, ∀x∈R2. Les caractéristiques associées sont alors des cercles concentriques donnés par
X(t, s, x0) =
cos(ω(t−s)) −sin(ω(t−s)) sin(ω(t−s)) cos(ω(t−s))
x0. La solution de l’équation est alors donnée par
u(t, x) =u0(R−ωtx),
oùRθest la matrice de la rotation d’angleθdans le plan orienté dans le sens trigonométrique.
— Champ tournant en 3D :On se place en dimension3et on suppose qu’il existe un vecteur non nulω∈R3tel que v(t, x) =ω∧x, ∀t∈R,∀x∈R3.
On noteP le plan vectoriel orthogonal àω(P =ω⊥). On constate que la composante selonωdes caractéristiques est constante
X(t, s, x0)·ω=x0·ω, ∀t, s∈R,∀x0∈R3.
Par ailleurs, la projection surPde la caractéristiqueX(t, s, x0)vérifie la même équation que celle du cas précédent modulo le choix judicieux de l’orientation. Les trajectoires sont donc des cercles tournant autour de l’axe porté par ωet de vitesse angulaire|ω|.
III.3 Autres applications de la méthode des caractéristiques
La méthode présentée ci-dessus et essentiellement basée sur la formule (II.10) permet de résoudre beaucoup d’autres équations dont la partie principale11est de typetransport. On va donner ci-dessous quelques exemples.
On se donne toujours un champvde classeC1 et borné etX désigne à nouveau les caractéristiques associées à ce champ.
11. c’est-à-dire l’ensemble des termes de l’équation qui comportent des dérivées de la fonction inconnue
FIGURE II.6 – Solution d’un problème de transport à vitesse variablev(t, x) = 0.7 + 0.5t+ 0.5 sin(2x)toujours aux tempst= 0,1,2,3
III.3.a Termes sources Théorème II.13
Pour toutu0∈ C1(Rd), et toutf ∈ C0(R×Rd), il existe une unique solutionu∈ C1([0,+∞[×Rd)au problème
de Cauchy suivant (
∂tu+v(t, x)· ∇u=f(t, x), ∀t >0,∀x∈R,
u(t= 0, x) =u0(x), ∀x∈R. (II.11)
Preuve :
On procède à nouveau par analyse/synthèse en supposant que la solution uexiste. On fixe alors x0 ∈ Rd et on s’intéresse à l’évolution de la solutionu, le long de la caractéristique issue de la donnée de Cauchy(0, x0), c’est-à-dire de la quantité
ϕ(t) :=u(t, X(t,0, x0)), ∀t∈R.
On a toujoursϕ(0) =u(0, X(0,0, x0)) =u(0, x0) =u0(x0)et on peut calculer la dérivée deϕcomme dans (II.10) ϕ0(t) = (∂tu+v· ∇u)(t, X(t,0, x0)).
Cette fois cette quantité n’est pas nulle mais on peut utiliser l’équation vérifiée parupour obtenir la relation ϕ0(t) =f(t, X(t,0, x0)),
qui ne dépend que des données du problème et permet donc de déterminerϕpar intégration ϕ(t) =u0(x0) +
Z t 0
f(s, X(s,0, x0))ds.
Revenant à la définition deϕ, on voit qu’on a obtenu u(t, X(t,0, x0)) =u0(x0) +
Z t 0
f(s, X(s,0, x0))ds, ∀t∈R, ∀x0∈Rd.
Il reste à inverser la caractéristique : on fixetetxet on posex0=X(0, t, x)pour obtenir grâce aux propriétés de groupe du flot
u(t, x) =u0(X(0, t, x)) + Z t
0
f(s, X(s, t, x))ds.
Cela montre l’unicité de la solutionudu problème et fournit une formule (relativement) explicite de la solution. On peut maintenant reprendre tous les calculs à l’envers pour établir que la formule ci-dessus définit bien une fonction de classe C1qui est solution de (II.11).
III.3.b Termes de réaction. Equation de continuité
On suppose toujours le champvdonné régulier et borné. On s’intéresse d’abord à l’équation de continuité
∂tρ+ div(ρv) = 0,
que l’on a discuté plus haut. Cette équation n’est pas une équation de transport usuelle car on a un termediv(ρv)à la place dev· ∇ρ. On peut néanmoins utiliser les formules de dérivation de produits (formule (A.2) de l’annexeA) pour écrire l’équation sous la forme
∂tρ+v· ∇ρ+ (divv)ρ= 0.
Commevest une donnée du problème,divvest un champ scalaire connu et donc la partie principale de cette équation est bien du typetransport. Remarquons que sidivv = 0on a en fait exactement une équation de transport. En général toutefois, cette équation est un cas particulier d’un problème de la forme
∂tu+v· ∇u+au= 0,
oùa: (t, x)∈ R×Rd 7→ a(t, x) ∈ Rest une fonction continue donnée. Le termeaudans cette équation est parfois appelé terme deréaction.
Théorème II.14
Pour toutu0∈ C1(Rd), et touta∈ C0(R×Rd), il existe une unique solutionu∈ C1([0,+∞[×Rd)au problème
de Cauchy suivant (
∂tu+v(t, x)· ∇u+a(t, x)u= 0, ∀t >0,∀x∈R,
u(t= 0, x) =u0(x), ∀x∈R. (II.12) De plus, siu0(x)≥0pour toutx, alorsu(t, x)≥0pour toutt, x.
Preuve :
On reprend la démarche maintenant usuelle en essayant de déterminer l’évolution deule long des caractéristiques du champven posant
ϕ(t) :=u(t, X(t,0, x0)),
oùuest une solution potentielle du système. On a toujours la donnée initialeϕ(0) =u0(x0), et on trouve ϕ0(t) = (∂tu+v· ∇u)(t, X(t,0, x0)) =−a(t, X(t,0, x0))u(t, X(t,0, x0)).
On reconnaît dans le membre de droite la définition deϕce qui fournit ϕ0(t) =−a(t, X(t,0, x0))ϕ(t).
Cette fois, on n’obtient pas une formule explicite pourϕ, mais une équation différentielle linéaire du premier ordre que l’on peut résoudre pour obtenir
ϕ(t) =u0(x0) exp
− Z t
0
a(s, X(s,0, x0))ds
. On a donc obtenu
u(t, X(t,0, x0)) =u0(x0) exp
− Z t
0
a(s, X(s,0, x0))ds
, ce qui permet, comme à chaque fois, de retrouveru, par inversion de la caractéristique
u(t, x) =u0(X(0, t, x)) exp
− Z t
0
a(s, X(s, t, x))ds
.
On obtient encore une fois une formule qui prouve l’unicité d’une éventuelle solution. Il reste à nouveau à remonter les calculs pour prouver que la formule obtenue est bien une solution du problème.
Il est clair sur la formule obtenue que siu0est positive, alorsul’est aussi puisque c’est le produit d’une valeur deu avec une exponentielle.
IV Solutions faibles de l’équation de transport
On va chercher à définir une notion un peu plus générale de solution pour les équations de transport. Il y a plusieurs motivations pour cela (dont certaines, et pas des moindres, dépassent le cadre de ce cours) mais on peut par exemple citer le fait que les données initiales et/ou au bord pour le problème peuvent ne pas être dérivables (et même pas continues) : on peut penser par exemple à la modélisation du démarrage à un feu rouge dans le cadre du trafic routier. Au moment où le feu passe au vert, la densité est nulle en aval et non nulle en amont du feu, il y a donc une discontinuité dans la donnée initiale.
Cet objectif est d’autant plus raisonnable que l’on constate que, par exemple, la formule u(t, x) =u0(X(0, t, x)),
obtenue dans le théorèmeII.11pour la solution générale de l’équation de transport est parfaitement bien définie même si u0est seulement une fonction continue et même seulement une fonction mesurable ...
On dispose d’autre part de la théorie des distributions qui permet de donner un sens très général à la notion de solution d’une EDP. On va tenter ici de faire un lien entre tous ces concepts.