Commentaires sur la limite hydrodynamique obtenue

ρeu +¹ 2ρ|u|²u + ˜q + ˜

σ

u  + O(²) = 0 avec ˜

σ

=

σ

⁽⁰⁾+ 

σ

⁽¹⁾ (1.77) = pI − µ  ∇u +T∇u −² 3^{(∇ · u)I}  (1.78) et q = q˜ ⁽⁰⁾+ q⁽¹⁾ (1.79) = −κ∇T (1.80)

et les coefficients de viscosité µ et de conductivité thermique κ donnés par

µ = τ ρrT = _{b b}τ p (1.81)

κ = ⁵

2τ ρr_b ²T = ⁵

2τ rp_b (1.82)

On peut notamment faire apparaître dans l’expression des contraintes le tenseur des dé-formations S défini par

S = ^{∇u +}

T∇u

2 ^(1.83)

Remarque : passage dimensionnel-adimensionnel

Les systèmes macroscopiques obtenus l’ont été à partir de l’équation de Boltzmann-BGK adimensionnelle. Il est donc normal qu’apparaisse  dans le tenseur des contraintes et dans le flux de chaleur.

L’équation de Boltzmann dimensionnelle s’obtient simplement en remplaçant _bτ par τ dans le terme de collision.

τ ←→ τ_b (1.84)

On en déduit que pour obtenir les équations de Navier-Stokes en unités réelles, il n’y a qu’à effectuer cette même substitution dans (1.76), tout en considérant toutes les variables physiques comme étant dimensionnelles. Ce faisant, on retrouve bien les équations de conservation usuelles.

1.3.3 Commentaires sur la limite hydrodynamique obtenue

On peut remarquer que le développement de Chapman-Enskog sur l’équation de Boltz-mann BGK fournit une viscosité de volume nulle (on se réfère à la définition de la vis-cosité de volume au sens de Dellar [Del01], qui reprend celle de Landau et Lifshitz et nous semble être la plus pertinente, notamment d’un point de vue acoustique). Dit autrement, le gaz ainsi modélisé vérifie l’hypothèse de Stokes. Le tenseur

τ

est donc, en cohérence avec les définitions (1.3)-(1.5), de trace nulle. Ces mêmes remarques peuvent être faites si

1.3. LIMITE HYDRODYNAMIQUE DE L’ÉQUATION DE BOLTZMANN 21

l’on regarde le résultat d’un développement de Chapman-Enskog effectué sur l’équation de Boltzmann complète.

En revanche, la forme simplifiée de l’opérateur de collision BGK fournit d’un nombre de Prandtl tel que P rBGK = 1 alors que l’on obtient P r = ²₃ pour l’équation de Boltzmann avec un modèle de collisions élastiques de sphères dures. En effet, pour un gaz parfait monoatomique on a la relation ^cp

r = ⁵₂ avec c_p la capacité thermique massique à pression constante, ce qui donne dans le cas BGK

P rBGK = µc_p κ ⁼

2pc_p

5rp ^{= 1 (1.85)}

Il existe des modèles qui, pour corriger cela, utilisent une autre formulation de la fonction d’équilibre : c’est le cas du BGK-ES [Hol65]. En dehors de cette difficulté liée au nombre de Prandtl et en ce qui concerne uniquement l’obtention des équations de Navier-Stokes, il n’y a pas de différence notable entre l’opérateur de collision de Boltzmann et l’opérateur BGK en ce qui concerne la limite hydrodynamique à l’ordre 1 en nombre de Knudsen. Les termes d’erreur d’ordre ² auront en revanche des expressions très différentes, ce qui n’est pas sans conséquence. Il faut garder à l’esprit que les solutions de l’équation de Boltzmann obtenues avec ce terme de collision BGK ont un domaine de validité relati-vement restreint. Cet opérateur est effectirelati-vement très simple, plus encore que l’opérateur de collision linéarisé de Boltzmann, très étudié par les mathématiciens. On verra par la suite que l’opérateur BGK fournit, dans le cadre de l’équation de Boltzmann sur réseau, un schéma numérique peu stable bien que très utile dans bien des situations peu complexes. Au delà de l’obtention correcte des équations de Navier-Stokes avec une précision d’ordre 2, le développement de Chapman-Enskog possède, vis à vis de son homologue de Hilbert, d’autres avantages mathématiques et physiques concernant son domaine de vali-dité (applicabilité du développement au sein de la couche limite visqueuse etc...). Pour une synthèse plus mathématique mais très succincte des différences entre ces deux approches et leurs résultats, on pourra se référer à [GK03]. Bien que plus précis, il souffre tout de même d’inconsistances mathématiques à la traversée de certaines zones d’écoulement comme les chocs, ou pour l’établissement de conditions initiales (des explications bien plus détaillées peuvent être trouvées dans [Cer88] ). De manière générale, ces développements asympto-tiques ne sont pas forcément toujours convergents à  fixé. On remarque en effet qu’un développement à l’ordre n fera apparaître des dérivées d’ordre n de la fonction d’équilibre, ce qui demande pour  fixé un haut degré de régularité de la solution macroscopique pour obtenir un résultat valide. Ce type de développement ne peut donc représenter qu’une classe de solutions très particulières, mais suffit toutefois amplement à notre besoin : nous voulons déduire un modèle macroscopique à partir de l’équation de Boltzmann et non de trouver des solutions analytiques uniformément valides de cette dernière.

Chapitre 2

De l’équation de Boltzmann à

l’équation de Boltzmann sur

réseau

Après avoir montré que l’on retrouve un comportement macroscopique classique de dynamique des fluides à partir du modèle Boltzmann-BGK, nous allons à présent montrer comment rendre toutes ces conclusions exploitables numériquement. La première étape consiste à obtenir une formulation de l’équation de Boltzmann possédant les bonnes li-mites hydrodynamiques à l’ordre 1, mais avec un ensemble des vitesses microscopiques de cardinal fini. Cela permettra notamment de remplacer les intégrations sur R³ par des sommes discrètes dans le calcul des moments. C’est justement la notion de développement en polynômes de Hermite introduite par Grad qui est à la base de toute la théorie qui va suivre.

Notre objectif est ici de synthétiser tout le cheminement théorique menant de l’équation de Boltzmann à l’équation de Boltzmann sur réseau, en suivant la méthode de Shan et al. [SYC06; SH98], que nous allons introduire ci-dessous. Un soin tout particulier sera apporté pour préserver la continuité des procédures d’adimensionnement dans toutes les étapes du raisonnement.

2.1 L’équation de Boltzmann à vitesses discrètes

Historiquement, les premiers modèles à vitesses discrètes pour l’équation de Boltzmann ont été introduits par Broadwell en 1964 [Bro64], ou encore plus tard par Gatignol [Gat75]. À l’époque, il n’y avait pas de cadre théorique précis justifiant le fait de restreindre l’espace des vitesses microscopiques, cette discrétisation est posée telle qu’elle dès le départ. Très en avance sur son temps, cette simplification ne permettait pas de déduire de manière systématique, générale et correcte des modèles macroscopiques de type Navier-Stokes. Elle a en revanche conduit à de nombreuses conclusions et résultats intéressants.

Plus tardivement et assez indépendamment de l’équation de Boltzmann continue, la méthode de Boltzmann sur réseau est née autour des années 1990, dans le prolongement des travaux sur la théorie des gaz sur réseaux et des automates cellulaires [MZ88;QdL92]. Ces modèles étaient par construction basés sur un ensemble discret de vitesses mais étaient, à l’origine, paramétrés a posteriori pour retrouver les propriétés macroscopiques souhaitées. Certaines zones d’ombre théoriques persistaient également, par exemple concernant le de-gré de troncature du polynôme y représentant la fonction d’équilibre. Il faut également

préciser qu’il s’agit d’une méthode numérique, c’est-à-dire que dans ses équations consti-tutives le temps et l’espace y sont aussi discrétisés (ce qui n’est pas le cas des modèles à vitesses discrètes de Broadwell et Gatignol).

Jusque dans la fin des années 90, il n’était donc pas établi de lien solide reliant la théo-rie cinétique continue, les modèles à vitesses discrètes et la méthode de Boltzmann sur réseau. En 1998, Shan et He [SH98] montrent qu’il est possible de discrétiser l’espace des vitesses microscopiques en se basant sur les travaux de Grad et ses équations aux moments. La troncature d’un développement en polynôme de Hermite de la fonction de distribution y est vue comme équivalente à la résolution de l’équation de Boltzmann sur un ensemble discret de vitesses. Ces dernières se révèlent être exactement les abscisses d’une quadra-ture de Gauss-Hermite. Pour obtenir une description macroscopique correcte, l’objectif est alors de démontrer que l’on peut former des moments discrets qui soient strictement égaux à leurs équivalents continus jusqu’à un ordre donné. C’est cette approche, développée de façon complète et rigoureuse dix ans plus tard dans l’article de Shan et al. [SYC06] que nous allons synthétiser ici.

2.1.1 Développement en polynômes de Hermite et moments de la

Dans le document Développement de méthodes de Boltzmann sur réseau en maillages non-uniformes pour l’aéroacoustique automobile (Page 37-41)