Asservissement visuel fond´e sur les ondelettes multir´esolution

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H

V D

H

V D

H

V D

A

A

Image originale Décomposition au niveau 1 Décomposition au niveau 2

(A) Approximations (H)Détails horizontaux (D)Détails diagonaux (V)Détails verticaux

Figure4.5 – D´ecomposition par repr´esentation compacte.

: Détails horizontaux : Détails diagonaux : Détails verticaux

niv eau 1

: Approximations Image originale

niv eau 0 niv eau 2 + + +

+ + +

A H D V

A H D V

H D V

A

Figure4.6 – D´ecomposition par repr´esentation arborescente.

4.4 / A sservissement visuel fond e sur les ondelettes multir ´ esolution ´

Le d´eveloppement de la loi de commande fond´ee sur les ondelettes discr`etes multir´esolution s’inspire de deux travaux : l’´equation du flot optique avec les ondelettes multir´esolution et la commande par asservissement visuel photom´etrique pr´esent´e dans le Rappel13.

4.4.1/ E´quation du flot optique par ondelettes multiresolution´

Le flot optique est l’estimation du mouvement apparent relatif entre une cam´era et les ´el´ements d’une sc`ene (objet, surface, etc.) (en anglais, Optical Flow Constraint Equation (OFCE)). Le terme de flot optique a ´et´e introduit par J. J. Gibson[Gibson, 1978]dans ses ´etudes et observations sur le fonctionnement de la vision humaine. Le standard math´ematique utilis´e pour la mesure du flot optique est bas´e sur l’hypoth`ese d’invariance temporelle sur un intervalle court de l’intensit´e des pixels.

Soit une imageI(x,y), le flot optique `a l’instanttau point (x,y) est d´efini comme la vitesse du point image comme suit : L’invariance d’illumination dans le temps d’un point image (x,y) traduit que la luminosit´e du point ne d´epend pas du temps et s’´ecrit :

I(x,y)=I0 (4.20)

Le flot optique est contraint par l’´equation suivante :

∂I

∂xx˙+ ∂I

∂yy˙+ ∂I

∂t =0 (4.21)

o`u ( ˙x,y) correspondent aux d´eplacements de la projection d’une point physique dans l’image,˙ ∂I∂t la variation de l’intensit´e lumineuse, et ∂x∂I,∂I∂yles gradients spatiaux sur (x,y) de l’image.

N´eanmoins, l’inconv´enient majeur de l’´equation (4.21) est l’estimation unique de deux incon-nues contraintes par une seule ´equation. Par cons´equent, des travaux pour ´elargir le nombre de contraintes ont ´et´e initi´es par [Horn and Schunck, 1981] avec un ajout d’une contrainte de lis-sage en premier. Par la suite, des travaux ont ´et´e initi´es par d’autres groupes de recherche afin de proposer des solutions alternatives : [Lucas et al., 1981] utilise les m´ethodes diff´erentielles, [Anandan, 1989] exploite les r´egions de correspondance, [Adelson and Bergen, 1985] r´ealisent des filtrages spatio-temporels et [Weber and Malik, 1995] d´eveloppent des approches mul-tir´esolution.

Parmi les approches propos´ees, l’utilisation des ondelettes multir´esolution semble ˆetre l’outil id´eal, pour la mesure du flot optique, car :

— les ondelettes poss`edent une structure multir´esolution ;

— leur filtrage `a large ´echelle peut ˆetre r´ealis´e par un algorithme rapide[Mallat, 1996];

— elles sont l’outil naturel pour la mesure du flot optique.

La m´ethode propos´ee par[Bernard, 1999]pour le calcul du flot optique multir´esolution utilise un produit scalaire entre la famille d’ondelette (´equation (4.18)) et l’´equation du flot optique (4.21) qui s’´ecrit :

Apr`es un d´eveloppement math´ematique propos´e dans [Bernard, 1999], nous arrivons `a l’´equation du flot optique multir´esolution suivant :

4.4 Asservissement visuel fond´e sur les ondelettes multir´esolution

Rappel 15 :Equation du flot optique dans le cas des ondelettes multir´esolution´ L’´equation du flot optique dans le cas des ondelettes multir´esolution est donn´ee par :

* o`uh,iest le produit scalaire.

Pour cela, on consid`ere l’hypoth`ese (approximation) que ˙x(x) et ˙y(x) sont constants sur les supports desΨkρ(c.-`a-d., que les nouvelles coordonn´ees multir´esolution sont similaires aux coor-donn´ees spatiales dans l’image initiale) :

˙

x(x)= x(ρ)˙ ∀x∈supportψ2Dk ,∀k,

˙

y(x)=y(ρ)˙ ∀x∈supportψ2Dk ,∀k.

Enfin, il devient possible de mettre en ´equation la formulation de la contrainte du flot op-tique avec une repr´esentation multir´esolution (´equation (4.23)). Grˆace `a cette ´equation, nous allons d´evelopper une loi de commande fond´ee sur les ondelettes multir´esolution. L’objectif de ce travail est de proposer `a la fois un sch´ema de commande `a fort potentiel en termes de pr´ecision, et de robustesse et domaine de convergence. Comme dans le cas de la photom´etrie, notre contrˆoleur ne n´ecessite aucune phase de d´etection de primitives visuelles `a l’exception du calcul global des onde-lettes, ni de mise en correspondance, ni encore d’algorithme de suivi visuel. Le contrˆoleur mis en place a ´et´e valid´e `a plusieurs reprises en simulation mais aussi sur une plateforme exp´erimentale.

4.4.2/ Primitives visuelles de type ondelettes multir´esolution

Afin de choisir les primitives visuelles de type ondelettes, nous avons d´ecid´e d’utiliser l’´equation du flot optique multir´esolution r´ecrite sous la forme suivante :

*

L’´equation4.24 est interpr´et´ee grˆace `a l’algorithme de Mallat par le diagramme de la trans-form´ee en ondelettes multir´esolution pr´esent´e sur la figure4.7.

A partir de l’´equation (4.24), il est possible d’extraire les primitives visuelles comme suit :

Proposition 5 : Primitives visuelles des ondelettes multir´esolution

Soit l’´equation (4.24), les primitives visuelles sont le signal d’approximationde la trans-form´ee en ondelettes. Plus pr´ecis´ement, ici nous consid´erons le signal d’approximation

`a la r´esolution j+1 retourn´e par la transform´ee en ondelettes d’une image I(2j) `a la r´esolution initiale j. Il est exprim´e par :

I(2j+1)=D

I(2j)(x,y), ψ2D0 (x,y)E

N×M (4.25)

o`u N × M sont respectivement le nombre de lignes et de colonnes de l’image I `a la r´esolution j.

Afin de pouvoir l’exploiter efficacement par la suite, une repr´esentation vectorielle des primitives visuelles s du signal d’approximation est n´ecessaire. Nous les d´efinissons comme suit :

4.4.3/ Calcul du gradient spatial des ondelettes multiresolution´

Dans la mesure o`u nous voulons d´eterminer les composants de la matrice d’interaction, il est n´ecessaire de calculer le gradient spatial des ondelettes multir´esolution `a partir de l’´equation (4.24).

garder un pixel sur deux

Figure4.7 – Diagramme de la transform´ee en ondelettes multir´esolution d’une image 2D.

4.4 Asservissement visuel fond´e sur les ondelettes multir´esolution

Proposition 6 : Gradient spatial des ondelettes multir´esolution Le gradient spatial des ondelettes multir´esolution sur l’axexs’´ecrit :

gH

(2(j+1))est le signal de d´etail horizontal en sortie d’une transform´ee en ondelettes `a l’´echelle j+1.

Le gradient spatial des ondelettes multir´esolution sur l’axeys’´ecrit : gV

(2(j+1)) est le signal de d´etail vertical en sortie de la mˆeme transform´ee `a l’´echelle j+1.

4.4.4/ Choix de la famille d’ondelettes

Avant de proc´eder `a la formalisation de la loi de commande, il est n´ecessaire de choisir une famille d’ondelettes `a utiliser dans l’algorithme rapide de Mallat. Plusieurs familles d’ondelettes sont `a notre disposition comme Morlet, Meyer, Splines, Daubechies, etc. Nous avons choisi d’uti-liser les ondelettes de Daubechies, car c’est une famille d’ondelettes performantes et largement utilis´ees. De plus elles poss`edent les propri´et´es suivantes :

— l’analyse est orthogonale ;

— la r´egularit´e des ondelettes augmente avec l’ordre ;

— les ondelettes sont asym´etriques ;

— les supports deψetϕsont de longueur 2N o`uN d´efini l’ordre de la fonction (dbN).

C’est une famille d’ondelettes `a un param`etre sans expression explicite. Cependant, il est pos-sible de voir le d´eveloppement math´ematique de calcul dans[Daubechies et al., 1992].

Dans la suite, nous avons fait le choix d’utiliser les filtres quadratiques d’ordre 4 (db4), car ils offrent les meilleurs r´esultats en termes de pr´ecision et de stabilit´e par rapport aux autres filtres d´ecrits dans la litt´erature. Ces filtres disponibles dans les Toolbox de MatLab sous le nom “wave-lets” sont d´efinis par les valeurs num´eriques suivantes :

(ldb4={−0.01,0.03,0.03,−0.18,−0.02,0.63,0.71,0.23}

hdb4 ={−0.2,0.7,−0.63,−0.02,0.18,0.03,−0.03,−0.01} (4.29) De plus, la d´eriv´ee discr`ete fournie par l’expression de [Bernard, 1999] g´en`ere les valeurs num´eriques suivantes :

(l0db4 ={−0.00,−0.02,0.08,−0.02,−0.34,0.29,0.96,0.46}

h0db4 ={0.23,−0.33,0.15,0.05,−0.03,−0.01,0.005,0.002} (4.30)

4.4.5/ Formalisation de la loi de commande

Comme mentionn´e ci-dessus, aucune extraction de primitives visuelles n’est n´ecessaire, seule une transformation globale (calcul des coefficients d’ondelettes multir´esolution) est utilis´ee.

1 2 3 4 5 6 7 8

Figure4.8 – Illustration de la courbe des filtres de Daubechies d’ordre 4 : (a) filtrehdb4, et (b) filtre ldb4.

Figure4.9 – Illustration de la courbe des filtres de Daubechies d’ordre 4 : (a) filtreh0db4, et (b) filtre l0db4.

Proposition 7 : Formulation de la commande par ondelettes multir´esolution [Ourak et al., 2016d]

La fonction tˆache se traduit par la diff´erence entre les deux signaux d’approximation aux positions courantes et d´esir´ees `a la r´esolution j+1 :

br=arg min Dans la mesure o`u nous voulons d´eterminer les composants de la matrice d’interaction, nous int´egrons les notations des deux ´equations (4.27) et (4.28) dans l’´equation (4.24) qui devient :

˙I(2(j+1))(x,y)=−

g(2H(j+1))(x,y) ˙x+gV(2(j+1))(x,y)˙y

(4.32) Si nous ´ecrivons l’´equation (4.32) sous forme matricielle, nous aurons :

˙I(2(j+1))(x,y) =−h

o`uL2Dest la matrice d’interaction d’un point 2D de l’imageI(´equation (2.13)).

Si nous plac¸ons l’´equation (4.34) dans l’´equation (4.33), nous obtenons alors :

˙I(2(j+1))(x,y)=−2jh

gH(2(j+1))(x,y) gV

(2(j+1))(x,y)i

L2Dvc=Lw(2(j+1))(x,y)vc (4.35) Afin de g´en´eraliser l’´equation (4.35), nous introduisons une matrice d’interaction mul-tir´esolutionLw(2(j+1)) calcul´ee avec les signaux de d´etail principalement horizontaux et verticaux. Cette nouvelle matrice d’interaction s’´ecrit :

Lw(2(j+1))=

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