∂tu+v(t, x)· ∇u= 0, ∀t >0,∀x∈Ω, u(t= 0, x) =u0(x), ∀x∈Ω, u(t, x) =uent(t, x), ∀t >0,∀x∈Γent.
(II.21)
Ω
•
•
• x0
Γent
v·n <0
v·n >0
FIGUREII.9 – Les caractéristiques associées à un champ non tangent au bord deΩ On donne alors sans démonstration le résultat suivant :
Théorème II.22
Pour toutes donnéesu0, uentcomme ci-dessus, il existe une unique solution faibleuau problème(II.21).
Même si la démonstration rigoureuse n’est pas simple, on peut aisément comprendre la structure de la solution en remontant les caractéristiquescomme on l’a fait précédemment, voir la Figure II.9. Pourt > 0 etx ∈ Ωfixés, on s’intéresse à la caractéristiques 7→ X(s, t, x)en remontant le temps en partant des = tjusqu’às = 0, deux cas se présentent alors :
— SiX(s, t, x)∈Ωpour touts∈[0, t], alors la solution au point(t, x)sera à nouveau donnée par u(t, x) =u0(X(0, t, x)),
et ne dépend donc pas de la donnée au bord.
— Dans le cas contraire, si on noteτ(t, x)le plus grand temps dans[0, t]pour lequelX(τ(t, x), t, x)appartient au bord deΩ, alors la solution au point(t, x)sera cette fois donnée par
u(t, x) =uent(τ(t, x), X(τ(t, x), t, x)), et ne dépend pas cette fois de la donnée initiale.
IV.5 Un exemple de modèle en dynamique des populations
Mise en équation On considère un modèle de division cellulaire structuré en âge (voir [7]). La variable « d’espace » xest ici l’âge de chaque cellule, et en particulier c’est une quantité positive. L’inconnue du problème est une densité de cellulen(t, x)ayant l’âgexà l’instantt.
En l’absence de tout autre phénomène, le vieillissement naturel des cellules (dont l’âge augmente à vitesse 1 en fonction du temps14) est régi par l’équation de transport libre
∂tn+∂xn= 0, ∀t >0,∀x >0.
On souhaite maintenant modéliser la division cellulaire. On suppose que celle-ci a lieu avec un tauxk(x)dépendant de l’âge des cellules15.
14. Comme pour tout le monde ...
15. typiquement les cellules les plus jeunes ne se divisent pas ou très peu
Fixons deux âges0< a < bet regardons la quantité de cellules dont l’âge à l’instanttest compris entrea+tetb+t F(t) :=
Z b+t a+t
n(t, x)dx.
La variation de cette quantité n’est due qu’au phénomène de division cellulaire. Plus précisément, parmi les cellules concernées dansF(t)le nombre de celles qui vont se diviser par unité de temps est donné par hypothèse par
Z b+t a+t
k(x)n(t, x)dx.
Comme ces cellules se divisent, elles disparaissent et donnent naissance à deux cellules d’âge0. On déduit donc que F0(t) =−
Z b+t a+t
k(x)n(t, x)dx.
Après le calcul de la dérivée deFpar le LemmeII.2, et l’argument usuel de type du Bois-Reymond, on arrive à l’équation aux dérivées partielles
∂tn+∂xn+k(x)n= 0.
Mais on doit aussi prendre en compte le fait que, à chaque instant, un certain nombre de cellules d’âge nul sont créées. Il y en a deux fois plus que de cellules qui se sont divisées, ce qui donne la relation
n(t,0) = 2 Z +∞
0
k(x)n(t, x)dx.
Si on rassemble toutes ces équations, on aboutit au modèle final suivant
On suppose quen0est à support compact et que estkest positive et bornée. Il existe alors une unique solution faible de(II.22).
Preuve :
On définit la primitiveKdekpar
K(x) = Z x
0
k(y)dy, ∀x≥0.
Puis on fait le changement de variable
N(t, x) =eK(x)n(t, x), de sorte queNvérifie le nouveau système
AinsiNvérifie une équation de transport à vitesse constante (égale à1) avec une donnée initiale connue et une donnée au bordt 7→ N(t,0)inconnue. On la noteρ(t) := N(t,0)de sorte que tout le problème se ramène à déterminerρ. En effet, une foisρconnue, on peut complètement déterminerNpar la méthode des caractéristiques en prenant en compte le bord comme dans la sectionIV.4.b, en distinguant deux zones :
— Six > t, on obtient immédiatement que
N(t, x) =N(0, x−t) =N0(x−t).
— Six < t, on obtient que
N(t, x) =N(t−x,0) =ρ(t−x).
Traduisons maintenant la condition au bord pour toutt >0 ρ(t) = 2 et utilisons les résultats obtenus ci-dessus pour exprimerN dans les deux intégrales
ρ(t) = 2
On observe que le second terme est une fonction detcomplètement déterminée par les données du problème, on va la noterρ0. Le problème revient donc à trouver une fonctionρqui vérifie le problème intégral suivant,
ρ(t) = 2 Z t
0
k(y)e−K(y)ρ(t−y)dy+ρ0(t), ∀t >0. (II.24) On va utiliser une méthode de point fixe, de façon similaire à la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz global donnée dans le chapitreI. On poseγ= 4kkk∞et on définit l’espace qui est un espace de Banach comme on l’a déjà vu.
On définit ensuite une applicationΘ :E→Epar Θ :z∈E7→Θ(z) :
On vérifie queΘenvoie bienEdans lui-même en utilisant queρ0est bornée et le lemme de Gronwall.
On va maintenant montrer queΘest contractante. Pour cela, on prendz1, z2∈Eet, pour toutt≥0, on majore
On fait passer le termeeγtà gauche de l’inégalité et, d’après le choix deγ, on obtient kΘ(z1)−Θ(z2)kE≤ 1
2kz1−z2kE.
Ainsi,Θadmet un unique point fixe dansE notéρqui est bien l’unique solution de l’équation (II.24). Observons que commeρ0est positive, il apparaît clairement queρest également une fonction positive.
Maintenant queρest connue, l’unique solution faibleNde notre problème est complètement déterminée. Elle est de classeC1dans les deux domaines{t < x}et{t > x}mais possiblement discontinue à l’interface (voir la proposition II.18).
On montre dans la figureII.10un exemple de la dynamique de ce système. La donnée initialen0est une gaussienne centrée enx= 1.5et la fonctionkest une fonction en escalier qui vaut0pourx≤3et1pourx≥3.
On observe simultanément le phénomène de vieillissement et celui de division cellulaire qui a pour conséquence la disparation progressive des cellules d’âge supérieur à3et l’apparition concomitante de nouvelles cellules filles d’âge nul.
Globalement la taille de la population augmente (ce qu’on peut, du reste, vérifier directement sur l’équation). On observe également que la solution est continue mais présente une discontinuité de la dérivée au pointx= 3.
FIGUREII.10 – Un exemple d’évolution en temps du modèle de division cellulaire
A retenir du chapitre
En priorité
— Dérivation des intégrales à paramètre mono-dimensionnelles comme dans le lemmeII.2.
— Reconnaître des situations de modélisation (prioritairement en dimension 1 d’espace) qui aboutissent à une équation de type transport (ou de continuité).
— Connaître la méthode des caractéristiques pour résoudre le problème de Cauchy pour des équations de type transport (et variantes) à données régulières : en particulier le cas 1D doit être parfaitement maîtrisé (voir TD).
— La solution explicite de ces problèmes doit être connue dans les cas simples où les caractéristiques sont faciles à calculer.
Pour approfondir
— Théorème de Reynolds.
— Preuves de l’existence et unicité des solutions faibles. Solutions faibles régulières par morceaux.
— La question des conditions au bord pour le problème de transport.
Chapitre III
Formulations variationnelles de problèmes aux limites elliptiques
Le but de ce chapitre est de présenter, à partir d’un exemple simple (et relativement concret), quelques notions de calcul des variations. Cela nous mènera à la notion de formulationvariationnelled’un problème aux limites (c’est-à-dire une EDP elliptique + des conditions aux limites). Nous verrons également pourquoi il est naturel, en commençant par la dimension 1, d’introduire des espaces fonctionnels adaptés à ce type d’approche.
Par la suite nous généraliserons ces concepts pour attaquer des problèmes plus complexes, en particulier en dimension quelconque.