Eets d'entraînement et eet Lense-Thirring

Le moment d'inertie croisé Inp introduit dans l'équation (6.16) contient tous les cou-plages possibles entre les neutrons et les protons. Un premier couplage est dû aux eets d'entraînement, qui dans le c÷ur des étoiles à neutrons tirent leur origine des interactions entre les nucléons (par interaction forte). Ces eets ont été étudiés en détails dans la section5.1.4 pour les EoSs DDH et DDHδ. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, l'entraînement est le principal couplage entre les uides, à faible vitesse de rotation (voir annexe C.4). Néanmoins, comme nous l'avons déjà mentionné dans la section 5.2.5, un nouveau couplage apparaît en relativité générale, en lien avec l'eet Lense-Thirring, aussi appelé eet d'entraînement des référentiels inertiels (voir également Carter (1975)). Il est important de remarquer que, contrairement à la force de friction mutuelle, ces deux couplages sont non-dissipatifs.

Dans la suite, nous caractérisons les couplages entre les uides par les quantités ˆ ε_n = ^Inp ˆ I_n et ˆε_p = ^Inp ˆ I_p ^. (6.31)

Étant donné les conditions de stabilité (6.17), ces paramètres ne peuvent prendre des valeurs arbitraires mais doivent nécessairement satisfaire l'inégalité suivante :

 1 ˆ ε_p − 1^{  1} ˆ ε_n − 1  > 1. (6.32)

Expression des paramètres de couplage. Nous allons voir qu'il est possible d'ob-tenir une expression simple pour les termes de couplage ˆεp et ˆεn, sous certaines approxi-mations raisonnables. Le moment cinétique du uide X est donné par

J_X = Z Σt  Γ²_Xn_Xµ^XU_X + 2α^Γ 2 X Γ2 ∆  Γ_Y Γ_∆Γ_X^UY − UX  × Br sin θ d3Σ, (6.33) voir Éqs. (C.1) et (4.95). Dans l'approximation de rotation lente (Ω_n, Ω_p  ΩK) et au premier ordre en la diérence de vitesse δΩ = Ωn − Ωp, les facteurs de Lorentz véri-ent simplement ΓX ' ΓY ' Γ∆ ' 1. Par conséquent, en remplaçant les termes UX

et UY par (4.56) et en faisant appel au paramètre d'entraînement εX, déni par (5.59), l'expression de JX devient alors

J_X ' Z Σt n_Xµ^XB 2 N ^r 2sin²θ (Ω_X − ω) d3Σ + Z Σt n_Xµ^XB 2 N ^r 2sin²θ ε_X(Ω_Y − ΩX) d³Σ, (6.34) où les couplages par entraînement et eet Lense-Thirring sont clairement visibles à travers les termes εX et ω. Nous introduisons à présent les grandeurs suivantes :

˜ I_X = Z Σt n_Xµ^XB 2 N ^r 2sin²θ d³Σ, (6.35) ˜ ε_XI^˜_X = Z Σt n_Xµ^XB 2 N ^r 2sin²θ ε_Xd³Σ, (6.36) et ˜ ω_XI^˜_X = Z Σt n_Xµ^XB 2 N ^r 2sin²θ ω d³Σ, (6.37) de telle sorte que JX (6.34) peut se réécrire sous la forme compacte :

JX = ˜IX(ΩX − ˜ωX) + ˜εX_I˜_{X (ΩY} − ΩX) . (6.38) Les quantités ˜εX et ˜ωX caractérisent respectivement1 les eets d'entraînement et Lense-Thirring (moyens) agissant sur le uide X. Notons qu'à la limite newtonienne, ˜IX et ˜εX

sont donnés par les relations (C.7) et (C.8), tandis que ˜ωX s'annule simplement : l'équation précédente tend alors vers (C.6).

On observe à l'aide de l'outil numérique que ˜ωX peut être approximé par la relation ˜

ω_X = ε^LT_XX Ω_X + ε^LT_YX Ω_Y, (6.39) avec une précision meilleure que ∼ 0, 1% pour une étoile dont la fréquence de rotation est inférieure à ∼ 65 Hz2. Dans cette équation, le terme εLT

YX représente la contribution du uide Y à l'eet d'entraînement des référentiels inertiels agissant sur le uide X et ε^LT_XX caractérise l'eet Lense-Thirring créé par le uide X sur lui-même. En utilisant les diérentes grandeurs introduites jusqu'à présent, résumées sur la table 6.1, le moment cinétique du uide X est donné par

J_X = ˜I_X 1− ε^LTXX− ˜εX
Ω_X + ˜I_X ε˜_X − ε^LTYX
Ω_Y. (6.40) Cette expression généralise ainsi les relations (C.6) au cadre de la relativité générale. On pourra remarquer que les eets d'entraînement des référentiels inertiels conduisent à un couplage ayant une forme similaire aux eets d'entraînement.

1. Il est important de remarquer que, sous les hypothèses considérées ici, les potentiels chi-miques (5.50a) et (5.50b) ne dépendent pas de la diérence de vitesse entre les uides, et donc des eets d'entraînement. Ainsi, les grandeurs ˜εX et ˜ωX caractérisent bien chaque eet séparément.

2. La précision de l'ajustement des résultats numériques obtenus à 327 Hz par la loi (6.39) est moindre, de l'ordre de ∼ 1 − 10%. On peut toutefois atteindre une précision de ∼ 0, 1% en ajustant ces résultats avec une relation contenant un terme croisé du type : ˜ωX= εLT

XX Ω_X+ εLT

ˆ

ε_X couplage total entre les uides (6.31) ε_X paramètre d'entraînement mutuel local (5.59)

˜

ε_X paramètre d'entraînement mutuel global (6.36) ε^LT_YX contribution de Y à l'eet Lense-Thirring sur X (6.39) ε^LT_XX contribution de X à l'eet Lense-Thirring sur X (6.39)

Table 6.1  Tableau récapitulatif des diérentes grandeurs associées au cou-plage entre les uides. Ces quantités sont dénies par rapport au uide X.

À ce niveau d'approximation, les moments d'inertie partiels vérient

I_nn = ˜I_n 1− ε^LT_nn − ˜εn
, I_pp = ˜I_p 1− ε^LT_pp − ˜εp
, (6.41) et

I_np= ˜I_n ε˜_n− ε^LT_pn
= I_pn = ˜I_p ε˜_p− ε^LT_np
, (6.42) de sorte que les moments d'inertie des uides sont donnés par

ˆ

I_n = I_nn+ I_np = ˜I_n 1− ε^LTnn − ε^LTpn
et ˆI_p= I_pp+ I_pn = ˜I_p 1− ε^LTpp − ε^LTnp
. (6.43) Notons que la relation ˜In^ε˜n ^{= ˜I}p^ε˜p, déduite de (6.36), conduit à ˜In^εLT_pn ^{= ˜I}p^εLT_np (voir Fig. 6.7). À l'aide des relations précédentes, nous déduisons alors que le coecient total de couplage ˆεX (6.31) est donné par

ˆ

ε_X = ^ε˜X − ε^LTYX

1− ε^LTYX− ε^LTXX

. (6.44)

Les diérents termes impliqués dans cette relation étant tous positifs, on remarque que l'action de l'eet Lense-Thirring est opposée à celle associée aux eets d'entraînement dans le c÷ur. La présence d'un signe − devant chaque terme relatif à l'eet Lense-Thirring s'explique par le fait qu'un observateur de moment cinétique nul tourne dans le même sens que l'étoile dans son ensemble, de sorte qu'un observateur statique, i.e. avec une vitesse de rotation nulle, aura un moment cinétique de signe contraire à celui de l'étoile (voir Carter (1975) et la table 6.2). Par conséquent, en l'absence d'entraînement (˜εX = 0), on s'attend à ce que le coecient de couplage ˆεX soit non-nul et négatif. Bien que les eets d'entraînement soient susceptibles d'être faibles dans les régions externes du c÷ur des étoiles à neutrons (Carter et al., 2006b; Chamel & Haensel, 2006), leur contribution moyennée sur l'étoile n'est pas nécessairement négligeable et la grandeur ˆεX

uα uα s = √¹ −gtt ∂α t uα n = ¹ N ^∂ α t + ω∂α ϕ
uα X = ^ΓX N ^∂ α t + Ω_X∂α ϕ
uϕ/ut 0 ω Ω_X (> 0) l ≤ 0 0 > 0

Table 6.2  Vitesse de rotation et moment cinétique d'une particule-test as-sociée à diérents observateurs. On considère une particule-test, i.e. sans action sur la métrique, associée à un observateur statique (Os), eulérien (On) ou comobile avec le uide X (OX). La quadri-vitesse uα de chacun de ces observateurs est exprimée sur la première ligne. Les deuxième et troisième lignes donnent la vitesse de rotation uϕ/ut et le moment cinétique par unité de masse l = χαu_α de la particule-test par rapport à un observateur statique, placé à l'inni spatial (dont la quadri-vitesse est uα

∞ = ∂_t^α). Les vec-teurs de la base naturelle ∂α

t et ∂α

ϕ correspondent respectivement aux vecteurs de Killing ξ^α et χα, voir section 4.2.2. On pourra noter que le moment cinétique d'une particule-test associée aux observateurs eulériens est nul, d'où le nom de zero-angular-momentum observers donné à ces derniers.

Résultats numériques. Sauf mention contraire, les résultats présentés dans la suite sont calculés pour une masse baryonique totale xée, en maintenant l'équilibre β au centre de l'étoile (cas ii, mentionné dans la section6.1.4). Il est toutefois important de noter que le cas (i), réalisé en xant les masses baryoniques partielles, conduirait à des résultats sensiblement identiques, à condition que la vitesse de rotation ne soit pas trop élevée (voir l'image de droite de la gure 6.9). An d'étudier l'importance relative des eets d'entraînement et Lense-Thirring sur le coecient total de couplage ˆεp, les quantités ˜εp et ε^LT_np sont tracées sur la gure6.6en fonction de la masse gravitationnelle. Étant donné que δΩ Ωn^{, Ω}p, les vitesses de rotation considérées ici sont Ωn ^{= Ω}p ^{= 2π}× 11, 19 rad.s−1. Le paramètre d'entraînement moyen ˜εp relatif au uide de particules chargées augmente avec la masse, car les densités atteintes dans l'étoile sont de plus en plus importantes (voir Fig. 5.9). De même, les eets de relativité générale sont d'autant plus forts que la masse gravitationnelle est grande (voir Fig. 5.15), de sorte que εLT

np croît également avec M_G. Il est intéressant de noter que, pour les deux EoSs considérées, les quantités ˜ε_p et ε^LT_np sont du même ordre de grandeur. Par conséquent, les eets d'entraînement et Lense-Thirring sont tous les deux importants dans le calcul du coecient total de couplage. Pour une vitesse de rotation donnée, les EoSs DDH et DDHδ conduisent à des compacités similaires, avec toutefois de faibles écarts à masse gravitationnelle élevée (voir Fig.5.15). Ainsi, les valeurs de εLT

np prédites par ces deux EoSs sont très peu diérentes. En revanche, les eets d'entraînement sont moins marqués avec DDHδ (voir Fig. 5.9). Par ailleurs, puisque εLT

nn et εLT

np caractérisent tous les deux la contribution du uide de neutrons aux eets d'entraînement des référentiels inertiels, ces deux coecients sont très proches l'un

0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 M_G (M_⊙) ε ~ p εLT np εLT nn 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 M_G (M_⊙) np εLT nn

Figure 6.6  Couplage entre les uides. Paramètre d'entraînement ˜εp et coecients ε^LT_np et εLT

nn associés à l'eet Lense-Thirring en fonction de la masse gravitationnelle de l'étoile, pour fn ^{= f}p ^{= 11, 19}Hz. Les résultats obtenus avec l'EoS DDH sont représentés sur l'image de gauche tandis que l'image de droite correspond à DDHδ.

de l'autre, comme on peut le voir sur la gure6.6. Pour les mêmes raisons, on a εLT

pn ' ε^LT_pp. En outre, on observe numériquement que εLT

pp ' ˆI_p/ ˆI_n× ε^LT_nn  ε^LT_nn, ce qui signie que la contribution des deux uides à l'eet Lense-Thirring dépend principalement de leur proportion relative, comme on peut s'y attendre. À partir de considérations de dimensions,

Carter(1975) a proposé une relation approximative entre les coecients relatifs à cet eet

qui, avec nos notations et dans l'approximation de rotation lente1, s'écrit : ˜

I_nε^LT_pn = ˜I_pε^LT_np = k ^G R3c2_I˜

n^I˜p ¹− ε^LTnn
¹− ε^LTpp
, (6.45) où k est une grandeur sans dimension de l'ordre de l'unité et R est un rayon caractéristique de l'étoile. En prenant R = R^p_circ, nous pouvons voir sur la gure 6.7 que cette relation est très bien satisfaite par nos résultats numériques, à condition d'imposer k ' 4 pour les EoSs DDH et DDHδ.

L'égalité des moments d'inertie croisés Inp et Ipn (voir section 6.2.1) calculés avec le code sfstar est vériée avec une précision numérique meilleure que ∼ 0, 1% (∼ 7%) pour f ≤ 327 Hz, en utilisant l'EoS DDH(δ). Dans la suite, nous nous concentrons principale-ment sur l'étude du coecient total de couplage ˆεp lié au uide de protons. La grandeur ˆ

ε_n relative aux neutrons pourra alors être déduite de ˆεp en utilisant l'équation (6.31), à savoir ˆε_n = I^ˆ_p/ ˆI_n × ˆεp  ˆεp. Comme nous pouvons l'observer sur la gure 6.8 pour f_n = f_p = 11, 19Hz, le coecient de couplage ˆεp diminue de manière signicative lorsque la masse gravitationnelle augmente. Cela signie que, bien que les eets d'entraînement soient de plus en plus importants, la contribution de l'eet Lense-Thirring croît encore plus rapidement avec MG (voir Fig. 6.6). L'écart entre les paramètres d'entraînement et les coecients de couplage, qui provient de la prise en compte de la relativité générale, est clairement visible sur la gure6.8. Les eets d'entraînement prédits par l'EoS DDH étant 1. Les moments d'inertie IAAet IABintroduits parCarter(1975) sont diérents des moments d'inertie partiels IXX et IXY que nous utilisons ici. Toutefois, ces dénitions coïncident dans l'approximation de rotation lente.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 DDH DDHδ M_G (M_⊙) I ~ n^ε LT pn I ~ p^εLTnp

Figure 6.7  Test de la relation proposée par Carter (1975). Les quantités ˜In^εLT_pn, ˜

I_pε^LT_np et kG˜In^I˜p ¹− ε^LT_nn

1− ε^LT_pp
/(R3c2) sont tracées en fonction de la masse gravita-tionnelle, pour f_n = f_p = 11, 19 Hz. L'unité de l'axe des ordonnées est 1038 kg.m2. On pourra remarquer que l'égalité ˜In^εLT_pn ^{= ˜I}p^εLT_np est vériée en très bonne approximation pour les deux EoSs. En prenant k = 3, 8 (k = 3, 7) pour l'EoS DDH(δ), la relation (6.45) apparaît correctement satisfaite.

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 M_G (M_⊙) DDH: εˆ_p ε^~_p DDHδ: εˆ_p ε^~_p

Figure 6.8  Couplage total. Le coecient total de couplage ˆε_p et le paramètre d'en-traînement ˜εp sont représentés en fonction de la masse gravitationnelle, pour une étoile tournant à 11,19 Hz. Les résultats correspondants à l'EoS DDH(δ) sont dessinés en traits pleins (pointillés) et ont été obtenus en supposant que les deux uides sont comobiles et à l'équilibre β.

plus importants que ceux associés à DDHδ, voir Fig. 6.6, le coecient total de couplage est plus grand pour DDH que pour DDHδ. Notons par ailleurs qu'à faible fréquence de rotation (f . 50 Hz), les résultats obtenus à partir des équations (6.31) et (6.44) coïn-cident avec une précision meilleure que ∼ 0, 1% pour l'EoS DDH et ∼ 0, 3% pour DDHδ, comme on peut le voir sur l'image de droite de la gure6.9.

En utilisant (6.31), le temps de montée relativiste (6.29) est donné par τ_r= ˆ I_p ˆ I × ^{1− ˆεp− ˆεn} 2ζ ¯BΩn ^, (6.46)

dont l'expression est similaire à celle obtenue dans le cadre newtonien (C.17). Il est im-portant de noter que les eets de relativité générale ne sont pas seulement contenus dans le facteur ζ, mais ceux-ci interviennent également dans le calcul de ˆIp^{/ ˆI}, ˆεp et ˆεn (plus de détails seront donnés dans la section 7.2.2). De plus, en injectant l'équation (6.44) dans la relation précédente et en supposant que εLT

np ' ε^LT_nn et εLT pn ' ε^LT_pp, le temps de montée vérie approximativement τ_r' ^Iˆ_ˆ^p I × ^{1− ˜εp− ˜εn} 1− ε^LT_pp − ε^LT_nn ^× 1 2ζ ¯BΩn , (6.47)

sous l'hypothèse de rotation lente. Cette expression met clairement en évidence le fait que l'eet Lense-Thirring a tendance à ralentir le transfert de moment cinétique, alors que les eets d'entraînement dans le c÷ur l'accélèrent au contraire. Notons cependant que l'entraînement dans l'écorce interne, dû à la diusion de Bragg des neutrons sur les noyaux, conduirait plutôt à ˜εX < 0 (Chamel, 2005, 2012). Dans ce cas, les eets d'entraînement ralentiraient également le transfert de moment cinétique lors du glitch.

Jusqu'à présent, nous nous sommes concentrés uniquement sur l'approximation de rotation lente, dans laquelle les deux uides sont seulement couplés par entraînement et eet Lense-Thirring. Bien que cette hypothèse soit pleinement justiée pour le pulsar de Vela, elle pourrait ne pas être valide pour certains pulsars dont la vitesse de rotation est plus élevée. En particulier, à des fréquences de rotation supérieures à ∼ 100 Hz, la déformation de l'étoile par eets centrifuges conduit à un couplage supplémentaire entre les uides par gravité, qui est également présent dans le contexte newtonien (voir annexe C.4). Au-delà de ∼ 100 Hz, on observe que le coecient de couplage ˆεp varie fortement lorsque la vitesse de rotation augmente et qu'il dépend signicativement de l'hypothèse choisie sur l'équilibre chimique, voir Fig. 6.9.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 500 0.1 1 10 100 ε ˆ^p Ω / (2π) (Hz) DDH DDHδ 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 500 1 10 100 Ω / (2π) (Hz) εˆ_p - cas ii εˆ_p - cas i ( ε^~_p - ε^LT_np) / (1 - ε^LT_pp - ε^LT_np) - cas ii

Figure 6.9  Coecient total de couplage en fonction de la vitesse de rotation. Gauche : Le coecient ˆεp, donné par (6.31), est tracé en fonction de fn ^{= f}p pour une étoile à neutrons de 1,4 M. Les résultats obtenus avec l'EoS DDH(δ) sont représentés en rouge (en bleu), pour une masse baryonique totale xée avec équilibre β au centre (cas ii). Les prols sont tracés jusqu'à 327 Hz, qui correspond à la fréquence de rotation mesurée la plus élevée d'un pulsar présentant des événements de glitches. Droite : La courbe rouge est identique à celle donnée sur l'image de gauche, pour l'EoS DDH. Le rapport (˜ε_p − ε^LT_np)/(1− ε^LT_np − ε^LT_pp) est tracé en pointillés orange, pour une étoile à neutrons de 1,4 M, modélisée par l'EoS DDH en appliquant le cas (ii). On pourra ainsi remarquer que l'égalité (6.44), reposant sur l'approximation de rotation lente, est très bien vériée pour f . 50 Hz. Les points bleus correspondent aux valeurs de ˆεp (6.31) obtenues dans le cas (i), i.e. en xant les masses baryoniques partielles à celles correspondant à la situation où les uides sont comobiles et à l'équilibre β. Comme attendu, les eets liés au choix de la composition chimique n'ont un rôle important qu'à des vitesses de rotation élevées.

Simulations numériques de glitches

Sommaire

7.1 Modélisation numérique . . . 173 7.2 Résultats numériques . . . 176 7.3 Émission d'ondes gravitationnelles . . . 186

An de valider l'expression analytique (6.46) obtenue dans le chapitre précédent, nous avons développé un code numérique qui permet de résoudre les équations du transfert de moment cinétique lors de la phase de montée d'un glitch et donc de déterminer le prol d'évolution temporelle de la vitesse de rotation de chaque uide. Les résultats numériques de ce code sont présentés dans ce chapitre. Nous étudions également l'émission d'ondes gravitationnelles associée à cet événement, à l'aide de la formule classique du quadrupôle.

7.1 Modélisation numérique