ω1 = k · u0+ |k|c0− i|k|2N ω2 = k · u0− |k|c0− i|k|2N ω3 = k · u0− i|k|2ν ω4 = ω3 ω5 = k · u0 , (3.2)
avec N = 23ν +12ξ (ν et ξ étant respectivement les viscosités de cisaillement et de volume) et u0le champ moyen. Un terme en (|k|N /c0)2a été négligé ici dans la partie dispersive des modes acoustiques, pour des raisons détaillées dans [MRS09]. Ces pulsations correspondent aux trois modes physiques identifiés par Kovasznay [Kov12;SC08] :
1. le mode de vorticité ω3 = ω4, se propageant à la vitesse |u0| cos(kud0) et dissipé au taux −|k|2ν, aveckud0 l’angle entre les vecteurs k et u0
2. les modes acoustiques ω1 et ω2 (respectivement ascendant et descendant), se pro-pageant à la vitesse c±= |u0| cos(kud0) ± c0
q
1 − (|k|Nc
0 )2 et dissipés au taux −|k|2N 3. le mode entropique ω5 qui, en conséquence de l’hypothèse isotherme, est convecté
passivement et sans dissipation. Il est donc sans intérêt pour notre étude.
Cette solution peut-être prise comme référence pour la comparaison avec des schémas numériques basés sur les équations de Navier-Stokes 3D faiblement compressibles ou les schémas de Boltzmann sur réseau.
3.1.2 Cas des schémas Navier-Stokes d’ordre élevé et LBM-BGK
Nous synthétisons ici les résultats des études de Marié et al. [MRS09;Mar08] sur deux cas :
• les schémas aéroacoustiques basés sur les équations de Navier-Stokes faiblement com-pressibles 3D, où la discrétisation spatiale est traitée par différences finies et la dis-crétisation temporelle par des schémas de Runge-Kutta. Plusieurs variantes sont testées : schéma d’ordre 2 avec 3 étapes de Runge-Kutta en temporel, schéma DRP optimisé de Tam et Webb à 3 étapes temporelles [TW93] et un schéma d’ordre 6 optimisé avec une discrétisation temporelle à 6 étapes optimisées [BBB06].
• le schéma de Boltzmann sur réseau BGK dans sa version D3Q19.
Pour l’étude des schémas numériques Navier-Stokes, le problème aux valeurs propres obtenu dans la partie précédente est modifié par la discrétisation spatiale et temporelle. Il ne possède plus de solution analytique et doit être résolu numériquement.
Pour la discrétisation d’équations basées sur des fonctions de distribution comme l’équation de Boltzmann BGK, il s’agit de chercher des solutions sous la forme
fα(x, t) = fα(0)+ fα0(x, t) (3.3)
où sont séparées valeurs moyennes et fluctuantes. La partie fluctuante est également re-cherchée sous la forme d’une onde plane
3.1. ANALYSE LINÉAIRE DE VON NEUMANN 63
Cette fois, le procédé de Von Neumann implique également la linéarisation de la distri-bution d’équilibre. En effet, même si l’on prend par exemple le cas simple de l’opérateur de collision BGK, les équations obtenues ne sont linéaires qu’en apparence : la fonction d’équilibre cinétique, elle, n’est pas linéaire vis à vis des variables macroscopiques. Une fois le procédé de linéarisation effectué, un nouveau problème aux valeurs propres est obtenu et également résolu numériquement (notons que ce problème a été résolu analytiquement en 2D par Lallemand et Luo [LL00], au moyen d’approximations successives en nombre d’onde). En résumé, on retrouve pour les modes acoustiques et le mode de vorticité, confor-mément à l’analyse de la limite hydrodynamique de l’équation de Boltzmann sur réseau :
schéma LBM
ω1= k · u0+ |k|c0− i|k|2N + O(∆x2) + O(2) ω2= k · u0− |k|c0− i|k|2N + O(∆x2) + O(2) ω3= k · u0− i|k|2ν + O(∆x2) + O(2)
(3.5)
où le terme d’erreur d’invariance galiléenne en O(M a2) dans la viscosité à été négligé (puisque nous sommes dans un cadre linéaire). Seule l’expression de N change par rapport au schéma Navier-Stokes vu plus haut (pour le schéma LBM-BGK par exemple, N = ν), ainsi que les termes d’erreur d’ordre élevé. On pourra se référer à [Krü+17;Vig14b] pour les relations de dispersion des modes acoustiques à un ordre plus élevé (en unités LBM).
Il est capital de remarquer que la matrice du problème aux valeurs propres dans le cas LBM D3Q19 est de dimension 19 (de manière générale, de dimension q pour un DdQq). Ainsi, dans les schémas de type Boltzmann sur réseau, des degrés de liberté supplémentaires existent et donnent naissance à ce que l’on appelle des modes non-hydrodynamiques (ou encore modes fantômes). Les termes qui les constituent n’appa-raissent pas directement dans la limite hydrodynamique à l’ordre dominant, mais y sont couplés via les termes d’erreur d’ordre élevé. Ils influent grandement sur la stabilité numé-rique du schéma. Le lecteur pourra se référer à [DEL02;LL00] pour une étude détaillée. Nous reviendrons toutefois plus loin sur ce point crucial, dans la section sur les modèles de collision à temps de relaxation multiples. Le fait pour un schéma numérique d’engendrer des modes correspondant à des degrés de liberté supplémentaires est une caractéristique qui n’est pas exclusive aux schémas de Boltzmann sur réseau. Ce phénomène apparaît également dans les méthodes aux éléments finis, dans les méthodes pseudo-spectrales ou encore dans les méthodes implicites.
Plusieurs enseignements importants peuvent être tirés de telles comparaisons. Le pre-mier est en rapport aux propriétés de dispersion et dissipation des différents types de schémas. La figure 3.1, extraite de [MRS09], compare les résultats des schémas Navier-Stokes cités plus haut et l’algorithme de Boltzmann-BGK pour un écoulement moyen uniforme le long de l’axe x avec un nombre de Mach M a = 0.2, la solution de référence correspondant au système (3.2).
En matière de dissipation, les résultats sont très clairement en faveur de la LBM. Le seul cas dans lequel l’erreur de dissipation pour un schéma Navier-Stokes est légèrement plus faible que pour la LBM est le cas du mode de cisaillement pour le schéma d’ordre 6 optimisé. Concernant l’erreur de dispersion, la LBM fait indéniablement mieux qu’un schéma Navier-Stokes du même ordre (c’est à dire, rappelons le, d’ordre 2). Son comporte-ment se rapproche de celui du schéma DRP optimisé d’ordre 3. On remarquera même que la LBM fait mieux dans les grands nombres d’onde pour la dispersion du mode acoustique (k∆x > π/3).
Toutefois, cette première série de comparaisons n’a d’intérêt pratique que si elle est complétée d’une seconde : celle liée aux nombres d’opérations CPU nécessaires par unités
Figure 3.1 – Erreurs de (a)(c)(e) dispersion et (b)(d)(f) dissipation pour M a = 0.2. ( ) LBM-BGK ; (M O ) Navier Stokes 2nd ordre ; (+ × ◦) DRP optimisé ; (90♦) Navier Stokes ordre 6
optimisé. Extrait de [MRS09]. Pour la colonne de gauche, une erreur apparaît dans la légende de l’axe des ordonnées : ce n’est pas <(k∗) ni <(k) mais <(ω∗) et <(ω).
de temps physique. Sur ce point, l’étude de [MRS09; Mar08] cherche à déterminer la rapidité des algorithmes pour un taux d’erreur de dispersion donné. Une fois de plus, les conclusions sont claires : la LBM est nettement plus rapide que tous les schémas Navier-Stokes considérés (tant que l’erreur de dispersion reste supérieure à 0.01%). Le seul schéma compétitif par rapport à la LBM sur le critère cité plus haut est le schéma DRP optimisé d’ordre 3. Toutefois, cette affirmation doit-être tempérée : en effet, si l’on prend en compte
3.1. ANALYSE LINÉAIRE DE VON NEUMANN 65
également l’erreur de dissipation, la LBM devient à nouveau bien plus avantageuse. De plus, la compacité et la simplicité d’implémentation du schéma LBM en particulier sur des configurations industrielles complexes ajoute de sérieux argument en sa faveur, en particulier pour ce qui est du calcul massivement parallèle.
Notons en conclusion qu’une analyse linéaire comparative très détaillée, centrée sur la problématique de l’acoustique, est disponible dans la thèse de Viggen [Vig14b] et dans [Krü+17].