Grandeurs globales

. (4.72)

En appliquant (4.67) au centre de l'étoile, on déduit que ˜C_n = ˜C_p si ce dernier est à l'équilibre β. Dans ce cas, les potentiels chimiques sont alors reliés par

µⁿ Γ_n ⁼

µ^p

Γ_p^. (4.73)

Il est possible de montrer que l'équilibre β ne peut être vérié dans l'ensemble de l'étoile que si les deux uides sont en corotation (Andersson & Comer,2001). Sous cette dernière condition, imposer l'équilibre chimique au centre de l'étoile sut à ce qu'il soit vérié dans toute l'étoile, comme on peut le voir sur l'équation (4.73). En revanche, dans le cas où Ω_n 6= Ωp, nous devrions prendre en compte certaines réactions de conversion de particules entre les uides dans notre modèle, qui induiraient alors une dissipation d'énergie jusqu'à ce que ∆2 = 0, où l'étoile peut atteindre un état d'équilibre β global (Langlois et al.,1998;

Prix et al.,2002). Toutefois, nous négligeons simplement ce processus de transfusion dans

nos calculs de congurations stationnaires (voir section 4.1 et (4.64)). Cette hypothèse semble raisonnable étant donné (i) la lenteur des réactions électrofaibles responsables de l'équilibre chimique (voir section 6.1.4 et Yakovlev et al. (2001) par exemple) et (ii) le fait que les deux uides sont susceptibles d'être toujours dans une situation voisine de la corotation (voir équation (7.7)). Des exemples de congurations avec µp

c 6= µⁿc sont présentés dans Prix et al. (2005). Davantage de détails sur l'équilibre chimique seront fournis dans la section 6.1.4, dans un contexte dynamique.

4.5 Grandeurs globales

4.5.1 Masses baryoniques

Les nombres de neutrons et de protons contenus dans l'étoile sont donnés par Nn ⁼− Z Σt n_n^αn_α√ γ dr dθ dϕ et Np ⁼− Z Σt n_p^αn_α√ γ dr dθ dϕ, (4.74) où √γ = A2Br2sin θ correspond à la racine carrée du déterminant de la métrique in-duite γij (4.24). On peut montrer à l'aide du théorème de Green-Ostrogradski que, les quadri-courants de particules vériant les équations (4.64), les intégrales précédentes ne dépendent pas du choix de Σt. Chaque terme −nα

Xn_α désigne la densité de particules du uide X mesurée par l'observateur eulérien On. En utilisant (4.52), on peut réécrire les intégrales (4.74) de la manière suivante :

Nn ⁼ Z Σt Γ_nn_nA²Br²sin θ dr dθ dϕ et Np⁼ Z Σt Γ_pn_pA²Br²sin θ dr dθ dϕ. (4.75) On dénit alors les masses baryoniques de neutrons et de protons par les relations

M_n^B = m_nNn et MB

à partir desquelles on forme la masse baryonique totale de l'étoile :

M^B = M_n^B+ M_p^B. (4.77)

4.5.2 Masse gravitationnelle

La masse gravitationnelle M_G est la masse ressentie par une particule test en orbite autour de l'étoile. En raison de l'équivalence masse-énergie, la masse MG doit contenir toutes les formes d'énergie, en particulier celle associée au champ gravitationnel. Toutefois, cette dernière n'étant pas localisable, on ne peut pas dénir M_G comme l'intégrale d'une certaine  densité de masse  sur Σt, comme on l'a fait pour les masses baryoniques. En relativité générale, deux concepts sont généralement utilisés pour dénir la masse : la masse ADM, qui s'applique pour n'importe quel espace-temps asymptotiquement plat, et la masse de Komar, qui n'est dénie que pour des espace-temps stationnaires. Dans le cas présent, les deux dénitions coïncident. Ainsi, dans la suite, nous nous focalisons uniquement sur la masse de Komar.

Étant donné le vecteur de Killing ξα associé à la stationnarité (voir section 4.2.2), l'expression volumique de la masse de Komar est donnée par (Gourgoulhon, 2012)

M_K = Z Σt 2Tαβn^αξ^β − gαβ Tαβnµξ^µ d3 Σ, (4.78)

où le volume élémentaire d3Σ est déni par d3Σ = √γ dr dθ dϕ = A2Br2sin θ dr dθ dϕ. En utilisant la décomposition 3+1 (4.12) du tenseur-énergie impulsion, la masse gravita-tionnelle s'exprime alors par

M_G= M_K = Z

Σt

[N (E + S) + 2ωπ_ϕ] d³Σ, (4.79) où les termes E, πϕ et S sont donnés par les équations (4.59), (4.60) et (4.63). Il est également possible de montrer que cette masse correspond, au signe près, au coecient devant le terme en 1/r dans le développement de N à l'inni spatial :

N = r→+∞1−^MG r ^{+ O}  1 r2  . (4.80)

À la limite newtonienne, les coecients métriques sont donnés par ω = 0 et N = 1, le volume élémentaire d3

Σ tend vers le volume élémentaire de l'espace-temps plat d3

Σ_f = r²sin θ dr dθ dϕet les termes sources vérient S  E et E ' mnⁿn^{+ m}pⁿp, de telle sorte que (4.79) devient

M_G^newt= Z

Σt

(m_nn_n+ m_pn_p) r²sin θ dr dθ dϕ = M_newt^B , (4.81) comme on peut s'y attendre.

En relativité générale, on dénit également l'énergie de liaison EL de l'étoile comme la diérence entre sa masse gravitationnelle et sa masse baryonique :

E_L = M_G− MB. (4.82)

La quantité |EL| correspond à l'énergie qu'il faudrait fournir aux particules (baryoniques) de l'étoile pour les disperser à l'inni. L'étoile est donc liée si EL^{< 0}.

4.5.3 Identités du viriel

S. Bonazzola et E. Gourgoulhon ont exhibé deux identités du viriel en relativité gé-nérale, à deux et à trois dimensions (Bonazzola & Gourgoulhon, 1994; Gourgoulhon &

Bonazzola, 1994). En particulier, cette dernière redonne le théorème du viriel classique à

la limite newtonienne. Ces relations sont couramment utilisées pour mesurer les erreurs associées à la résolution numérique des équations d'Einstein (voir chapitre 5). Pour cela, on décompose chacune de ces identités sous la forme de deux intégrales I_mat et I_pot res-pectivement liées à des termes de matière et aux seuls potentiels métriques. On quantie alors la violation d'une identité du viriel par la grandeur sans dimension

GRV = ^{Imat+ Ipot}

I_mat ^. (4.83)

Si la relation du viriel considérée est parfaitement vériée, le GRV correspondant est nul.

4.5.4 Rayons circonférentiels et rayons moyens

Le rayon circonférentiel d'un uide est la grandeur invariante de jauge dénie par R^X_circ= CX

2π^, (4.84)

où CX est la circonférence de ce uide dans le plan équatorial (θ = π/2). Si rX

eq désigne la valeur de la coordonnée radiale r à la surface du uide1 dans le plan équatorial, CX est donnée par CX = I r=rX eq, θ=π/2 q g_αβdxαdxβ. (4.85) En utilisant (4.21), on obtient alors

R^X_circ= B r_eq^X, π/2
rX

eq^. (4.86)

Comme B > 1 (voir Fig. 5.17), on en déduit que RX

circ ^{> rX}eq. Notons que, à la limite newtonienne, B = 1 et RX

circ ^{= r}eq^X.

Une seconde dénition du rayon d'un uide, également indépendante du choix de coordonnées, fait appel à sa surface dans un plan méridien, plutôt qu'à sa circonférence. On dénit ainsi le rayon moyen du uide X par

R^X_moy = r

SX

4π^, (4.87)

où la surface SX de ce uide s'exprime en fonction de rX

s ^(θ), la coordonnée radiale associée à sa surface, de la manière suivante :

SX = 4π Z π/2 0 AB "  drX s dθ 2 + r^X_s
² #1/2 r^X_s sin θ dθ. (4.88) 1. La surface d'un uide sera dénie dans la section4.6.

On pourra vérier que dans le cas sphérique, A = B et rX

s ^{= r}eq^X, de telle sorte que les deux dénitions coïncident :

R^X_circ= R^X_moy. (4.89) Le rayon circulaire (ou moyen) de l'étoile correspond alors au rayon circulaire (ou moyen) du uide le plus externe :

R_circ = max (Rⁿ_circ, R^p_circ) et R_moy = max R_moyⁿ , R^p_moy
. (4.90) Dans la suite, nous utiliserons le rayon circonférentiel Rcirc pour dénir la compacité de l'étoile, en relativité générale :

Ξ = ^GMG

R_circc2, (4.91)

où on a réintroduit la constante de gravitation et la vitesse de la lumière dans le vide. Cette dénition généralise celle donnée par l'équation (1.4) à la limite newtonienne.

4.5.5 Moments cinétiques

Grâce au vecteur de Killing χα associé à l'axisymétrie, il est également possible de dénir le moment cinétique de l'étoile, de manière indépendante de jauge. Ainsi, le moment cinétique de Komar est donné par une intégrale similaire à celle utilisée dans l'expression de la masse de Komar (4.78), mais qui fait intervenir cette fois-ci le vecteur χα :

J_K=− Z Σt  T_αβn^αχ^β− ¹ 2^g αβT_αβn_µχ^µ  d³Σ. (4.92) Comme χα est un vecteur tangent à Σt, on en déduit que nµχµ = 0, ⊥α

βχβ = χα et

T_αβnαχβ =−πϕ, de telle sorte que le moment cinétique de Komar est simplement donné par

J_K= Z

Σt

π_ϕd³Σ. (4.93)

Pour le système de deux uides couplés considéré ici, les équations (4.10), (4.41) et (4.52) conduisent à

π_ϕ = Γ_nn_npⁿ_ϕ+ Γ_pn_pp^p_ϕ. (4.94) On dénit alors le moment cinétique de chaque uide par (Langlois et al., 1998)

J_n = Z Σt j_ϕⁿd³Σ et Jp ⁼ Z Σt j_ϕ^pd³Σ, (4.95) où j_ϕⁿ = Γ_nn_npⁿ_ϕ et jp ϕ = Γ_pn_pp^p_ϕ. (4.96) On peut alors interpréter pn

ϕ (resp. pp

ϕ) comme le moment cinétique par neutron (resp. proton) et Γ_nn_n (resp. Γ_pn_p) comme la densité de neutrons (resp. protons) mesurés par On. Les densités de moment cinétique (4.96) peuvent s'exprimer en fonction des vitesses physiques (4.56) mesurées par On comme suit :

(

j_ϕⁿ = Br sin θ(Γ2

nⁿ²nKⁿⁿU_n+ Γ_nn_nΓ_pn_pK^npU_p), j_ϕ^p = Br sin θ(Γ2

La limite newtonienne des moments cinétiques partiels, étudiée dans l'annexeC.1, est en parfait accord avec les expressions obtenues par Sidery et al. (2010).

En supposant que la vitesse de rotation de chaque uide est constante dans l'étoile, on peut donner une première dénition du moment d'inertie total,

I = ^JK

Ω_p^, (4.98)

où Ωp est la vitesse de rotation du pulsar, et du moment d'inertie de chaque uide, I_n = ^Jn

Ω_n et Ip ^{= Jp}

Ω_p^. (4.99)

Toutefois, ces dénitions n'ont réellement de sens que si les uides sont en corotation1. Pour traiter le cas où Ω_{n 6= Ωp}, une autre dénition des moments d'inertie sera utilisée dans la partie III.