Contribution de la relativité générale

An d'étudier la contribution globale de la relativité générale sur la dynamique des glitches, nous comparons ici les temps de montée obtenus dans le cadre newtonien et dans le contexte relativiste pour des paramètres d'entrée similaires. Par simplicité, nous consi-dérons à présent deux EoSs polytropiques2, de forme similaire à celles déjà implémentées dans le code sfstar par Prix et al. (2005). Ces EoSs, que nous désignerons par EoS I et EoS II dans la suite, sont respectivement caractérisées par une densité lagrangienne Λ =−E vériant E nn^{, n}p^{, ∆2}
= ¹ 2^κnn 2 n⁺ 1 2^κpn 2 p^{+ κ}npⁿnⁿp^{+ κ}∆n_nn_p∆² + ρc²
, (7.9) et E nn^{, n}p^{, ∆2}
= ¹ 2^κnn 2,1 n ⁺ 1 2^κpn 2,3 p ^{+ κ}∆n_nn_p∆² + ρc²
, (7.10) 1. Nous avons précisé la méthode de calcul des moments d'inertie pour le cas (ii) dans la note de bas de page donnée dans la section7.1.2. En ce qui concerne le cas (i), les masses baryoniques partielles MB n et MB

p, avec lesquelles les moments d'inertie sont calculés (pour Ωn = Ωp = Ωf), sont déterminées au début du glitch par le code sfstar pour les mêmes valeurs de Ω0

net Ω0

pque celles prédites dans le cas (ii) avec des paramètres d'entrée identiques.

2. L'utilisation d'EoSs réalistes nécessiterait entre autres d'adapter la partie du code sfstar faisant appel à une EoS tabulée aux équations de la mécanique newtonienne.

EoS I 0,05 0,5 0,025 0,02 EoS II 0,046 1,4 - 0,1

Table 7.1  Paramètres dénissant les EoSs I et II. Pour l'EoS I, les grandeurs κn, κ_p et κnp sont données en unité de ρ∗c2n⁻²_∗ , où n∗ = 0, 1fm−3 et ρ∗ = 1, 66× 1017kg.m−3. Les termes κ_n et κ_p sont respectivement exprimés en unités de ρ∗c²n^−2,1_∗ et ρ∗c²n^−2,3_∗ pour la deuxième EoS. Pour les deux EoSs, l'unité utilisée pour κ∆ est ρ∗n⁻²_∗ .

où nous avons utilisé les mêmes notations que dans (4.102). Notons que le terme d'énergie de masse ρc2 = (m_nn_n+ m_pn_p) c²n'est présent que dans le cadre de la relativité générale1. Les paramètres κn, κp et κnp sont choisis de sorte que les EoSs I et II prédisent des valeurs  réalistes  pour la masse, le rayon et la fraction de protons associés aux étoiles modélisées (voir Table 7.1). Ainsi, l'EoS I conduit à une fraction de protons constante dans l'étoile, avec xp ^{= 0, 05} (voir (C.19)). En revanche, la fraction de protons obtenue avec l'EoS II varie et est typiquement comprise entre ∼ 0, 05 et ∼ 0, 1, pour une étoile (relativiste) de 1,4 M tournant à 10 Hz. Pour ces valeurs de masse gravitationnelle et de vitesse de rotation, le rayon circonférentiel de l'étoile dans le plan équatorial vaut environ R_circ' 13 km pour les deux EoSs, en relativité générale. L'entraînement est caractérisé par le coecient κ∆. La forme des EoSs considérées, voir Éqs. (7.9) et (7.10), a été adoptée de manière cohérente avec le fait que les eets d'entraînement s'annulent lorsque l'un des deux uides disparaît. Pour l'EoS I, nous prenons κ∆ = 0, 02 an de satisfaire les conditions de stabilité (5.67). Ce choix conduit à ˜εp ' 0, 07, pour une étoile à neutrons relativiste, avec MG = 1,4 M et f = 10 Hz. Bien que cette valeur soit relativement petite par rapport à celles prédites par des EoS réalistes (voir Fig. 6.6, par exemple), elle correspond toutefois aux régions externes du c÷ur des étoiles à neutrons, où les eets d'entraînement sont très faibles. En revanche, nous supposons que κ∆= 0, 1pour l'EoS II. Cette valeur permet d'obtenir des eets d'entraînement plus importants et plus réalistes, de l'ordre de ˜εp ' 0, 29 pour les mêmes masse et vitesse de rotation, tout en vériant les conditions (5.67). Ainsi, le choix de ces deux EoSs permet d'étudier l'inuence des eets d'entraînement sur la diérence entre calculs relativiste et newtonien.

Sur la gure7.5, nous traçons les diérences relatives entre les valeurs de τr calculées en mécanique newtonienne (τnewt

r ) et en relativité générale (τGR

r ) pour une même masse gravitationnelle en fonction du paramètre de compacité (4.91), en utilisant les EoSs I (à gauche) et II (à droite). Ces valeurs, représentées en gras et par des points bleus, ont été obtenues par le code d'évolution décrit dans la section 7.1 pour une fréquence de rotation de 10 Hz, en modiant progressivement la masse (gravitationnelle) de l'étoile modélisée. Remarquons que la relativité générale est susceptible de jouer un rôle important dans la détermination des moments d'inertie ˆI_p et ˆI, du facteur ζ et des coecients de couplage ˆεX intervenant dans l'expression (6.46) du temps de montée. Pour mettre en évidence l'importance des eets relativistes sur chacun de ces termes, nous traçons 1. Plus de détails sur les diérences liées au calcul des congurations en mécanique newtonienne et en relativité générale sont donnés dans la section IV-A dePrix et al. (2005).

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 EoS I [ τ GR - r τ newt ] / r τ GR r Ξ ζ + I^GR ε ~GR + ζ + I^GR -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 EoS II [ τ GR - r τ newt ] / r τ GR r Ξ full GR I^GR ζ + I^GR ε ~GR + ζ + I^GR

Figure 7.5  Importance des eets de relativité générale sur le calcul du temps de montée. Les diérences relatives entre les temps de montée newtonien (τnewt

r ) et re-lativiste (τGR

r ) sont tracées (traits pleins bleus) en fonction du paramètre de compacité (obtenu en relativité générale), pour une étoile à neutrons tournant à 10 Hz. En pratique, ces valeurs sont calculées pour ∆Ω/Ω = 10−6, ¯B = 10−4 et une composition chimique gou-vernée par le cas (ii), même si ces paramètres n'ont pas d'inuence notable sur les courbes étudiées. Les résultats sont présentés pour les deux EoSs polytropiques décrites dans le texte, l'image de gauche (droite) correspondant à l'EoS I (II). Les autres courbes mettent en évidence la contribution de la relativité générale sur le calcul des diérents termes impliqués dans l'expression (6.46) du temps de montée. Ainsi, les résultats tenant compte uniquement des corrections relativistes sur le rapport ˆI_p/ ˆI sont dessinés à l'aide de carrés orange, tandis que les courbes en tirets rouges (avec des triangles) contiennent également les corrections sur le facteur ζ. Les lignes en pointillés verts (avec des croix) incluent les corrections additionnelles sur les paramètres d'entraînement ˜εX, mais ne tiennent pas compte de la contribution de l'eet Lense-Thirring dans le calcul des coecients de cou-plage ˆεX (voir Éq. (6.44)).

également les quantités suivantes sur la gure 7.5 :

• 1− ˆ I_p^newt ˆ I^newt ˆ I^GR ˆ

I_p^GR (carrés orange), qui tient uniquement compte des corrections relati-vistes sur le rapport ˆIp^{/ ˆI}, où les valeurs calculées dans les cadres newtonien et de la relativité générale sont respectivement désignées par  newt  et  GR ,

• 1−^Iˆ newt p ˆ I^newt ˆ I^GR ˆ

I_p^GRζ (triangles rouges), qui considère les eets relativistes à la fois sur le rapport des moments d'inertie et sur le facteur ζ,

• 1− ˆ I_p^newt ˆ I^newt ˆ I^GR ˆ I_p^GR 1− ˜ε_p^newt− ˜ε_n^newt

1− ˜ε_p^GR− ˜ε_n^{GR ζ} (croix vertes), qui contient les corrections relati-vistes sur les moments d'inertie, ζ et les paramètres d'entraînement ˜εX, mais qui n'inclut pas la contribution de l'eet Lense-Thirring dans le calcul des coecients de couplage ˆεX en relativité générale.

Notons que la diérence relative des temps de montée vérie la relation : τ_r^GR− τ_r^newt τ_r^{GR = 1}− ˆ I_p^newt ˆ I^newt ˆ I^GR ˆ I_p^GR 1− ˜ε_p^newt− ˜ε_n^newt 1− ˆεp^GR− ˆεn^GR ζ, (7.11) voir équation (6.46).

Comme attendu, les corrections associées à la prise en compte de la relativité générale tendent vers zéro lorsque la compacité diminue, voir Fig.7.5. En ce qui concerne l'EoS I, on observe que les eets relativistes sur le rapport ˆI_p/ ˆI sont extrêmement faibles. Cela est dû au fait que la fraction de protons xp est constante dans l'étoile et que ˆIp^{/ ˆI} ' xp en relativité générale et en mécanique newtonienne, dans l'approximation de rotation lente, en supposant que les uides sont comobiles et à l'équilibre β. À la limite newtonienne, le facteur ζ est égal à 1 (voir annexe C.2). Comme nous l'avons vu sur la gure 6.5, la relativité générale conduit à ζ . 1, ce qui allonge le temps de montée (les courbes rouges sont donc situées au-dessus des courbes orange apparaissant dans la gure 7.5). De plus, les paramètres d'entraînement relativistes sont plus élevés que leurs équivalents newto-niens, car les densités baryoniques atteintes dans l'étoile sont plus importantes quand la relativité générale entre en jeu (i.e. le rayon stellaire est plus faible pour une même masse gravitationnelle). Par conséquent, les eets relativistes sur ˜εX réduisent le temps de mon-tée (et les courbes vertes sont logiquement en dessous des rouges). Enn, la contribution de l'eet Lense-Thirring sur les coecients de couplage ˆεX (6.44) augmente également la valeur de τr, voir Éq. (6.47) (de sorte que les courbes bleues sont au-dessus des vertes). Des remarques similaires s'appliquent à l'EoS II, avec deux diérences notables. D'une part, la relativité générale modie légèrement le rapport des moments d'inertie (voir l'image de droite de la gure 7.5). D'autre part, les eets d'entraînement associés à cette EoS sont beaucoup plus importants que ceux prédits par l'EoS I, de sorte que le temps de mon-tée est davantage réduit (voir la courbe verte). En conclusion, les corrections relativistes sont importantes sur tous les termes impliqués dans le calcul du temps de montée (6.46), mais leurs valeurs respectives dépendent fortement de l'EoS considérée. En particulier, on observe que l'inuence de l'eet Lense-Thirring sur le couplage entre les uides n'est pas négligeable.

Pour des valeurs du paramètre de compacité pertinentes pour les étoiles à neutrons, i.e. Ξ ∼ 0, 15 − 0, 25 (voir Fig. 5.15), ces deux EoS prédisent que l'erreur commise en prenant le temps de montée newtonien à la place de sa valeur relativiste est de l'ordre de ∼ 20 − 40%, à 10 Hz, comme on peut le voir sur la gure 7.5. Il est donc indispensable de se placer dans le cadre de la relativité générale si l'on souhaite calculer précisément les temps de montée relatifs aux événements de glitches. En outre, il est important de mentionner que ces erreurs dépendent également de la vitesse de rotation considérée. Par exemple, la diérence relative τGR

r − τ_r^newt
/τGR

r mesurée pour une étoile à neutrons de 1,4 M varie de ∼ 30% à 10 Hz à ∼ −10% à 327 Hz, en utilisant l'EoS I (voir Fig. 7.6).