DÉVELOPPEMENT D’UNE MÉTHODE DE PROPAGATION PARTIELLE 155
Dans notre cas, nous appliquons cette formule aux quantités ρ, ρu et Πneq. D’autres formules d’interpolation ont été testées, sans obtenir d’amélioration intéressante. Dans le cas où deux directions d’interpolation sont disponibles, nous effectuons la moyenne des deux interpolations. Dans les quelques situations de maillage où les 4 points requis ne sont pas disponibles, nous utilisons une interpolation linéaire sur 2 points comme suit
v( , t) = 1 2
v( + ex∆xf, t) + v( − ex∆xf, t)+ O(∆xf)2 . (6.12)
Remarques complémentaires sur la précision de l’interpolation
Comme nous l’avons indiqué, diverses études ont montré qu’une interpolation spatiale d’ordre 2 (c’est à dire linéaire, bilinéaire ou trilinéaire) provoque des discontinuités, en particulier sur le champ de pression [Lag+12; Gen+17]. Pour une interpolation de la fonction de distribution complète, un ordre minimum de 3 est requis pour assurer la continuité des champs macroscopiques à l’interface. Ceci se déduit d’ailleurs logiquement de l’équation de collision (4.7), dans laquelle le terme d’erreur issu de l’intégration le long des caractéristiques est d’ordre 3. Toutefois, une interpolation d’ordre au moins 3 est-elle nécessaire pour tous les moments de la fonction de distribution ?
En l’occurrence, une interpolation d’ordre 2 (moyenne spatiale sur deux points par direction) est exactement équivalente à un filtrage d’ordre 2 particulier. Or, nous avons montré dans la section 4.1.2 qu’un filtrage d’ordre 2 de la partie hors équilibre de la fonction de distribution n’affectait pas la précision des schémas de Boltzmann sur réseau. Il en résulte qu’une interpolation d’ordre 2 est possible pour les moments hors équilibre de la fonction de distribution. Une telle affirmation est donnée sans démonstration dans l’étude [GGK09b] sur l’interpolation dite compacte. Toutefois, l’interpolation compacte repose également sur une interpolation d’ordre 2 pour la densité (qui n’est donc pas un moment hors équilibre), ce qui ne semble pas en conformité avec l’ordre de précision requis. Il n’est d’ailleurs pas prouvé à ce jour que l’interpolation compacte est satisfaisante sur le plan aéroacoustique.
Pour d’autres précisions sur la question des interpolations spatiales et temporelles, on se réfèrera à notre article [Gen+17] (en particulier à la section IV.B dédiée).
6.3 Transfert du maillage fin vers le maillage grossier :
développement d’une méthode de propagation partielle
6.3.1 Motivations
L’étape qui consiste à convertir et propager une fonction de collision du maillage fin vers le maillage grossier est capitale. Il s’agit en effet du premier maillon de la chaîne de calcul des données manquantes à l’interface de transition. En effet, si on résume dans l’ordre l’algorithme classique, la fonction de collision filtrée aux nœuds
N
c est propa-gée vers les nœuds c, puis cette dernière est convertie et interpolée temporellement (ou simplement transférée, selon l’itération) pour ensuite être elle-même utilisée dans l’inter-polation spatiale. Il est donc clair que toute erreur trop importante lors de cette première étape se répercutera sur tout le reste de la chaîne de traitement de l’interface, ainsi que sur le maillage grossier. Pour en avoir le cœur net il suffit, sans bien sûr ajouter de viscosité de volume via un modèle de collision particulier, de supprimer l’étape de filtrage au nœudEn bref, l’objectif de cette section est de déterminer une méthode pour améliorer la "compatibilité" entre la fonction de collision au nœud
N
c et les fonctions de collision du maillage grossier.6.3.2 Description de la méthode
L’objectif général est identique à celui de l’algorithme classique lors de l’étape de transfert des données du maillage fin vers le maillage grossier en cell-vertex : calculer, pour tous les indices α, gcα(
N
c, t).L’idée est d’utiliser le moins possible d’information issue du maillage fin pour recons-truire la fonction de collision au nœud
N
c. Concrètement, il s’agit de propager vers le nœudN
cles fonctions de collision (calculées au pas de temps précédent) issues de tous les nœuds grossiersN
cet cvoisins disponibles, au lieu de calculer intégralement la fonction de distribution au pas de temps courant par un filtrage des données voisines du maillage fin (nœuds etN
f). Puisque, par définition, les nœudsN
c sont des nœuds grossiers, la propagation partielle a lieu à l’échelle du maillage grossier, c’est à dire à l’échelle de ∆xc = 2∆xf. Une fois ces propagations effectuées, toutes les fonctions de distribution manquantes (c’est à dire les indices α pour lesquels gcα(N
c, t) reste inconnue, appelés aussi directions manquantes, en rapport à l’orientation du vecteur cαcorrespondant) sont calculées par la méthode classique de filtrage et de rescaling à partir des nœuds fins voisins. On rappelle que l’étape de propagation à l’échelle du maillage grossier s’écrit, toujours en comptant le temps par unités de ∆tf, gαc(x, t) = g∗cα(x − cα, t − 2), où g∗αest la fonction de collision. Rappelons que nous nous plaçons en un point x =N
c=N
f. Nous définissons deux ensembles d’indices α pour une fonction de distribution gαc(x, t) donnée :• Les indices α ∈ P sont ceux pour lesquels il existe au point x − cα un nœud grossier (
N
cou c). L’ensemble est appelé P car il correspond à tous les indices pour lesquels la fonction de distribution sera calculée via une étape de propagation à partir des nœuds grossiers voisins disponibles. Il contient toujours l’indice α = 0, quelque soit la géométrie de l’interface de transition.• Les indices α ∈ F sont ceux pour lesquels il n’existe pas de nœud grossier au point x − cα. L’ensemble est appelé F car il correspond à tous les indices qui seront calculés via la procédure de filtrage de l’algorithme standard. F est bien sûr le complémentaire de P dans l’ensemble des indices des vitesses discrètes.
L’algorithme de propagation partielle revient à subdiviser l’étape 3.d) de l’algorithme (calcul des nœuds
N
c) en plusieurs parties :1. Une étape de propagation, durant laquelle les fonctions de collision rentrantes issues des nœuds grossiers
N
cet cvoisins disponibles (indices α ∈ P) sont utilisées pour calculer la fonction de distribution gfα pour α ∈ P.Il s’agit simplement d’effectuer
gcα(
N
c, t) = g∗cα(N
c− cα, t − 2) (6.13) pour α ∈ P.2. Il s’agit ensuite de calculer gαc(
N
c, t) pour α ∈ F , par un filtrage et un rescaling de gαf(N
f, t). On effectuegcα(
N
c, t) = geqα(N
f, t) +2τgc
6.3. TRANSFERT DU MAILLAGE FIN VERS LE MAILLAGE GROSSIER :
DÉVELOPPEMENT D’UNE MÉTHODE DE PROPAGATION PARTIELLE 157
pour α ∈ F .
3. À partir de la fonction de distribution obtenue, maintenant connue pour tous les indices α, on calcule la fonction d’équilibre correspondant à gαc(
N
c, t) : celle-ci est obtenue en calculant les variables macroscopiques de manière totalement identique à la méthode standard. Nous nommons cette fonction d’équilibre geq,2α (N
c, t).6.3.3 Compléments sur le transfert fin → grossier
Il est intéressant de noter que les grandeurs macroscopiques calculées à partir de gαc(
N
c, t) après propagation partielle ne correspondent pas à celles calculées localement à partir de gfα(
N
f, t) avant propagation partielle, phénomène que nous noterons, par exemple pour la densité, Pq−1α=0gαc(
N
c, t) = ρc(N
c, t) 6= ρf(N
f, t) = Pq−1α=0gαf(
N
f, t). Or dans le cas de l’étape de filtrage et rescaling de l’algorithme standard, on a ρc(N
c, t) = ρf(N
f, t). Toutefois, ceci n’est en rien problématique puisque, pour les raisons que nous allons expli-quer ci-dessous, c’est le cas d’égalité qui constitue nécessairement une erreur.L’algorithme LBM, nous l’avons vu, possède une précision spatio-temporelle d’ordre 2 vis à vis des équations de Navier-Stokes athermales faiblement compressibles, qui consti-tuent leur limite hydrodynamique. Nous notons ρN S la solution donnée par ces équations limites. Nous négligeons, sans aucune incidence sur le raisonnement, les termes d’erreur liés au nombre de Mach et au nombre de Knudsen. Considérons, pour un écoulement donné, deux discrétisations en maillage uniforme distinctes telles que ∆t = ∆tf pour la première et ∆t = ∆tc = 2∆tf pour la seconde. Focalisons nous sur l’évolution d’une quantité conservée par le schéma LBM en un point x donné, par exemple la densité ρ. On a alors ρf = ρN S + O[(∆tf)2] et ρc= ρN S + O[(∆tc)2]. Or bien entendu, O[(∆tf)2] 6= O[(∆tc)2] ce qui implique immédiatement ρf 6= ρc. Un cas d’égalité peut exister pour un écoulement entièrement uniforme et stationnaire (situation sans intérêt pratique).
Pour notre étude de l’étape de transfert entre le maillage fin et le maillage grossier, cela montre que la valeur "idéale" de ρc(
N
c, t) (c’est à dire pour un algorithme de transfert fin → grossier parfait) ne peut pas être ρf(N
f, t). Or, dans l’algorithme standard sans propagation partielle, on a ρc(N
c, t) = ρf(N
f, t). Ce constat se fait identiquement pour la quantité de mouvement.Cela ne prouve en rien que l’étape de l’étape de propagation partielle soit exacte pour autant (elle ne l’est d’ailleurs pas, puisque la propagation n’est que "partielle"). Néanmoins, nous avons l’intuition (ce qui sera confirmé lors des applications numériques) que le fait de mélanger de l’information venant du maillage grossier avec celle venant du maillage fin, fournissant une fonction d’équilibre "hybride", permet de mieux prendre en compte le fait qu’idéalement, gcα(
N
c, t) serait une fonction de distribution entièrement issue d’un calcul sur un maillage grossier uniforme.Précisons en conclusion qu’une méthode de propagation partielle peut également être utilisée pour le calcul des fonctions de distribution fines au niveau de l’interface (c’est à dire celles qui sont calculées par interpolation). En effet, certaines directions α pourraient être calculées par une étape de propagation à partir des nœuds fins internes voisins. Tou-tefois, cette méthode a été testée dans le cadre de notre travail et a fourni des résultats insatisfaisants, c’est pourquoi nous ne l’avons pas retenue.