3.2 / T ransform ee en ondelettes ´
3.2.1/ DeFourier aux ondelettes
Introduite en 1822, la transform´ee de Fourier est sans conteste l’outil le plus utilis´e pour le traitement des signaux stationnaires1 [Fourier, 1822]. Elle peut ˆetre vue comme un prisme qui d´ecompose le signal sur une base de fonctions trigonom´etriques (sinus et cosinus). Elle consiste en la repr´esentation du signal, d´efini initialement dans l’espace-temps, dans un nouvel espace fr´equentiel, comme illustr´e sur la figure3.2. Elle regroupe plusieurs familles de transformations : continue, discr`ete, rapide, etc.
F (t)
F (t)
F (t)
cos(2πf1t) sin(2πf1t)
cos(2πfnt)
sin(2πf2t) sin(2πfnt)
cos(2πf2t)
fn
f1 f2
e j2π f t
fréquence
Figure 3.2 – Illustration de la transform´ee de Fourier sur plusieurs fr´equences[Gao and Yan, 2011].
Par ailleurs, la transform´ee de Fourier se r´ev`ele inadapt´ee quant `a la repr´esentation des signaux faisant apparaˆıtre des ´ev´enements transitoires (signaux non-stationnaires), par exemple un mor-ceau de musique[Allen and Rabiner, 1977]. Ce caract`ere local du signal (variations brusques du signal) devient une caract´eristique globale du signal fr´equentiel qui fausse donc son interpr´etation dans le domaine fr´equentiel.
Dans le cas des signaux transitoires, il est pr´ef´erable d’appliquer la transform´ee de Fourier sur des segments du signal pour r´esoudre le probl`eme. C’est d’ailleurs ce que Gabor [Gabor, 1946]
a propos´e dans ses travaux c’est-`a-dire une approche qui d´ecoupe le signal en plusieurs parties (fenˆetres glissantes) pour une meilleure repr´esentation. Cette m´ethode illustr´ee sur la figure 3.3, pr´econise d’appliquer la transform´ee de Fourier sur ses fenˆetres glissantes (uniquement sur des segments du signal) pour au final couvrir l’int´egralit´e du signal. En revanche, la taille de la fenˆetre est fixe ce qui g´en`ere de s´erieux compromis dans l’analyse. Par exemple, dans le cas d’une fenˆetre
´etroite, la localisation des changements est pr´ecise, mais au mˆeme moment, les signaux `a basses fr´equences sont mal pris en compte. D’un autre cˆot´e, si la fenˆetre est large, il est difficile de d´eterminer avec pr´ecision les variations et les discontinuit´es du signal.
Un autre outil math´ematique a alors vu le jour, consid´er´e comme une extension de la trans-form´ee de Fourier standard et `a fenˆetre glissante, appel´e les “les ondelettes” (petites ondes). Ces derni`eres permettent ainsi l’analyse simultan´ee temps-fr´equence du signal. Elles utilisent des
fonc-1. Un signal est stationnaire s’il est invariant dans le temps.
tions analysantes `a la place des fonctions trigonom´etriques complexes propres `a la transform´ee de Fourier. Ces ondelettes profitent de leurs aptitudes `a se comprimer et `a se dilater pour s’adapter automatiquement aux diff´erentes composantes du signal. Ainsi, les fenˆetres ´etroites analysent les composantes transitoires `a haute fr´equence et les fenˆetres larges analysent celles de longue dur´ee (`a basse fr´equence) comme le montre la figure 3.4. Ces propri´et´es les transforment en micro-scopes math´ematiques `a zoom variable, car les ondelettes comprim´ees accroissent le grossisse-ment du microscope, dont l’objectif est de mettre en avant les d´etails les plus fins et inversegrossisse-ment.
La repr´esentation temps-fr´equence des trois transformations sur la figure3.5illustre parfaitement l’apport des ondelettes par rapport `a la transform´ee de Fourier.
Fréq uence
Figure3.3 – Illustration de la transform´ee de Fourier par fenˆetre glissante[Gao and Yan, 2011].
F (t)
Figure3.4 – Illustration de la transform´ee en ondelettes[Gao and Yan, 2011].
3.2 Transform´ee en ondelettes
Fréquence
Temps
Fréquence
Temps
Fréquence
Temps
Fréquence
Temps
Fréquence
Temps Le plan temps-fréquence
Base standard
Base de F
ourier Fenêtre largeFenêtre étroite
Le plan temps-fréquence découpé lors d'une transformation de
Fourier à fenêtre glissante
Le plan temps-fréquence découpé lors d'une transformation
en ondelettes
Figure3.5 – Illustration de la repr´esentation temps-fr´equence des diff´erentes transformations (Fou-rier standard, Fou(Fou-rier `a fenˆetre glissante et ondelettes).
3.2.2/ Applications des ondelettes
Par souci d’efficacit´e et de pertinence du message, les applications cit´ees ici se r´esument `a celles relevant de la manipulation d’images. L’objectif global de ce chapitre traitant de l’asservissement visuel en utilisant les coefficients d’ondelettes comme primitives visuelles a naturellement guid´e ce choix.
— Segmentation :Des travaux d´ecrits dans[Kumar et al., 2009]ont pour but de r´ealiser une segmentation automatique d’objets dans une image. Cette m´ethode consiste `a extraire des primitives pertinentes dans les images initiales pour les regrouper dans des r´egions plus petites, ceci de mani`ere automatique. Ces travaux utilisent des ondelettes discr`etes pour le calcul des primitives visuelles pertinentes (objets) et les s´eparer (segmenter) du reste de l’information contenue dans les images. Les r´esultats de leurs travaux sont illustr´es dans la figure3.6.
D’autres travaux ont ´et´e r´ealis´es par[Wiskott, 1999] dans le but de mettre en œuvre une m´ethode de segmentation `a partir du mouvement des objets dans les images. La m´ethode
(a) (b) (c) (d)
Figure3.6 – Segmentation des images par ondelettes : (a) image original, (b) masque, (c) image originale avec extraction du masque, et (d) image originale du masque[Kumar et al., 2009].
consiste `a combiner les informations visuelles calcul´ees par la transform´ee en ondelettes de Gabor[Gabor, 1946]et de Mallat[Mallat, 2000]pour s´eparer le mouvement des objets de celui de l’arri`ere-plan. Ainsi, la transform´ee en ondelettes de Gabor permet une esti-mation pr´ecise du vecteur de flux d’images `a faible r´esolution spatiale combin´e avec un histogramme.
— Suivi visuel (visual tracking) :Parmi les travaux sur le suivi visuel utilisant des ondelettes, nous pouvons citer celui de[Chang et al., 2007]. Il pr´esente un suivi de personnes dans une s´equence d’images fond´e sur la transform´ee en ondelettes discr`etes. Il utilise dans cette m´ethode les informations de couleur et spatiale des objets-personnes dans l’image. L’int´erˆet de ces travaux est la prise en compte de la couleur comme information suppl´ementaire dans le suivi de plusieurs personnes en plus de l’information morphologique (taille).
Par ailleurs, le travail d´ecrit dans [He et al., 2002] s’int´eresse au suivi de visages en temps-r´eel dans une s´equence d’images en utilisant les ondelettes de Gabor pour le cal-cul des descripteurs globaux repr´esentant chaque visage. Dans cette approche, les auteurs s´electionnent d’une mani`ere stochastique des coefficients d’ondelettes `a forte ´energie, pour ensuite les suivre dans un flux vid´eo grˆace `a un calcul de similarit´e sur les descripteurs.
D’autres travaux [Brault and Antoine, 2013] s’int´eressent `a l’estimation uniquement du mouvement de translation en utilisant des ondelettes anisotropes (orientables) dans le cal-cul de la pose des objets dans l’image. Ces travaux ont ouvert la voie vers l’estimation du mouvement planaire (translations et rotation dans le plan de l’image) des objets `a partir d’une s´equence d’images[Leduc et al., 1997, Leduc et al., 1998].
— D´e-bruitage :Des m´ethodes d’´elimination du bruit sont r´ealis´ees sur les images grˆace `a l’utilisation des ondelettes. C’est le cas des travaux de[Chang et al., 2000], qui proposent une m´ethode de d´e-bruitage bas´ee sur un seuillage par ondelettes adaptatives. Le r´esultat de cette approche est pr´esent´e `a la figure3.7. Par ailleurs, d’autres solutions de d´e-bruitage fond´ees sur des ondelettes sont r´esum´ees dans les travaux de[Motwani et al., 2004].
— Compression d’image : La compression d’image est un autre domaine pour lequel les ondelettes ont largement contribu´e. Ainsi, les ondelettes sont utilis´ees pour repr´esenter
ef-(a) (b)
Figure 3.7 – D´ebruitage d’image par ondelettes : (a) image bruit´ee, et (b) image d´e-bruit´ee [Chang et al., 2000].
3.2 Transform´ee en ondelettes
ficacement les propri´et´es locales (basses fr´equences) d’une image du reste de l’information contenue dans l’image qui correspond g´en´eralement `a du bruit (hautes fr´equences). L’utili-sation des propri´et´es locales pour le codage de l’image permet de r´eduire sa taille d’un taux sup´erieur `a 50% sans perte effective de l’information initiale. Cette approche est la base des formats de compression d’images largement r´epondus aujourd’hui comme les formats JPEG et JPEG 2000 [Usevitch, 2001]. `A ceci s’ajoute les travaux de compression vid´eo, toujours inspir´es de la repr´esentation en ondelettes comme le format MPEG.
— D´etection de contours :Une autre application des ondelettes est la d´etection de contours.
Les premiers travaux dans ce domaine sont ceux de [Mallat and Hwang, 1992], qui uti-lisent la transformation en ondelettes multir´esolution pour extraire les transitions fortes (contours) du signal dans l’image. Ensuite, les travaux de[Zhang and Bao, 2002]montrent une am´elioration notable dans l’extraction des contours en ajoutant l’aspect multi-´echelle.
Au fait, les contours sont non pas le r´esultat d’une recherche sur une seule ´echelle, mais ce-lui de la concat´enation sur plusieurs ´echelles ce qui am´eliore la pr´ecision de m´ethode. Ainsi, les fortes transitions sont d´etect´ees `a une ´echelle grossi`ere, celles de plus faibles amplitudes sont extraites `a des ´echelles plus petites, tout ceci de mani`ere intuitive (figure3.8).
(a) (b) (c)
Figure 3.8 – D´etection de contours par ondelettes et par le filtre de Canny : (a) image origi-nale bruit´ee (SNR= 16.52 dB), (b) d´etection de contours par multiplication des ondelettes mul-tir´esolution, et (c) d´etection de contours avec le filtre de Canny[Zhang and Bao, 2002].
En r´esum´e, nous avons constat´e que bien qu’elles soient apparues r´ecemment, les ondelettes couvrent plusieurs applications li´ees `a la manipulation des images. Elles contribuent fortement `a une meilleure repr´esentation des informations visuelles contenues dans une image. Comme men-tionn´e ci-dessus, plusieurs familles d’ondelettes existent : continues, orthogonales, discrets, etc.
3.2.3/ D´efinition de la transformee en ondelettes´
La transform´ee en ondelettes consiste `a calculer l’ensemble des produits scalaires du signal par une famille d’ondelettes, appel´es coefficients d’ondelettes. Math´ematiquement, nous d´efinissons chaque coefficient d’ondelettes[Gasquet and Witomski, 2000], comme suit :
WF(t)(α, β)=hF, ψ(α,β)i ' Z
∞
F(t)ψ(α,β)dt (3.4)
o`u F(t) est le signal temporel 1D,ψest une fonction de base, appel´ee ondelette “m`ere” ou ana-lysante d’int´egrale oscillante, multi-´echelle, et de moyenne nulle, α ∈ R est un scalaire appel´e param`etre d’´echelle (zoom) qui d´etermine la r´esolution en temps et en fr´equence deψ, etβ ∈ R est le param`etre de d´ecalage qui d´eplace l’ondelette le long de l’axe temporel.
Nous retrouvons dans l’´equation (3.4), comme pour la transform´ee de Fourier, la convolution du signal d’origine avec une base fonctionnelle. Dans le cas des ondelettes, nous utilisons la base {ψ(α,β),(α, β)∈R2}au lieu de la base de Fourier{e(2iπf t),(f)∈R}.
Plusieurs familles d’ondelettes usuelles sont r´ef´erenc´ees dans la litt´erature. Elles sont re-group´ees suivant quatre propri´et´es principales[Misiti et al., 2003]:
— existence de filtres associ´es ;
— orthogonalit´e ou bi-orthogonalit´e ;
— support compact ou non ;
— ondelettes r´eelles ou complexes.
Les familles les plus connues sont : Haar [Misiti et al., 2003], Daubechies [Daubechies et al., 1992], Meyer[Meyer, 1993], Morlet et chapeau mexicain[Misiti et al., 2003]
(repr´esent´ees dans la figure3.9). Elles sont regroup´ees dans la table3.1suivant leurs propri´et´es. A ces familles d’ondelettes, nous pouvons rajouter celles de Gabor, car bien qu’elles soient d´efinies comme des transform´ees `a fenˆetre glissante, elles se rapprochent de la d´efinition des ondelettes.
Par ailleurs, il est possible de cr´eer ses propres familles d’ondelettes en fonction de l’usage souhait´e[Misiti et al., 2003]. Enfin, comme pour la transform´ee de Fourier, suivant le signal `a
Table3.1 – Principales propri´et´es des familles d’ondelettes[Misiti et al., 2003].
Ondelettes `a filtres Ondelettes sans filtres A support compact A support non compact R´eelles Complexes Orthogonales Biorthogonales Orthogonales
Daubechies, Haar biorthogonales Meyer Morlet Morlet complexes
Haar Daubechies 4 biorthogonales
chapeau mexicain Morlet Meyer
(a) (b) (c)
(f) (e)
(d)
Figure3.9 – Illustration des diff´erentes familles d’ondelettes.
analyser, plusieurs types de transform´ee en ondelettes sont possibles (figure3.10) :
— transform´ee en ondelettes continues ;
— transform´ee en ondelettes discr`etes.
Ainsi, dans cette th`ese nous allons aborder deux types de transform´ee en ondelettes. La suite de ce chapitre va concerner la transform´ee en ondelettes continues dans sa forme spectrale. Ensuite, dans le chapitre suivant, nous allons utiliser la transform´ee en ondelettes discr`etes dans le cadre de