IL Y A AUTANT DE LAPINS QUE DE CAROTTES : QUELLE COMPRÉHENSION EN MATERNELLE ?
3.2. Moments adidactiques
La théorie des situations nous offre à travers les situations d’action et les situations de formulation, deux modèles très intéressants du point de vue du langage.
· Situation d’action : les élèves ont la responsabilité de résoudre le problème donné,
le professeur est censé observer une parfaite neutralité cognitive, il n’a donc a priori aucune
raison d’intervenir au point de vue langagier. Deux cas se présentent :
o D1 - Situation individuelled’action: l’élève doit résoudre le problème seul et
aucune production langagière n’est nécessaire, si ce n’est un langage personnel, oralisé ou non, dont la fonction est l’objectivation pour soi-même.
o D2 - Situation d’action à plusieurs avec des rôles d’émetteur et de récepteur qui
nécessitent de la communication entre les élèves.
· Situation de formulation : la résolution du problème posé nécessite une production langagière. En cycle 1 il est fréquent de trouver les deux formes suivantes où l’élève résout le problème avec d’autres élèves :
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nécessairement communiquer ;
§ D3 -situations de formulation avec coopération dans lesquelles des élèves doivent
se mettre d’accord pour réussir la tâche.
Dans ces deux cas le langage des élèves est nécessaire pour que la communication
s’établisse. La fonction du langage est double: l’objectivation et la communication. Cependant des élèves utilisent parfois un langage uniquement gestuel pour se faire comprendre.
3.3.Synthèse
L’observation des classes « ordinaires » permet d’observer de très nombreux moments de libre parole, d’évocation, d’explicitation, etc. qui peuvent ne pas avoir de raison d’être pour l’élève si ce n’est répondre aux demandes du maître pour respecter le contrat
didactiquehabituel : le professeur pose des questions, l’élève répond, pourtant le professeur
connait déjà la réponse. Dans ces situations le langage est travaillé comme objet au sens de Douady (1987). En revanche, des situations comme les situations de formulation où le langage fait partie des outils indispensables pour résoudre le problème sont très peu travaillées dans les classes. Ce type de situation est pourtant une raison d’être du travail
langagier nécessaire dans le processus de conceptualisation qui va de pair avec le processus
de secondarisation des genres. Par ailleurs dans les situations d’action et de formulation, le
professeur se tait et devrait respecter le topos de l’élève en le laissant essayer, chercher, se
tromper. La prise de conscience par les professeurs de la pertinence de leur questionnement
ou de leur silence selon les moments de l’enseignement est une condition qui parait essentielle.
La situation d’apprentissage expérimentée
L’expérimentation a eu lien en moyenne section avec deux groupes de cinq élèves
chacun :
· un groupe dénommé GMar dans la classe de Marie-Anne ;
· un autre groupe dénommé GNat dans la classe de Nathalie.
Partant de la situation fondamentale « des pots et des pinceaux » proposée par Guy Brousseau (1995) pour construire le nombre en tant que cardinal, Malay et Pons (2014) ont proposé un autre « habillage » dans leur mémoire : pour une collection de lapins donnée, il faut aller chercher des carottes pour nourrir les lapins, sachant que chaque lapin ne mange
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Figure 11 : le matériel utilisé dans la séquence figurant les lapins, les carottes et le jardin
La séquence expérimentée se compose de sept séances présentées dans le tableau 1.
Chaque séance est sous la forme d’un atelier dirigé de 15 à 35 minutes.
séance Description succincte Fonction de la situation
1 Présentation d’un vrai lapin et de vraies
carottes.
Moment de libre parole permettant la découverte du milieu lapin-carottes. Moment préalable pour favoriser la dévolution du problème futur. 2 Présentation de la situation avec le
matériel qui représente les lapins, les carottes et le jardin. Les élèves donnent à manger une carotte à chaque lapin, la réserve de carottes est à côté des lapins.
Situation d’action non problématique qui permet de faire comprendre la tâche et le but à atteindre.
3 Idem avec une contrainte : la réserve des
carottes est placée loin des lapins.
Situation d’action non problématique
qui prépare la situation d’apprentissage
et favorise sa dévolution.
4 Idem avec une nouvelle contrainte :
rapporter les carottes en une seule fois.
Situation d’action problématique qui nécessite une connaissance implicite :
l’outil nombre en tant que cardinal.
5 Idem avec une nouvelle contrainte :
commander les carottes à un marchand.
Situation de formulation
6 Après les vacances il s’agit de raconter individuellement à quoi ils ont joué avant les vacances.
Moment d’évocation permettant de mettre à distance le « faire » pour privilégier le « dire »
7 Idem situation 5 Situation de formulation
Tableau 1 : description de la séquence « lapins/carottes »
Le savoir visé dans cette séquence correspond dans le savoir de référence à des
contextes différents qui se révèlent à travers des façons de dire différentes. C’est ce qui est
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Savoir de référence
Savoir visé au point de vue langagier pour dire la
réussite
Savoir visé au point de vue
langagier pour dire l’échec
Cadre des fonctions
- Bijection - Équipotence
- Chaque lapin a sa carotte et il ne reste pas de carotte. - Il y a une seule carotte pour chaque lapin.
- Il y a un lapin qui n’a pas de
carotte.
- Il y a des carottes en trop. - Il y a un lapin qui a plus
d’une carotte.
Cadre des ensembles
- Cardinal (A) = Cardinal (B) - Les deux ensembles ont la même grandeur
- Il y a autant de lapins que de carottes.
- La quantité de lapins est la même que la quantité de carottes
- Le nombre de lapins est le même que le nombre de carottes.
- Le nombre de lapins et le nombre de carottes sont pareils.
- Le nombre de lapins est égal au nombre de carottes
- Il n’y a pas autant de lapins
que de carottes.
- Le nombre de lapins n’est
pas égal au nombre de carottes.
- Il y a plus de lapins que de carottes
- La quantité de carottes n’est
pas la même que la quantité de lapins
Tableau 2 : mise en relation entre le savoir de référence et le langage visé a priori
analyse de la séquence
Dans le cadre de ce texte, ce sont seulement quelques éléments significatifs de l’analyse
du point de vue du langage qui seront mis en relief. Ainsi je vais présenter quelques épisodes
de classe pour les deux groupes d’élèves sélectionnés en fonction de certains phénomènes
langagiers qui se retrouvent de façon similaire dans les deux classes.
Les démêlés des élèves avec l’emploi de chaque et de chacun
Pour initier la séance 2, le professeur du groupe GMar donne une consigne qui est
interprétée de deux façons différentes par les élèves et qui montre l’importance du terme
« chaque ».
P : Je vais donner à Nolan des lapins, tu les places dans ton jardin. Par contre, ce sont
des lapins particuliers, ils ne mangent qu’une carotte. Donc, Nolan, il faut que tu donnes à
manger à tes petits lapins et leur donner qu’une carotte. Tu donnes à chaque petit lapin, une carotte.
Nolan donne à manger la même carotte à ses lapins.
Léna : Chaque lapin doit avoir une carotte. P : Chaque lapin doit avoir une carotte.
134 Léna : Cette carotte, elle peut être croquée avec tous les lapins. Oui, mais c’est chaque lapin qui
doit avoir une carotte
P : C’est une carotte par lapin.
Léna : Eh ! Oui ! Chaque lapin a une carotte.
P : Oui ! Chaque lapin a une carotte. Il n’y a pas une carotte pour tous les lapins.
Dans cet épisode, Léna rappelle à Nolan la consigne pour insister sur le fait que « chaque lapin doit avoir une carotte » et elle oppose cela au fait qu’une même carotte aurait
pu être croquée par tous les lapins. Le professeur réalise un micro-geste professionnel en validant instantanément le point de vue de Léna en le répétant et en institutionnalisant de fait les propos de cette élève. Vient ensuite le tour de Kenji avec un commentaire de Lucas qui
montre la difficulté de l’emploi du terme « chaque » :
P : Kenji. Qu’est-ce qu’il doit faire Kenji ? Lucas : Il doit chaque carotte avec des lapins. P : C’est-à-dire.
Léna : Non chaque lapin avec des carottes.
Lucas reprend maladroitement l’expression utilisant « chaque » et Léna corrige pour
implicitement dire qu’il faut partir de la collection des lapins. On voit là le processus de secondarisation à l’œuvre et l’impact de la dimension sociale du groupe pour s’approprier le langage spécifique des énoncés de problèmes mathématiques. Cependant l’utilisation de chaque, même pour Léna n’est pas stabilisé comme lors de la séance 3 :
Léna : En fait, on a … on s’est passé la plaque [qui représente le jardin] et on a mis des lapins qui avaient chaque carotte pour eux.
Dans le groupe GNat les mêmes difficultés apparaissent comme avec Alia dans les séances 3 et 4 ou encore avec Hugo à la séance 5 :
Alia [séance 3] : en fait, fallait donner aux lapins chaque carotte comme ça Alia [séance 4] : parce qu’il a mis chaque carotte à chaque lapin
Hugo : y a chaque, chaque lapin, elle a chaque lapin, chaque la, chaque carotte un lapin
Mais d’autres élèves du groupe GNat comme Milla enrichissent le langage avec l’emploi de « chacun » :
P : alors cette fois-ci est-ce qu’elle a gagné?
Élèves : oui
135 P : oui, tous les lapins ont bien une carotte
Milla : les lapins ont une carotte chacun
Les usages de chaque et de chacun vont ainsi se répéter tout au long de la séquence avec
plus ou moins de réussite. Il est à noter que ces termes sont à l’origine de très nombreuses erreurs d’interprétation des énoncés de problèmes jusqu’au collège.
Concernant Hugo, il va répéter invariablement pendant longtemps « il (ou elle) a bien compris le jeu », marquant ainsi que son positionnement énonciatif le situe dans un jeu qui
n’est pas le jeu des mathématiques mais plutôt un jeu théâtral.
Les mots pour dire la réussite
Lors de la séance 2, dans le groupe GMar, la dernière phase de la séance est un moment
d’explicitation initié par un questionnement du professeur :
P : Comment vous avez fait ? Léna : On a compté les lapins.
P : Ah ! Tu as compté les lapins. Et là, pour voir si tu as réussi, qu’est-ce que tu as fait ? Tu as compté les lapins ?
Lucas : Un, deux, trois, quatre, cinq, six. P : Il y a six quoi ?
Lucas : Six carottes et un, deux, trois, quatre, cinq, six lapins.
Léna : J’ai compté deux fois (une fois pour les lapins, une fois pour les carottes).
P : Tu as compté Léna dans ta tête ? Et pour voir si tu as réussi ? Regardez sans les compter, comment vous pouvez voir que chaque lapin a sa carotte ? Qu’est-ce que vous avez fait ? Vous avez posé la carotte à côté du lapin.
Lucas : Et aussi, on peut rapprocher la carotte du lapin. Si on le rapproche du lapin, il peut tout manger !
P : Eh ! Oui ! Tout à fait mais ce ne sont pas là de vrais lapins !
Ainsi se termine cette séance avec implicitement les équivalences entre les deux conceptions anticipées dans l’analyse a priori :
· J’ai compté deux fois les lapins puis les carottes (sous-entendu : c’est le même
nombre, c'est-à-dire que les deux ensembles ont le même cardinal).
· J’ai rapproché un lapin, une carotte, etc. (sous-entendu il y a équipotence entre les deux ensembles).
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l’action : compter deux fois c'est-à-dire reproduire deux fois le schème du dénombrement
jusqu’au même nombre ou bien rapprocher physiquement les couples (lapin, carotte), ce qui permet une rétroaction du milieu matériel.
Pour le groupe GNat, lors de la séance 2, la vérification se traduit également par
l’équipotence réalisée par l’appariement des lapins et des carottes :
P : Est-ce qu’il a gagné Chad ? Élèves : oui
P : alors tu sais que tu as gagné quand tous les lapins ont à manger une carotte et il ne doit pas y avoir de lapin sans carottes
Dans la séance 4, le professeur du groupe GMar valide la réussite sous cette forme « Parce qu’il avait, un, deux, trois, quatre, cinq et six lapins et six carottes » comme le fait
l’autre professeur à la fin de la séance 5 : « il y avait 4 lapins dans ton jardin et tu as demandé 4 carottes. Très bien ».
Il s’agit donc d’avoir x lapins et x carottes, l’important est de comprendre la répétition du x, et c’est effectivement une connaissance nécessaire pour les apprentissages visés. Mais
aucune transformation langagière spécifique du concept en acte sous-jacent de cardinal ne sera proposée dans la séquence. Pour les deux groupes, la communauté discursive n’est pas enrichie par le professeur pour que les élèves puissent s’emparer des éléments qui leur permettraient d’accéder à ce genre second qui s’exprime en mathématiques par : « il y a autant de lapins que de carottes » ou « les quantités de lapins et de carottes sont les mêmes, ou sont égales » ou encore « il y a le même nombre de lapins et de carottes ». La connaissance
est surtout travaillée implicitement comme réalisant l’équipotence plutôt que comme égalité
de cardinaux. Pourtant l’analyse a priori de la situation présentée en page 5 montrait l’intérêt
de travailler à travers le langage ces deux aspects conceptuels différents. Ainsi dans toute la
séquence la relation d’égalité est suggérée, mais elle reste en tant que connaissance implicite,
elle n’est formulée ni par les élèves, ni par le maître. Les formulations langagières n’évoluent
donc pas vers un genre second qui exprimerait le concept scientifique de cardinal.
Les mots pour dire la non réussite
Pour expliciter des erreurs comme celle de Milla qui prend une carotte en trop dans le groupe GNat à la séance 3, les élèves utilisent le terme « manquer » de façon erronée :
P : alors est ce qu’elle a gagné ?
Hugo prend la carotte seule du bout des doigts et la secoue
137 Chad : parce qu’il en manquerait une carotte
Angélo : non
Alia : si (en montrant la carotte seule qu’Hugo tient dans sa main) Milla : il voulait dire de plus
P : il y a une carotte de plus, ce n’est pas grave tu peux la rapporter
L’expression « il manque une carotte » pour dire qu’il y en a une en trop est reprise par les
élèves :
Milla : il manque une carotte P : il lui manque une carotte ?
Milla : parce qu’il lui manque une carotte de plus
Le professeur ne reprendra pas cette étrange expression « il manque une carotte de plus ». Lors de la séance 4, ce type d’erreur se retrouve :
Milla : il en manque deux en trop
P : il en manque deux en trop, non on ne dit pas ça, on dit qu’il y en a deux en trop
Dans le groupe GMar, l’erreur est commise également plusieurs fois, notamment lors de la séance 5. Léna est l’acheteuse pour ses cinq lapins et Kenji le marchand lui donne 7
carottes :
P : Pourquoi, tu n’as pas réussi Léna ?
Léna : Parce qu’il manque deux carottes sans lapin. P : Il manque deux carottes sans lapin ?
Angélique : Il y avait cinq lapins.
P : Il y avait cinq lapins et tu as pris combien de carottes ? Léna : Sept.
P : Donc, tu en as pris combien en trop ? Léna : Deux.
P : Ce n’est pas, il en manque, mais tu as deux carottes en trop.
Dans les deux groupes l’erreur fréquente « il manque des carottes en trop » semble vouloir dire « c’est raté [manqué] car il y a des carottes en trop ».
Lors de la séance 4, dans le groupe GNat, Angélo exprime des raisonnements très
structurés en parlant d’Alia qui a pris une carotte en trop :
Alia : oh
138 Milla : Elle a perdu
Angélo : elle a pris que trois carottes et elle avait quatre lapins, il fallait une carotte en plus, il y a un lapin qui est tout seul
P : hé oui, il y a un lapin qui est tout seul sans carotte, donc il te manque une carotte.
Angélo est déjà pratiquement dans le calcul avec les nombres et exprime un raisonnement qui révèle une totale compréhension de la situation au point de vue mathématique.
Évolution de la communauté discursive vers un genre second
À la séance 4 pour le groupe GMar, Kenji joue le premier et le professeur fait vérifier si
c’est ou non réussi :
P : Comment vous pouvez dire qu’il a réussi ? Lucas : Oui parce que, égalité.
P : Egalité de quoi ? Lucas : De lapins et …
P : Egalité de lapins …
Lucas : De carottes
P : Il y a égalité de lapins et de carottes. Ça veut dire quoi ? Angélique : Il a réussi parce qu’il y avait quatre lapins …
P : Il y avait quatre lapins et …
Angélique : Et quatre carottes.
P : Il y a quatre lapins et quatre carottes.
Le professeur aurait pu faire évoluer l’expression de l’égalité vers un genre second en
disant : « il y a égalité entre la quantité de lapins et la quantité de carottes » ou bien « la quantité de lapins et la quantité de carottes sont égales ». Mais le professeur semble
déconcerté par cette expression sur laquelle il ne s’appuie pas pour faire évoluer le langage.
Pour le groupe GNat, dans la séance 4, des élèves savent maintenant utiliser le verbe manquer à bon escient lorsque vient le tour de Hugo :
P : est ce qu’il a réussi Hugo ? Milla : non, il manque une carotte
Hugo sourit reprend vite ses carottes dans ses mains et se lève pour les rapporter P : allez, repose tout ça et recommence
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Hugo prend les carottes, 1 puis 2 et encore 1 et revient les placer P : Est-ce qu’il a réussi ?
Alia : ben oui je lui ai dit le nombre : quatre
Ce qui apparait pour la première fois dans la communauté discursive est le terme « nombre » qui exprime que pour Alia le concept de nombre en tant que cardinal est en cours de réification. Angélo dans la séance suivante utilise lui aussi les termes combien et nombre : « elle savait pas combien, il fallait dire le nombre », expression répétée et ainsi institutionnalisée immédiatement par le professeur, dans un micro-geste professionnel très
expert, car cette expression est reconnue comme étant d’un genre second.
Les élèves des deux groupes, interrogés individuellement par leur enseignant lors de la
séance 6, donnent encore la preuve qu’ils sont prêts à accéder au niveau de la connaissance
formulée. L’extrait suivant a lieu avec Léna du groupe GMar : P : Et alors comment tu faisais ?
Léna : Compter les lapins et après j’allais chercher les carottes pour qu’ils les mangent
les lapins.
P : Et comment tu savais que tu avais réussi ? Léna : En comptant les lapins et les carottes.
P : En comptant les lapins et les carottes. D’accord. C’est à dire ? Léna : Si c’était le même nombre.
P : Si c’était le même nombre, c’est-à-dire si tu avais six lapins, il te fallait combien de carottes ?
Léna : Six carottes.
La connaissance est enfin formulée, mais comme il s’agit d’un entretien individuel, cela n’enrichit pas la communauté discursive du groupe GMar. Le même phénomène se passe pour
le groupe GNat :
P : comment tu sais que tu avais réussi ?
Milla : Parce que j’ai demandé le même nombre de lapins, et j’ai demandé à la marchande de me donner cinq carottes.
Les séances 7 reprennent la situation de formulation. La dévolution du problème que ce soit pour le couple des acteurs acheteur/marchand ou pour les observateurs est toujours
réussie. Aucune lassitude ne s’installe chez les élèves qui réussissent de mieux en mieux. Les critères utilisés pour la vérification sont stabilisés comme dans les séances précédentes. Voici