Le théorème de Cauchy-Lipschitz local (ThéorèmeI.46) nous donne l’existence et l’unicité d’une solution maximale à un problème de Cauchy mais ne nous dit riena priorisur l’intervalleJsur lequel celle-ci est définie. On peut par exemple se demander s’il est possible queJ soit égal àItout entier, autrement dit que la solution maximale soit globale. Bien entendu, ceci est vrai si le champ de vecteurs est globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état (d’après le th. de Cauchy-Lipschitz global) mais en général, on a besoin de critères pour déterminer si oui ou non une solution donnée est, ou pas, globale.
On va commencer par un résultat dans le cas où l’espace d’états est l’espace entierRdpuis on donnera le résultat plus général.
Théorème I.47 (Théorème d’explosion en temps fini)
Soitf :R×Rd→Rdun champ de vecteurs continu et localement lipschitzien par rapport à la variable d’état et(t0, x0)une donnée de Cauchy associée.
Soit(J, x)l’unique solution maximale du problème de Cauchy. On rappelle queJest nécessairement ouvert ; on le noteJ =]α, β[avecβ∈]t0,+∞]etα∈[−∞, t0[.
— Siβ <+∞, alorssupt∈[t0,β[kx(t)k= +∞.
— Siα >−∞, alorssupt∈]α,t0]kx(t)k= +∞.
Remarque I.48
— Commexest une application continue, elle est bornée sur tout intervalle compact et donc les conclusions ci-dessus montrent quexn’est pas bornée au voisinage deβ(resp.α).
— On peut en fait montrer une propriété un peu plus forte en remplaçant les conclusions parlimt→βkx(t)k= +∞(resp.limt→αkx(t)k= +∞), c’est un bon exercice.
La version ci-dessus est en général suffisante dans les applications.
Preuve :
Supposons queβ <+∞et queR:= supt∈[t0,β[kx(t)k<+∞.
Par restriction et prolongement, on construit un champ de vecteurs fR : R×Rd → Rd continu et globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état qui coïncide avecf sur[t0, β+ 1]×B¯(0, R+ 1). Le problème de Cauchy associé à fR et à la donnée(t0, x0)admet une unique solution globale dont la restriction àJ ∪ {β} est solution du problème initial, ce qui contredit la maximalité de la solution(J, x).
Exercice I.1
Etudier (sans les calculer) l’ensemble des solutions de l’équationx0 =x(1−x).
Une version plus générale du résultat précédent, dans le cas d’un champ de vecteurs seulement défini sur un ouvert de
Rd, est la suivante.
Théorème I.49 (de sortie de tout compact)
SoitIun intervalle ouvert non vide,f :I×Ω →Rdun champ de vecteurs continu et localement lipschitzien par rapport à la variable d’état et(t0, x0)une donnée de Cauchy associée.
Soit(J, x)l’unique solution maximale du problème de Cauchy ; on noteJ =]α, β[avecβ > t0etα < t0.
— Siβ∈I, alors pour tout compactK⊂Ω, on a
x([t0, β[)6⊂K.
— Siα∈I, alors pour tout compactK⊂Ω, on a
x(]α, t0])6⊂K.
Exemple I.50
L’équation scalaire suivante est une bonne illustration du phénomène de sortie de tout compact x0= 1
x(1−x). On peut faire les mêmes remarques que pour le résultat précédent.
Remarque I.51
Plaçons nous dans le premier cas oùβ∈I, des remarques similaires pouvant être faites dans l’autre cas.
— Commexest une application continue, on peut établir que pour toutt∗ ∈J, on ax([t∗, β[)6⊂Kdoncx sort deKaussi proche que l’on soit de l’extrémitéβ.
— On peut en fait montrer qu’il existet∗∈J tel quex([t∗, β[)⊂Ω\K, ce qui est bien sûr plus fort.
La version ci-dessus est en général suffisante dans les applications.
Preuve :
Concentrons-nous sur le premier cas. On suppose queβ ∈Iet que, pour un certain compactK⊂Ω, on ax([t0, β[)⊂ K.On construit un ouvert bornéU tel queK ⊂U etU ⊂Ω5. De plus, commeβ ∈I, on peut trouverδ > 0tel que [t0, β+δ]⊂I. Appliquons l’argument de restriction prolongement (CorollaireI.19) surK= [t0, β+δ]×U, ce qui nous donne un champ de vecteursf˜continu et globalement lipschitzien surR×Rdqui coïncide avecf surK.
Il existe donc une unique solution globalex˜:R→Rdau problème de Cauchy (x˜0(t) = ˜f(t,x(t)),˜ ∀t∈R,
˜
x(t0) =x0, (I.19)
— Commef˜etf coïncident sur[t0, β[×Ket quex([t0, β[)⊂K, on voit que([t0, β[, x)est aussi solution de (I.19).
Par unicité, on en déduit quex= ˜xsur[t0, β[.
— La fonctionx˜étant continue, il existeε >0(que l’on choisit de sorte queε≤δ) tel quex([t˜ 0, β+ε[)⊂U. Commef etf˜coïncident sur[t0, β+ε[×U, on constate quex˜vérifie
˜
x0(t) = ˜f(t,x(t)) =˜ f(t,x(t)),˜ ∀t∈[t0, β+ε[.
et donc([t0, β+ε[,x)˜ est une solution du problème de Cauchy initial (qui coïncide sur[t0, β[avec la solutionxde départ.
— La fonctionx¯définie par
¯ x(t) =
(x(t), ∀t∈]α, t0],
˜
x(t), ∀t∈[t0, β+ε[,
est alors une solution du problème de Cauchy initial définie sur un intervalle strictement plus grand queJ =]α, β[, ce qui contredit la maximalité de(J, x).
5. Savez-vous construire un tel ouvert ?
V Equilibres. Stabilité. Stabilité asymptotique
On considère dans cette partie un champ de vecteursautonomef : Ω→Rdde classeC1(donc localement lipschit-zien)6. L’instant initial pour la donnée de Cauchy n’a donc aucune importance et sera arbitrairement choisie comme étant t0= 0.
Définition I.52 (Equilibres)
On appelleéquilibre du système(on parle aussi d’un point critique du champ de vecteursf) tout pointx∗ ∈Ω tel que
f(x∗) = 0.
Ceci implique que la fonction constantet ∈ R 7→ x∗ est une solution particulière de l’équation différentielle x0=f(x).
On s’intéresse dans la suite aux propriétés de stabilité (sous-entendu quandt → +∞) de ces solutions, ce qui se formalise de la façon suivante.
ε δ
(a) L’origine est stable
ε δ
(b) L’origine est asymptotiquement stable
FIGUREI.6 – Notions de stabilité d’un point d’équilibre
Définition I.53
Soitx∗un équilibre du système différentielx0 =f(x).
— On dit quex∗est un équilibrestablesi : pour toutε >0, il existeδ >0tel que, pour toute donnée initiale x0 proche dex∗àδprès, la solution du système partant dex0est d’une part définie sur tout[0,+∞[et d’autre part reste proche dex∗àεprès au cours du temps. Voir la figureI.6. En utilisant la notion de flot, cette propriété s’écrit
∀ε >0,∃δ >0, Φ(t)(B(x∗, δ))⊂B(x∗, ε), ∀t≥0.
— On dit quex∗est un équilibreasymptotiquement stables’il est stable et si de plus, pour toute donnée initialex0suffisamment proche dex∗, la solution associée converge versx∗quandttend vers l’infini.
En utilisant la notion de flot, ceci s’exprime de la façon suivante : il existeδ >0tel que
∀x0∈B(x∗, δ), ϕ(t, x0)−−−→t→∞ x∗.
6. On peut raffiner les hypothèses de régularité nécessaire mais ce n’est pas ce qui nous intéresse ici
Il faut prendre garde que dans la définition de la stabilité le rayonδpeut être plus petit que le rayonε: en particulier on ne dit pas que les boules sont invariantes par le flot ! Ceci est illustré sur la figureI.7.
ε δ
FIGUREI.7 – Un exemple de système stable mais non asymptotiquement stable