Transfert de moment cinétique en relativité générale

6.2 Équations d'évolution

6.2.1 Transfert de moment cinétique en relativité générale

pourront ainsi être utilisées comme paramètres d'entrée, au lieu de (Ω_n, Ω_p, H_cⁿ, H_c^p). Par ailleurs, les EoSs que nous considérons sont les mêmes que celles présentées dans le chapitre 5, à savoir DDH et DDHδ.

6.2 Équations d'évolution

6.2.1 Transfert de moment cinétique en relativité générale

Pour décrire l'évolution temporelle de la vitesse de rotation de chaque uide lors d'un glitch, il est nécessaire de tenir compte d'un ingrédient physique supplémentaire dans nos modèles : la présence de friction mutuelle entre le superuide de neutrons et le uide de particules chargées, qui provient de l'interaction des tourbillons superuides avec les deux uides qui les entourent. En supposant que ce processus domine durant la phase de montée, nous négligeons toute autre source potentielle de dissipation, telle que l'émission d'ondes électromagnétiques et d'ondes gravitationnelles, la présence de uage (ou creep, voir section 3.2.1) ou de contraintes élastiques dans l'écorce, ou encore la dissipation d'énergie associée aux réactions chimiques, qui pourrait être incluse dans un modèle de glitch plus réaliste. En introduisant la notation habituelle

J_X = ^dJ^X

dt ^, (6.6)

où JX désigne le moment cinétique (4.95) du uide X, la dynamique des uides de neutrons et de protons durant la phase de montée est simplement gouvernée par les équations (

Lan-glois et al.,1998; Sidery et al., 2010)

(_J˙

n ^{= + Γ}mf^,

J_p = − Γmf^, (6.7)

Expression relativiste de Γmf. Une expression covariante du moment de friction mutuelle Γmf a été obtenue parLanglois et al.(1998) dans le cadre de la relativité générale, en considérant que les tourbillons superuides forment un ensemble de lignes droites et parallèles à l'axe de rotation disposées selon un arrangement régulier1. Dans le travail réalisé par Langlois et al. (1998), le mouvement des lignes de tourbillons désancrées est simplement déterminé par l'équilibre entre une force de Magnus due au uide de neutrons et une force (dissipative) de traînée liée au uide de protons (plus de détails seront donnés dans la partie IV). En négligeant la petite contribution liée au mouvement non-circulaire des tourbillons superuides, l'expression 3+1 du moment de friction mutuelle est donnée par

Γ_mf = Z

Σt

B Γnⁿn^$n^χ²⊥d³Σ× (Ωp− Ωn^{) ,} (6.8) en l'absence de dissipation associée aux réactions chimiques, voir les équations (72) et (89) de Langlois et al. (1998). Le volume élémentaire d3

Σ de l'hypersurface Σt vérie d³Σ = A²Br²sin θ dr dθ dϕ (voir section 4.5.2), nn est la densité de neutrons dans le référentiel où la 3-vitesse de ce uide est nulle, ui

n ^{= 0}, et le facteur de Lorentz Γn des neutrons par rapport à l'observateur eulérien On est donné par l'équation (4.57). On pourra remarquer que le moment (6.8) est proportionnel à l'écart de vitesse δΩ et tend donc à imposer la corotation des deux uides. Le paramètre de friction mutuelle B, la vorticité macroscopique du superuide $_n et le terme géométrique χ2

⊥ seront détaillés dans la suite. Il convient de noter qu'une expression plus réaliste du moment de force de friction mutuelle tiendrait également compte d'une contribution magnétique (incluant la supraconductivité des protons, voir section 3.1), de la tension des lignes de vortex et des interactions éventuelles entre les diérents tourbillons et entre chaque ligne de tourbillon et les sites d'ancrage.

Vorticité superuide. La vorticité du uide de neutrons est donnée par2

$_n = r

$αβ$αβ

2 ^, (6.9)

où la 2-forme de vorticité $αβ est dénie par

$_αβ =∇αpⁿ_β− ∇βpⁿ_α , (6.10) la quantité pn

α désignant l'impulsion généralisée du superuide (voir (4.30)). Sur des échelles spatiales inférieures à la distance moyenne dn entre deux lignes de tourbillons, de l'ordre de ∼ 10−3 cm (3.11), $αβ est identiquement nulle car l'impulsion pn

µ est locale-ment proportionnelle au gradient d'une phase scalaire, voir Éq. (3.3). Néanmoins, sur les grandes échelles3 considérées ici, la 2-forme $αβ est non-nulle, tout comme son amplitude scalaire $_n.

1. Notons toutefois que l'évolution dynamique du superuide pourrait conduire à la formation d'un enchevêtrement de lignes de vortex (Peralta et al., 2006; Andersson et al., 2007). L'apparition de la turbulence dans les étoiles à neutrons reste cependant hautement spéculative et, par conséquent, nous n'envisageons pas cette possibilité ici.

2. Comme dans la partieII, nous utilisons des lettres grecques pour les indices d'espace-temps. 3. Notons que l'approche hydrodynamique utilisée dans ce chapitre n'a de sens que sur des échelles grandes devant d_n(voir également la section 3.1.3).

Le terme géométrique χ2

⊥ est déni par

χ²_⊥= χ^α_⊥χ⊥α, χ^α_⊥= ˜⊥^αβχ^β, (6.11) où χα est le vecteur de Killing associé à l'axisymétrie (voir section 4.2.2) et ˜⊥αβ est le tenseur lié à la projection orthogonale sur la feuille d'espace-temps à deux dimensions représentant le c÷ur des tourbillons, vériant (Langlois et al.,1998)

˜ ⊥^αβ = ^$ αγ$_βγ $2 n . (6.12)

Paramètre de friction mutuelle. Le paramètre B, qui caractérise l'ecacité du transfert de moment cinétique entre les uides par friction mutuelle, est donné par1 (voir e.g., Langlois et al.(1998); Carter(2001))

B = ^ξ

1 + ξ2 (6.13)

en fonction de la grandeur ξ sans dimension, appelée rapport traînée/portance (voir Éq. (8.10)). La valeur de ξ est susceptible de varier dans l'étoile, étant donné que le mécanisme dissipatif à l'origine de la force de friction mutuelle n'est pas le même dans tout l'astre. Ainsi, dans le c÷ur des étoiles à neutrons, la principale source de dissipa-tion provient de la diusion des électrons par le champ magnétique porté par les lignes de tourbillons superuides magnétisées par entraînement, en l'absence de tubes de ux. Ce phénomène conduit à ξ ' 10−4 (voir (8.11) et Alpar et al. (1984b)). Notons toute-fois que les interactions entre tubes de ux et tourbillons superuides peuvent modier cette estimation de manière signicative, comme nous le verrons dans la partie IV. Dans l'écorce, la force de traînée est due à l'interaction entre phonons et lignes de tourbillons superuides (Jones, 1990a), si la vitesse des tourbillons est faible par rapport au réseau cristallin, et à l'excitation d'ondes de Kelvin le long des lignes de vortex, si la vitesse est grande (Jones, 1992; Epstein & Baym, 1992). Le premier mécanisme prédit un coe-cient ξ de l'ordre de ∼ 10−9

−10−7, tandis que le second, beaucoup plus dissipatif, conduit à ξ ∼ 10−3− 10−1.

Étant donné les incertitudes actuelles sur l'origine microscopique de la force de friction mutuelle et les valeurs de ξ, et puisque nous nous intéressons à un modèle global2de glitch, 1. Le coecient c_r introduit par Langlois et al. (1998), Éq. (86), fait en réalité intervenir certains eets relativistes. Toutefois, ces corrections sont beaucoup plus faibles que les incertitudes théoriques sur le rapport traînée/portance ξ mentionnées dans la suite, de sorte qu'on pourra raisonnablement considérer que cr' ξ.

2. Un modèle plus réaliste tiendrait compte du fait que seule une partie des tourbillons est libre de se déplacer une fois que le glitch a été déclenché. Nous pourrions considérer cela simplement en remplaçant le coecient ξ par un coecient eectif ξe= γξ, où γ représente la fraction locale de vortex désancrés durant l'événement de glitch (voir, e.g., Jahan-Miri (2006); Haskell et al. (2012b); Haskell & Melatos (2015). Dans ce cas, une région où les vortex restent ancrés (γ ' 0) ne participerait pas au transfert de moment cinétique, i.e. Be = 0.

nous introduisons la grandeur suivante, moyennée sur toute l'étoile, ¯ B = Z Σt B Γnⁿn^$n^χ²⊥d³Σ Z Σt Γ_nn_n$_nχ²_⊥d³Σ , (6.14)

que nous considérons comme un paramètre d'entrée de nos simulations numériques, qui peut être choisi librement. Bien que l'on s'attende à ce que ξ varie en fonction du temps lors du glitch (en raison de la variation de la vitesse des vortex ou du réancrage de certaines lignes de tourbillons, par exemple), nous faisons l'hypothèse que ¯B ne dépend pas du temps, par simplicité. Le moment de friction mutuelle (6.8) est alors donné par

Γ_mf =− ¯B Z

Σt

Γ_nn_n$_nχ²_⊥d³Σ× δΩ, (6.15) où δΩ = Ω_n _{− Ω}_p désigne l'écart de vitesse entre les uides. La limite newtonienne de cette expression est étudiée dans l'annexe C.2 et est en accord parfait avec celle obtenue

par Sidery et al. (2010), Éq. (58).

Moments d'inertie partiels. An de décrire tout transfert de moment cinétique, il est pratique d'introduire les moments d'inertie suivants

IXX = ∂J_X ∂Ω_X ΩY et IXY = ∂J_X ∂Ω_Y ΩX , (6.16)

où les lettres majuscules X et Y 6= X se réfèrent au uide de neutrons ou de protons. Selon l'hypothèse choisie sur la composition chimique de l'étoile (voir section 6.1.4), ces dérivées sont calculées soit pour des masses baryoniques partielles MB

n et MB

p xées (cas i) ou pour une valeur donnée de la masse baryonique totale MB, avec µn

c = µ^p_c (cas ii). Il est possible de montrer que Inp ^{= I}pn, voir l'équation (3.10) de Carter (1975). De plus, certaines conditions de stabilité impliquent que les moments d'inertie partiels vérient les inégalités

I_nn > 0, I_pp> 0 et Inn^Ipp ^{> I}_np²^, (6.17) voir annexe D pour plus de détails.

Nous dénissons alors les moments d'inertie des neutrons et du uide de particules chargées, ˆIn et ˆIp, par les relations

I_n= I_nn+ I_np et ˆI_p = I_pp+ I_np, (6.18) et le moment d'inertie total ˆI par

I = ˆI_n+ ˆI_p. (6.19) Ces dénitions sont plus générales que celles utilisées dans les chapitres 4 et 5 dans le cas de corotation. Comme nous le verrons sur la gure6.3, les deux dénitions coïncident cependant dans l'approximation de rotation lente, i.e.

où ΩK désigne la vitesse képlérienne (voir section 1.1.3).

À l'aide de (6.16), les dérivées temporelles des moments cinétiques s'expriment sous

la forme ₍

J_n = I_nnΩ^˙_n+ I_npΩ^˙_p, ˙

J_p = I_npΩ^˙_n+ I_ppΩ^˙_p. (6.21) En injectant alors ces relations, ainsi que l'expression (6.15) du moment de friction mu-tuelle, dans les équations (6.7) gouvernant le transfert de moment cinétique entre les uides, on en déduit que

         ˙ Ω_n =− ^I^ˆ^p I_nnI_pp− I 2 np × ¯B κ δΩ, ˙ Ω_p = + ^I^ˆⁿ I_nnI_pp− I 2 np × ¯B κ δΩ,

Dans le document Modèles superfluides d’étoiles à neutrons en relativité générale – applications à la dynamique des pulsars (Page 168-172)