những kiến thức mà trẻ vận dụng trong những tình huống adidactic, được soạn thảo và phân tích bởi các nhà nghiên cứu, nhằm hiểu được tác
động của những tình huống này. (Margolinas, Abboud-Blanchard, Bueno-Ravel, Douek, Fluckiger, Gibel, Vandebrouck, & Wozniak, 2011). Như vậy, vấn đề là phải hiểu được tương
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đó, chúng tôi đã chuẩn bị một cách kỹlưỡng những tác động phản hồi của môi trường và giới hạn hành động của giáo viên, bằng cách yêu cầu họ giữ một thái độ khách quan trong bước kết luận về các qui trình và trì hoãn bước thể chế hóa ở cuối công đoạn. Đó là một sự cần thiết về mặt phương pháp, bởi vì với tư cách là những nhà nghiên cứu, chúng tôi cần có thông tin vềtác động của những tình huống adidactic với sự can thiệp ít nhất từ phía giáo viên. Chúng tôi hoàn toàn không quan niệm rằng giáo viên phải lên lớp theo cách này, và chúng tôi không
nghĩ rằng ngoài những tình huống thực nghiệm vì mục đích nghiên cứu, giáo viên phải luôn luôn giữthái độ trung lập. Xin nói thêm là trong thí nghiệm của chúng tôi, các giáo viên đã rất
khó khăn trong việc giữ thái độ trung lập. Điều mà chúng tôi muốn trình bày dưới đây, thực ra, là một giáo viên có kinh nghiệm như Annie Cariat, sau khi tham gia vào đồ án nghiên cứu,
đã căn cứ vào thí nghiệm của mình để xây dựng một phương cách dạy học như thế nào về vấn
đề vị trí và số thứ tựtrong 3 năm (2013, 2014, 2015), cũng như những tình huống mà cô xây dựng cho nội dung giảng dạy này đã tiến triển ra sao.
Phát triển kết quả nghiên cứu trong phạm nghiệp vụ
Sau thời gian nghiên cứu, Annie Cariat đã sử dụng một số tình huống trong giảng dạy của mình về số chỉ vị trí. Sự tham gia của cô vào công trình nghiên cứu đã cho phép cô nhận ra rằng trước đó cô đã dạy nội dung này rất ít trong lớp của mình.
Hình 2 : một mẫu thí nghiệm với những khối lập phương có thể lồng vào nhau
Việc đi tìm một dụng cụ thí nghiệm không giống chuỗi hạt xuất phát từ sự cần thiết phải có một điểm xuất phát không do con người tạo ra trên dụng cụ đó. Với các chuỗi hạt, như chúng ta đã thấy, sợi dây có một nút thắt, và nút thắt đó nghiễm nhiên đóng vai trò của điểm xuất phát. Ngược lại, các khối vuông có thể lồng vào nhau từ phía lồi (phía có « nút », theo cách nói của trẻ) hoặc từ phía lõm (phía « khuyết », cũng theo cách nói của trẻ), như trong hình 3 dưới đây. Tùy theo cách các khối vuông được đặt trên bàn, chúng ta có thể thấy phía « nút » hay phía « khuyết ».
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So với đồ án sư phạm, Annie Cariat giữ lại số lượng thành phần giống nhau (9 thành phần) và một thành phần khác biệt. Cô cũng giữ lại trong giai đoạn đầu tiên của tiến trình, tính chất và trật tự các bước khác nhau của các tình huống (thao tác của trẻ, sự xa dần trong không gian, nêu công thức cho chính bản thân mình với sự lui dần của thời gian, nêu công thức cho bạn cùng lớp).
Trong giai đoạn này, trẻ phải tạo lại một thanh nhựa gồm những khối vuông giống như
mẫu mà các em thấy trước mắt.
Trong giai đoạn 2, mẫu được đẩy xa hơn một chút, trong khuôn khổ của lớp học. Như
vậy, trẻ phải nhớ lại mẫu và phải tạo lại thanh nhựa hoàn toàn giống như vậy. Từ giai đoạn
này, Annie đã đưa ra hướng dẫn đối với khối vuông khác biệt bằng hai dữ liệu : dữ liệu về điểm xuất phát khi tính từ « nút » hay từ « khuyết », cùng với dữ liệu về số thứ tự. Ví dụ : khối vuông màu đỏ là khối thứtư tính từ « nút ». Cách nói như thếnày có ý nghĩa đối với trẻ,
vì nó được đưa ra trong một tình huống mà nó trở thành dấu hiệu nhận biết có tác dụng (Conne, 1992; Laparra & Margolinas, 2010). Trong video clip số1, được quay vào năm 2014,
có cảnh Annie Cariat hỏi một trẻ vào đầu giờ của một buổi thí nghiệm về cách gọi vị trí của của khối vuông màu đỏ, đó chính là thời điểm giáo viên thiết lập khái niệm đối với những gì trẻđã được học trước. Khi học trò đưa ra một câu trả lời như «ở vị trí thứtư », Annie Cariat
đã dựa trên ý kiến của cả lớp để chỉ ra rằng còn thiếu gì đó trong cách trả lời này, và phải nói một cách đầy đủ rằng « ở vị trí thứtư tính từ nút ». Khi đó, cô yêu cầu trẻ gọi tên vị trí khối
vuông màu đỏ tính từ chỗ khuyết, trẻđã trả lời một cách chính xác « vị trí thứ 7 tính từ chỗ
khuyết ». Như vậy, cách gọi vị trí của khối vuông màu đỏ được thể chế hóa, cũng như tầm quan trọng của điểm xuất phát trong cách gọi này, trong toàn bộ bối cảnh của trò chơi với những khối vuông. Annie đã hỏi : « Để xác định vị trí của khối vuông, cô phải chọn gì ? ». Một trẻ trả lời : «Chọn điểm xuất phát ạ» […]. Annie : « Cô sẽ xuất phát từ chỗ khuyết hay từ
nút / cô phải nói rõ điều đó / cô phải chọn nó ngay ». Trong năm 2015, Annie Cariat thiết lập việc đưa ra thông tin cho trẻ bằng cách xác định điểm xuất phát ngay từđầu, nhằm nhấn mạnh