On montre ici quelques exemples de trajectoires du système. Les figures sont été obtenues grâce à un notebook jupy-ter/python disponible à l’adressehttps://git.io/fhH9L. Dans ce notebook vous pourrez faire varier les paramètres de façon interactive pour visualiser les différents comportements possibles des solutions.
La partie gauche des figures montre l’évolution des trois quantitésS,RetI en fonction du temps, la partie droite montre la trajectoire dans le plan de phase (I, S). Le point bleu est le point initial et les gros points rouges sont les équilibres du système.
VI.3.a Extinction d’une épidémie de force modérée On suppose que :
— La moitié de la population est infectée à l’instant initial :I0=S0= 1/2,R0= 0.
— La durée moyenne d’infection est de 2 jours :ν = 1/2
— La probabilité de contagion estβ = 1/30
— L’immunité disparaît au bout d’une dizaine de jours :γ= 1/10
FIGUREI.11 – Epidémie de force modérée
Dans ces conditions on obtient la solution du système donnée dans la figure I.11. On observe que l’épidémie ne se propage pas (cela correspond à la stabilité asymptotique de l’équilibre(S = 1, I = 0)du système) et qu’elle finit par s’éteindre au bout de quelques dizaines de jours.
VI.3.b Déclenchement d’une épidémie de grippe à New-York dans les années 60
Cette grippe très virulente a démarré avec 10 individus infectés sur une population totale de 8 millions d’habitants, ce qui donneI0= 1.25 10−6.
La durée moyenne d’infection constatée était de3jours et la probabilité de contagion était de1/2. On suppose que l’immunité acquise est permanente, i.e.γ= 0(ceci modifie un peu l’étude du système par rapport à ce qu’on a fait plus haut : en particulier tous les états de la forme(I= 0, S=S∗)sont des équilibres du système).
On observe que l’épidémie a mis presque 50 jours à prendre de l’ampleur et qu’elle a duré environ 150 jours au total.
Comme l’immunité est permanente, la limite à l’infini de la quantitéRdans cet exemple nous donne la proportion totale de la population qui a été infectée à un moment ou à un autre par le virus. On observe donc qu’au bout de 6 mois environ, près de 60% de la population New-Yorkaise a été affectée.
VI.3.c Et si le virus mute ?
Reprenons l’exemple précédent en supposant que le virus est capable petit à petit de muter. On le prend en compte dans le modèle en supposant cette fois que l’immunité acquise par les patients infectés n’est pas permanente. On reprend donc les mêmes paramètres que précédemment en supposant cette fois queγ= 1/365(on estime qu’il faut un an au virus pour muter). Les résultats obtenus sont indiqués dans la figureI.13.
Si le début de la dynamique est essentiellement le même, on voit ensuite que la population est de moins en moins immunisée et permet ainsi à l’épidémie de connaître un nouveau pic (moins important toutefois que le précédent) et ainsi de suite pendant plusieurs années. In fine, la solution converge vers l’équilibre attendu (pour lequel la proportion d’individus infectés est petite mais pas nulle, ici environ 0.25%).
FIGUREI.12 – Epidémie virulente à New-York
FIGUREI.13 – Epidémie virulente à New-York avec mutation
VI.3.d Le casβ=ν
Dans ce cas, on a vu que la stabilité asymptotique globale de l’état d’équilibre(S∗, I∗) = (1,0)est encore vraie mais qu’elle n’est plus exponentielle. C’est ce qu’on observe dans les figuresI.14etI.15où la vitesse de retour à l’équilibre est de la forme
I(t)∼t→+∞ C
t, 1−S(t)∼t→+∞ C0 t .
FIGUREI.14 – Epidémie dans le casβ =ν
FIGUREI.15 – Epidémie dans le casβ =ν. Vitesse de retour à l’équilibre
A retenir du chapitre
En priorité
— Les définitions principales (champs de vecteur et leurs régularité, problème de Cauchy, solutions locales, maxi-males, globales, flot, résolvante, stabilité, stabilité asymptotique ...)
— Enoncé et preuve du lemme de Gronwall.
— Résolution des équations différentielles linéaires autonomes. Formule de Duhamel.
— Etre capable de dessiner (au moins l’allure !) du portrait de phases pour un système linéaire2×2autonome.
— Enoncés des théorèmes de Cauchy-Lipschitz global et local, des théorèmes d’explosion en temps fini et de sortie de tout compact.
Savoir les utiliser convenablement pour prouver des propriétés qualitatives des solutions d’une EDO (positivité, etc ...)
— Propriétés du flot.
— Enoncé du théorème de stabilité/stabilité asymptotique dans le cas linéaire autonome.
Connaître la preuve dans le cas de valeurs propres à parties réelles strictement négatives.
— Enoncé du critère spectral de stabilité asymptotique pour une EDO non-linéaire autonome.
Savoir l’utiliser et connaître les cas où on ne peut pas conclure.
Pour approfondir
— Travailler les preuves des principaux théorèmes. Observer que beaucoup d’entre elles utilisent le lemme de Gronwall de façon cruciale.
— Enoncé du théorème de Hartmann-Grobman.
— Théorie de Liapounov et théorème des barrières.
Chapitre II
Equations de transport
Dans ce chapitre et le suivant, on va étudier des équations aux dérivées partielles. On pourra utiliser de façon équiva-lente différentes notations pour les dérivées partielles
∂t, ∂
∂t, ∂x, ∂
∂x, ∂xi, ∂i, ...
selon le contexte dans le but d’alléger le plus possible les formules.
Par ailleurs, on utilisera dans ce chapitre quelques opérateurs différentiels classiques (essentiellement la divergence et le gradient) dont on rappelle les définitions et les propriétés de base au début de l’annexeA. On utilisera également (très peu) le formalisme de la théorie des distributions qui est également rappelé dans cette même annexe que l’on pourra consulter en cas de besoin.
De façon très usuelle en EDP et sauf mention explicite du contraire les opérateurs ∇,div (et aussi ∆ que l’on rencontrera dans le prochain chapitre) n’agissent que sur les variables d’espace et pas de la variable de temps. Les dérivées par rapport au temps sont toujours explicitement donnée par les opérateurs∂t,∂t2, ... Ainsi par exemple si (t, x)∈R×Rd7→f(t, x)∈Rest une fonction régulière, on notera
∇f(t, x) =
∂f
∂x1(t, x) ...
∂f
∂xd(t, x)
.