Mod´elisation de la d´eformation

In document The DART-Europe E-theses Portal (Page 146-151)

5.2 Etalonnage d’un syst`eme OCT

5.2.3 Mod´elisation de la d´eformation

Etalonner notre syst`eme OCT n´ecessite de disposer d’un mod`ele de d´eformation g´eom´etrique´ qui exprime les distorsions de l’image en fonction du chemin optique suivi par le laser. Ce mod`ele math´ematique nous permettra de r´ealiser la correction attendue `a chaque acquisition. Ainsi, afin d’assurer une correction dans le cas des coupes B-Scans et des volumes OCT, nous allons proposer deux mod`eles de d´eformation et de compensations. Pour l’´etablir, nous nous sommes appuy´es sur le principe de fonctionnement du syst`eme OCT `a un seul miroir[Westphal et al., 2002]illustr´e par la figure5.13(a). Cependant, nous allons proposer `a l’inverse des travaux de[Westphal et al., 2002]

une mod´elisation ´etendue sur 3D, car le balayage lors de la construction de la coupe B-Scan n’est pas forc´ement dans le plan balay´e par un seul miroir.

5.2.3.1/ Equation du mod`´ ele de d´eformation2D

Dans ce sch´ema, la source laser OCT est redirig´ee vers l’´echantillon grˆace au miroir de ba-layage qui tourne autour de l’axey. Afin d’´ecrire l’´equation du mod`ele de balayage d’un syst`eme OCT conventionnel, nous sommes partis du sch´ema de propagation de la lumi`ere de la figure5.17.

Z

X

lame

θ P

d

x0

φ

r

zraw

x

c

D

xraw

Oc

Oraw

z

c

Figure 5.17 – Illustration du mod`ele 2D de propagation du faisceau de lumi`ere sur une lame parfaitement rectiligne.

5.2 ´Etalonnage d’un syst`eme OCT

Si on consid`ere le point Oc comme le centre de balayage du miroir. Le rep`ere polaireRraw (d´efini par les vecteurs Oraw, ~xraw,~zraw) repr´esente le rep`ere de l’image d´eform´ee (l’image re-tourn´ee par l’OCT) et le rep`ere cart´esienRcar (d´efini par les vecteurs Oc,~x,~z) (rep`ere monde).

La zone de balayage de l’OCT est limit´ee par deux arcs de cercle correspondant aux profondeurs minimales et maximales de mesure. La distance curviligne le long de l’arc de cercle entre l’origine du rep`ere polaireOrawet l’axe principal de l’OCT (position initiale du miroir) est repr´esent´e par x0et une position minimale de balayageD. Comme ces deux param`etres sont li´es `a l’architecture de la sonde, ils sont consid´er´es comme param`etres intrins`eques du syst`eme OCT.

Ainsi, si on d´epose une lame de verre (surface parfaitement plane) comme l’´echantillon `a ana-lyser, d’autres param`etres extrins`eques vont apparaˆıtre : le param`etre d’inclinaison de la lameθet la distancedde la lame dans le rep`ere polaireRrawsur l’axe optique du syst`eme l’OCT. L’objec-tif est d’´ecrire l’´equation de la courbe de la lame dans le rep`ereRrawen fonction des param`etres intrins`eques (x0,D) et extrins`eques (θ,d).

De fait, soit un pointPde la lame balay´ee par le syst`eme OCT. Les coordonn´ees du pointP dans le rep`ere polaireRraws’´ecrivent :

(xraw =x0+ϕD

zraw=r−D (5.1)

De mˆeme, nous ´ecrivons les coordonn´ees du pointP, dans le rep`ere cart´esienRcar, de la mani`ere suivante :

(x=r sin(ϕ)

z=r cos(ϕ) (5.2)

Inversement, nous avons aussi :

ϕ=atan2(x,z) et r= p

x2+z2 (5.3)

L’´equation de la droite repr´esentant la lame dans le rep`ere cart´esien (O, ~x,~z) s’´ecrit comme suit :

z=−x tan(θ)+d+D (5.4)

En introduisant l’´equation (5.2), l’´equation (5.4) devient :

rcos(ϕ)=−rsin(ϕ) tan(θ)+d+D (5.5)

D’o`u nous pouvons d´eduire l’expression suivante :

r= d+D

cos(ϕ)+tan(θ) sin(ϕ) (5.6)

Proposition 8 : ´Equation du mod`ele de d´eformation 2D

Finalement, en injectantϕetrobtenus `a partir de l’´equation (5.1) dans l’´equation (5.6), nous aboutissons `a :

zraw= (d+D)

cos(xraw−x0

D )+tan(θ) sin(xraw−x0

D )

−D (5.7)

Cette expression repr´esente l’´equation de d´eformation 2D de la lame due au balayage du miroir sur l’axex.

5.2.3.2/ E´quation du mod`ele de deformation´ 3D

L’´equation de d´eformation 3D peut ˆetre consid´er´ee comme une extension de l’´equation de la d´eformation 2D. En effet, dans ce cas, le mode de balayage est similaire `a celui du 2D `a la diff´erence qu’on balaye une surface contrairement au cas d’une coupe c’est-`a-dire une ligne. Pour ce faire, chaque miroir intervient pour balayer un axe, ainsi n’importe quel point de la surface est scann´e en combinant l’effet des deux miroirs.

Soit le sch´ema de propagation de faisceau sur x,y illustr´e `a la figure 5.18, l’origine O1 repr´esente le centre du miroir qui balaye suivant l’axe de rotation~x1, tandis que l’origineO2est le centre du deuxi`eme miroir qui balaye suivant la direction orthogonale `a la premi`ere~y2. `A noter que la position du deuxi`eme miroir (repr´esent´ee parO2) est inconnue par rapport `aO1. Ainsi, nous notonsD2la distance qui les s´epare.

lame

Figure 5.18 – Illustration du sch´ema 3D de propagation du faisceau laser OCT sur une lame parfaitement plane (mire fournie par Thorlabs).

Les param`etres intrins`eques du syst`eme OCT (en s’appuyant sur le sch´ema de la figure5.18) sont les param`etresD1,D2,x0ety0. Tandis que les param`etres extrins`eques sont la configuration (pose) de la lame par rapport `a l’OCT. Ils sont d´efinis par la distancedet les deux anglesθ1etθ2 de la lame par rapport `a l’origineO1.

5.2 ´Etalonnage d’un syst`eme OCT

ety2 =0 car le pointP1=0 se situe dans le plany2=0.

L’expression des coordonn´ees du pointP1dans le rep`ere cart´esienRcar1 (O1,x~1,y~1,z~1), en utili-sant la matrice de transformation homog`ene1T2du rep`ereRcar2 versRcar1 s’´ecrit alors :

1T2=

Figure5.19 – Illustration du sch´ema 3D de propagation du faisceau laser sur une lame parfaitement plane.

Cependant, comme le mod`ele de d´eformation exacte poss`ede un sens de d´eformation convexe sur l’axe xet concave sur l’axey(figure5.19). Alors, nous avons introduit un signe n´egatif dans la matrice de transformation de telle sorte qu’elle s’´ecrive :

1T2=

Donc :

x1 = x2

y1 = cos(ϕ1)y2+sin(ϕ1)z2−(D1−D2) sin(ϕ1) z1 = −sin(ϕ1)y2+cos(ϕ1)z2−(D1−D2) cos(ϕ1)

(5.13) L’´equation de la lame s’´ecrit, dans le rep`ere cart´esienRcar, comme suit :

z1=ax1+by1+ d1+D1

(5.14) o`ua=tang(θ1) etb=tang(θ2).

En remplac¸antx1,y1,z1par leurs expressions donn´ees dans l’´equation (5.14), on obtient :

−sin(ϕ1)y2+cos(ϕ1)z2−(D1−D2)cos(ϕ1)=ax2+b z2sin(ϕ1)+cos(ϕ1)y2−(D1−D2)sin(ϕ1)+d1+D1 (5.15) Commey2 =0, car on ne r´ealise pas de balayage en dehors du plany, nous avons alors :

z2(cos(ϕ1)−bsin(ϕ1))−a x2−(D1−D2) (cos(ϕ1)−bsin(ϕ1))=d1+D1 (5.16) Puis en remplac¸antx2etz2, `a partir de l’´equation (5.8), nous aboutissons :

r2(cos(ϕ2) cos(ϕ1)−bcos(ϕ2) sin(ϕ1)−asin(ϕ2))=d1+D1− D2−D1 cos(ϕ1)−bsin(ϕ1) (5.17) Il reste `a transposer cette ´equation dans le rep`ere polaire Rraw. Pour cela, nous ´ecrivons les coordonn´ees du pointP1dans (Oraw,~xraw,~yraw,~zraw), par :

A partir de l’´equation (5.18),ϕ1etϕ2sont d´efinis comme suit :

Proposition 9 : ´Equation du mod`ele de d´eformation 3D

Finalement, en remplac¸ant ϕ1, ϕ2 avec l’´equation (5.19) et r2 avec l’´equation (5.17) danszrawde l’´equation (5.18), nous obtenons l’´equation du mod`ele de d´eformation d’un volume OCT : L’expression finale obtenue est celle de la surface courbe 2D calcul´ee dans l’image 3D et correspondant `a la lame.

Jusqu’`a pr´esent, nous avons propos´e deux ´equations du mod`ele de d´eformation des images et volumes OCT. Ces fonctions obtenues permettent de d´ecrire les courbes correspondant aux d´eformations li´ees au chemin optique de l’image d’une mire d’´etalonnage. Nous verrons par la suite comment identifier les param`etres intrins`eques et extrins`eques `a partir des images OCT et corriger ces images.

5.2 ´Etalonnage d’un syst`eme OCT

In document The DART-Europe E-theses Portal (Page 146-151)