Trajectoire classique

On considère une particule chargée de charge q et de masse m se déplaçant dans un champ magnétique uniforme et stationnaire B = B ez. On repère cette particule par les coordonnées en position r = (x, y, z) et en vitesse v = ( ˙x, ˙y, ˙z). Les conditions initiales étant notées r0 = (x0^{, y}0^{, z}0) et v0 = ( ˙x0^, ˙y0^,˙z0).

Cette particule peut être décrite par le lagrangien L(x, v)1 :

L(r, v) = ¹₂mv² + qv.A(r) (5.1)

A(r) représente le potentiel vecteur associé au champ magnétique B :

B=⁻rot A(r).^→ (5.2)

La fonction de Hamilton H(r, p) qui représente l’énergie totale de la particule est, par définition, la transformée de Legendre du lagrangien des vitesses généralisées vers les moments conjugués de la position p = (px, py, pz). Ces derniers sont définis par la relation

p= ∇vL(r, v) = mv + qA(r). On trouve alors :

H(r, p) = ^{(p − qA(r))}_2m ². (5.3)

Le potentiel vecteur A(r) n’est défini que par la contrainte qu’il produise le champ phy-sique B (cf. équation 5.2), ce qui laisse une certaine liberté dans le choix de A, qu’on peut fixer via différentes jauges. Les résultats physiques doivent bien sûr conserver l’invariance

de jauge. A n’est défini qu’au gradient d’une fonction quelconque près. En effet, le rota-tionnel étant un opérateur linéaire on a, d’après l’équation 5.2, pour un potentiel vecteur

A⁰ défini par A0(r) = A(r) + ~grad f :

B=⁻rot A^→ 0(r) =⁻rot(A(r) +^{→ −−→}grad f) =rot A(r) +^{−→ −}rot(^{→ −−→}grad f) =⁻rot A(r).^→ (5.4) Dans notre cas, la constance du champ magnétique impose certaines restrictions dans le choix de la jauge. Il est commode pour l’étude qui nous intéresse de choisir :

A(r) = −¹

2^{r × B. (5.5)}

Dans cette jauge, le hamiltonien s’écrit :

1. Le choix du lagrangien n’est pas unique. Du fait de la structure des équations de Lagrange :

d dt

∂L(Q, ˙Q)

∂ ˙Q



= ^{∂L(Q, ˙}_∂Q^Q), où Q et ˙Q sont les positions et vitesses généralisées, le lagrangien est défini

à une constante additive c et multiplicative c⁰ près (L⁰ = c⁰L + c). De plus, il existe un nombre infini de lagrangiens équivalents qui ne diffèrent les uns des autres que par la dérivée temporelle d’une fonction

H(x, px, y, p_y, z, p_z) = ^(px+ qB 2 ^y)2 2m ⁺ (py− ^qB₂ x)2 2m ⁺ p²_z 2m^{. (5.6)}

On remarque immédiatement que la coordonnée z est cyclique (c’est-à-dire que H ne dépend pas de z), ce qui impose d’après les équations de Hamilton :

˙qi = ^∂H ∂pi = {qi, H}, (5.7) ˙pi = −^∂H ∂q_i = {pi, H}, (5.8) ∂H ∂t = −^∂L ∂t = 0. (5.9)

que pz est une constante du mouvement (équation 5.7).

On a posé qi = {x, y, z} et pi = {px, p_y, p_z}, la troisième équation est, dans le cas présent, identiquement nulle car le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps.

De manière générale, si le crochet de Poisson {f, H}2 entre une fonction f(r, v) qui ne dépend pas explicitement du temps, et le hamiltonien H est identiquement nul, alors la fonction f(r, v) est une constante du mouvement.

Le hamiltonien 5.6 peut être écrit comme la somme de deux hamiltoniens découplés : H(x, px, y, p_y, z, p_z) = H⊥(x, px, y, p_y) + Hk(pz), (5.10) où H⊥(x, px, y, py) = ^(px+qB 2 y)2 2m + ^(py−^qB 2 x)2 2m et Hk(pz) = p2 z 2m.

Le fait que le hamiltonien (somme de deux hamiltoniens H⊥ et Hk) impose que les échanges d’énergie entre le mouvement longitudinal et le mouvement transverse de la par-ticule sont interdits. La trajectoire parallèle au champ est donc complètement découplée du reste de la dynamique. Le système étant isolé, les fonctions H⊥ et Hk constituent des constantes du mouvement3.

En particulier, le crochet de Poisson faisant intervenir la fonction moment cinétique Lz

selon l’axe z révèle que celui-ci est une constante du mouvement4.

2. {f, H} = P i ∂f ∂q_i ∂H ∂p_i − _∂p^∂f i ∂H

∂q_i, où qi et pi sont les position et impulsion généralisées du degré de liberté i.

3. On peut montrer que l’on a {H_k, H} = 0 et donc que {H⊥, H} = {H −H_k, H} = {H, H}−{H_k, H} =

0 (le crochet de Poisson est antisymétrique)

Les équations de Hamilton donnent accès aux équations du mouvement de la particule :

˜˙V = iωc˜V , _(5.11)

¨z = 0. (5.12)

On a posé ˜V = ˙x + i ˙y et ωc = −qB

m la pulsation cyclotron. On trouve après intégration et retour dans l’espace réel :

x(t) = x0+^v⊥0 ω_c cos(ωct + α), y(t) = y0+ ^v⊥0 ω_c sin(ωct + α), z(t) = z0+ ˙z0^t. où x0, y0, z0, ˙z0, α et v⊥0 =q ˙x2 0+ ˙y2

0 où on a posé ˙x0 = −v⊥0sin α et ˙y0 = v⊥0cos α, sont des paramètres qui dépendent des conditions initiales. Les coordonnées (x(t), y(t), z(t)) sont celles de la particule à l’instant t.

La solution selon l’axe z est une trajectoire de vitesse uniforme ˙z0 et est complètement découplée du reste de la dynamique. Transversalement au champ, la particule suit un mouvement circulaire de rayon R = v⊥0

ωc dont le centre se situe sur l’axe O’z (cf. figure 5.1). La trajectoire complète est une hélice s’enroulant autour des lignes de champ magnétique (voir figure 5.1).

On peut réexprimer les coordonnées (x₀, y₀) :

Poisson dépend de la jauge choisie au départ. Si l’on avait imposé A = xBey (jauge de Landau), on trouverait que {Lz, H} = ^qB_m(xpx− ypy) + ^q2_m^B2xy 6= 0. La symétrie cylindrique autour de Oz, inscrite

dans le hamiltonien 5.6, n’est pas conservée par changement de jauge (le hamiltonien n’est pas invariant de jauge). En revanche, on montrerait que py est une constante du mouvement. Le problème deviendrait alors invariant par translation selon Oy. Le nombre de symétries est naturellement conservé par changement de jauge.

x₀ = x(t) − ^˙y(t)

ω_c ^, (5.13)

y₀ = y(t) + ^˙x(t)

ω_c ^. (5.14)

(5.15) On en déduit l’équation cartésienne associée aux coordonnées (x(t),y(t)) correspondant à la projection de la position de la particule sur le plan Oxy :

(x(t) − x0)²+ (y(t) − y0)² = ^v0⊥²

ω_c² = ^v⊥²

ω²_c = ^2H⊥

mω_c² = R2_. (5.16)

où H⊥ = 1

2^mv⊥² et v⊥ =^√˙x2+ ˙y2 sont respectivement l’énergie cinétique et la vitesse transverses de la particule. Le carré du rayon de la trajectoire R2 = 2mH⊥

q2B2 est donc

propor-tionnel à l’énergie H⊥ de la particule. On a montré que H⊥, en raison des caractéristiques du problème, est une constante du mouvement. R est donc constant et peut prendre toutes les valeurs réelles positives.5

Il est intéressant de remarquer que la partie transverse du hamiltonien 5.6 peut se réécrire de manière à faire apparaître l’énergie associée à une particule chargée qui se meut dans un potentiel harmonique à deux dimensions en présence d’un champ magnétique (à l’ordre 1) :6 H⊥= ^p2x+ p2 y 2m ⁺ 1 2^mωL²(x2+ y2) − µB, = ^p2x+ p2 y 2m ⁺ 1 2^mωL²(x2+ y2) + ωLLz,

où l’on a posé ωL = −qB 2m = ωc

2 la pulsation de Larmor et µ = q

2m^Lz le moment magnétique orbital de la particule, Lz étant une constante du mouvement.

5. L’aire S = πR2est aussi proportionnelle à l’énergie. On peut donc relier le flux du champ magnétique à travers cette surface Φ = BπR2à l’énergie transverse H_⊥ de la particule : Φ = 2π

qωcH_⊥.

6. La forme du hamiltonien transverse dépend de la jauge choisie. Ainsi, en jauge de Landau A =

xBey, le hamiltonien s’écrit : H⊥ = ^p2x

2m+¹₂mω_c²x²− qEx + ^p

2

y

2m, où l’on a posé E = ^pyB

m . Ici, py est une constante du mouvement (y est cyclique). Dans cette jauge, tout se passe comme si l’on avait un oscillateur harmonique chargé à une dimension oscillant au sein d’un champ électrique homogène et stationnaire d’intensité E orienté selon l’axe x, et libre selon l’axe y. Les deux décompositions du hamiltonien ne sont pas contradictoires et conduisent aux mêmes conclusions physiques.

Figure 5.1 –Trajectoire hélicoïdale que suit un électron en mouvement dans un champ magné-tique. Les coordonnées (x0, y0) correspondent à celles du centre O’ de la trajectoire à l’instant initial.