3.5 Conclusion
4.1.5 Faisceau gaussien dans une cavité Fabry-Perot à deux miroirs [ Sie86 ] 152
Z (1 − Z), (4.18) où Z = T3√R1R2.
4.1.5 Faisceau gaussien dans une cavité Fabry-Perot à deux
mi-roirs [Sie86]
Le champ électrique E(x,y,z) d’une onde gaussienne et monomode (comme celle produite par notre laser Ti:Sa par exemple, cf. section 2.3.1, chapitre 2), solution de l’équation de propagation paraxiale (propagation transverse (x,y) faible devant la propagation selon z) du champ électromagnétique, s’écrit sous la forme (approximation scalaire) :
E(x, y, z) = s 2 π E0 w(z)e −x2+y2
w(z)2 e−ikz+iζ(z)−ikx2+y22R(z). (4.19) Où E0 est une constante qui a la dimension d’un champ électrique, w0 est le waist du faisceau, w(z) = w0 r 1 + z zR 2
est le rayon (en z) pour lequel le champ est réduit de 1/e par rapport à sa valeur sur l’axe, R(z) = z + zR2
z est le rayon de courbure du faisceau en z et ζ(z) = atan( z
zR) est la phase de Gouy. zR = πw2 0
λ correspond à la longueur de Rayleigh. Cette solution particulière de l’équation paraxiale correspond au mode transverse fon-damental gaussien TEM00.
4.1.5.1 Matching du faisceau dans la cavité
Un faisceau gaussien injecté dans une cavité Fabry-Perot n’est stable que si le faisceau revient sur lui-même après un aller-retour dans la cavité. Autrement dit, les plans de phase associés au faisceau laser au niveau des miroirs de la cavité doivent épouser la courbure des miroirs (ici sphériques). Ces deux miroirs sont caractérisés par leur rayon de courbure
− Rc,1 = z1+zR2
z1, (4.20)
Rc,2 = z2+zR2
z2, (4.21)
L = z2− z1, (4.22)
où z1 et z2 sont les positions des miroirs d’entrée et de sortie.
La résolution de ces équations donne accès à z1 et z2, desquelles on déduit le waist w0, et la taille du faisceau laser au niveau des miroirs w1 et w2 :
z1 = g2(1 − g1) g1+ g2−2g1g2L, (4.23) z2 = g1(1 − g2) g1+ g2−2g1g2L, (4.24) w20 = Lλ π v u u t g1g2(1 − g1g2) (g1+ g2−2g1g2), (4.25) w21 = Lλ π s g2 g1(1 − g1g2), (4.26) w22 = Lλ π s g1 g2(1 − g1g2). (4.27) Où g1 = 1- L Rc,1 et g2 = 1- L
Rc,2 sont des paramètres caractéristiques de la cavité. Les paramètres du faisceau sont réels et finis (cavité stable) si la condition :
0 < g1g2 <1, (4.28)
est respectée. En particulier, g1 et g2 doivent être de même signe.
4.1.5.2 Les modes de la cavité
Modes longitudinaux L’onde résonne dans la cavité à condition que sa phase sur un aller simple soit un multiple de π :
∆Φ = −nk(z2− z1) + ζ(z2) − ζ(z1) = −k(z2− z1) + atan(z2) − atan(z1)
= −k(z2− z1) + acos(±√g1g2) = −qπ (4.29) La dernière relation s’obtient à partir des expressions 4.23 et 4.24 et d’un peu de trigono-métrie. Le signe dans l’arccosinus est positif si g1, g2 > 0 et négatif si g1, g2 < 0.
Les modes longitudinaux sont donnés par :
ν00q = c nL " q+acos(± √ g1g2) π # . (4.30)
La phase de Gouy a pour effet de décaler légèrement les modes vers les fréquences plus élevées par rapport à celles obtenues avec des ondes planes. L’ISL est inchangé et égal à
c nL.
Modes transversaux La relation de phase 4.29 n’est valable que pour le mode fonda-mental gaussien décrit par l’équation 4.19. Il existe une infinité de solutions de l’équation paraxiale dont le mode gaussien constitue l’ordre le plus bas. La base de fonctions propres d’un résonateur dépend de sa géométrie, les plus utilisées sont la base de Hermite-Gauss pour la géométrie rectangulaire et la base de Laguerre-Gauss pour la géométrie cylindrique (celle qui nous intéresse). La phase de ces modes d’ordres supérieurs diffère de celle du mode fondamental. La conséquence est une modification de la différence de phase :
∆Φ = −nk(z2− z1) + (2p + l + 1) acos(±√g1g2) (Laguerre-Gauss). (4.31) Les fréquences des modes sont donc données par :
νplq = c nL " q+ (2p + l + 1)acos(± √ g1g2) π # . (4.32)
Où p et l (entiers naturels) correspondent aux ordres des modes transverses.
Chaque mode transverse a sa propre fréquence de résonance. Il existe toutefois des situations (valeurs particulières du couple g1,g2) où il y a dégénérescence de certains de ces modes.
fré-quences de résonances correspondant à chaque mode transverse. Cependant, un mode est d’autant plus étendu spatialement dans le plan transverse que son ordre est élevé. Les miroirs étant d’extension finie, les pertes par diffraction croissent quand l’ordre augmente. La conséquence est que l’amplitude des résonances est d’autant plus petite que le mode considéré a un ordre transverse élevé.
Couplage du mode de la cavité Pour un couplage optimal, le faisceau laser incident doit avoir les mêmes caractéristiques géométriques w(z) et R(z) que le mode fondamental de la cavité. En général, le faisceau incident ne possède pas les bonnes propriétés, il faut donc l’adapter. Pour atteindre cet objectif, on peut s’aider d’une lentille ou d’un télescope (cf. figure 4.6).
4.1.5.3 Sensibilité au désalignement et dégénérescence des modes
L’axe de la cavité est défini comme la droite passant par le centre de courbure des deux miroirs (pour une cavité sphérique). On cherche naturellement à aligner cet axe sur l’axe du montage passant par le centre des miroirs. La sensibilité au désalignement peut être estimée au moyen d’un nombre D dont l’expression a été déterminée par Hauck et
al. [HKW80] : D= " πnL λ 1 + g1g2 (1 − g1g2)3/2 |g1+ g2| (g1g2)1/2 #1/2 . (4.33)
L’inverse de D détermine la tolérance à respecter quant à l’alignement de la cavité sur l’axe général du montage, c’est-à-dire sur le faisceau d’entrée.
Effet d’un désalignement sur les modes de la cavité Un désalignement des miroirs provoque une modification de la géométrie de la cavité. Cette modification induit un chan-gement des modes propres de la cavité. Ainsi, un faisceau fondamental gaussien qui entre dans une cavité désaxée, sera projeté intracavité sur des modes d’ordre supérieur en plus du mode fondamental d’une base de Laguerre-Gauss définie suivant un axe tilté (pour une cavité de géométrie cylindrique).
Un phénomène identique intervient si l’on considère une cavité parfaitement alignée dans laquelle un faisceau gaussien rentre désaxé (sauf que la base est définie suivant un axe non-tilté).
Un désalignement de la cavité peut lever une éventuelle dégénérescence entre plusieurs modes d’ordre supérieurs. Or, la levée de dégénérescence d’un mode peut gêner le fonction-nement de l’asservissement dont le signal d’erreur dépend de la position des résonances. Il est donc important de choisir un couple g1 et g2 de manière à lever d’emblée la dégénéres-cence entre les modes (cf. sous-section 4.1.5.2). De plus, l’observation des modes d’ordre supérieur aide à optimiser l’alignement de la cavité et à y injecter proprement le faisceau laser.
4.2 Cavité Fabry-Perot concave-concave pour le
pho-todétachement de O
−Le Ti:Sa que l’on possède est bien adapté au photodétachement de l’ion O−, c’est donc cet ion qui a été choisi pour l’expérience.