Traduction en termes de pro-objets

La proposition suivante est essentiellement équivalente à (8.8.2, (i)) :

Proposition (8.13.1). — Soient S un préschéma, (X^x, z;^xj un système projectif filtrant de S-préschémas ; on suppose qu'il existe a tel que 0aX soit un morphisme affine pour tout X > a (ce qui entraîne (II, 1.6.2) que 0X(Jl est affine pour a < X < f x ) , de sorte que la limite projective X = lim Xx existe dans la catégorie des S-préschémas (8.2.3). S°it Y un S-préschéma, et, pour tout X^a, soit £x : Homs(Xx, Y) -> Homs(X, Y) l'application qui, à tout S-morphisme /x : XX->Y, fait correspondre /=/xo0X5 où z>x : X->XX est le morphisme canonique. La famille (#^x) est un système inductif d' * applications, qui définit donc une application canonique

(8.13.1.1) lim Homs(Xx, Y) ->HomB(X, Y).

Supposons Xa quasi-compact (resp. quasi-compact et quasi-séparé), et le morphisme structural Y->S localement de type fini (resp. localement de présentation finie). Alors V application (8.13.1.1) est injective (resp. bijective).

Posons en effet, pour X^a, Zx=YxsXx, de sorte que l'on a Zx = Zaxx Xx. Posons de même Z = Y xsX = Zaxx X; on sait alors (8.2.5) <lue> ^ l'on Pose auss* w^= i XZ>XIJL : Z^-^Zj^ pour a ^ X ^ f j t et ze>x= i X0X : Z->ZX pour a^X, Z est limite projective du système projectif (Zx? w^) et les wx sont les morphismes canoniques correspondants. Notons d'autre part que le morphisme Za->Xa est localement de type fini (resp. localement de présentation finie) (1.3.4 et I- 4 ' 3 ) - Enfin, on sait que Ton a

Hom^s(X^x, Y) = Hom^Xx(X^x, Z^x) et Hom^s(X, Y) = Hom^x(X, Z)

(1,3.3.14). Il suffit maintenant d'appliquer (8.8.2, (i)) en y faisant XX = SX et en y remplaçant Yx par Zx.

Corollaire (8.13.2). — Avec les notations de (8.13.1), on suppose Xa quasi-compact et quasi-séparé, et les #aX affines pour oc^X; on suppose en outre que Y=lim Yp, où (Yp, tpa) est un système projectif filtrant de S-préschémas tel que, pour chaque p, le morphisme structural Yp ->S soit localement de présentation finie. On a alors une bijection canonique

(8.13.2.1) Homs(X, Y) :* lim (lim Homs(Xx, Yp)).

^P ^

En effet, le fait que Y soit limite projective des Yp entraîne en particulier que l'application canonique Homg(X, Y) -> lim Homs(X, Yp) est bijective; et d'autre part,

P

les hypothèses entraînent, pour chaque p, l'existence d'une bijection canonique Homs(X, Yp) 5- lim Homs(Sx, Yp) en vertu de (8.13.1); d'où la conclusion.

x

(8.13.3) Les résultats précédents permettent d'interpréter dans la théorie des préschémas les notions de « pro-variété » ou de « pro-schéma » qui s'introduisent dans certaines applications (par exemple dans la théorie du corps de classes local suivant les idées de Serre [39] ou dans la théorie de Néron sur la réduction des variétés

50 A. G R O T H E N D I E G K Ghap. IV abéliennes [32]). Rappelons rapidement ici la notion de pro-objet d'une catégorie, renvoyant au chap. V pour de plus amples développements (nous n'utiliserons d'ailleurs pas avant le chap. V l'interprétation qui va suivre, et le lecteur peut donc omettre jusque-là la lecture de la fin de ce numéro). Étant donnée une catégorie C, la catégorie Pro(C) des pro-objets de C a pour objets les systèmes projectifs (dans l'univers où l'on se place) X = (X|X)lJLeM d'objets de C dont les ensembles d'indices (dépendant du système projectif considéré) sont supposés préordonnés filtrants. Étant donnés deux tels pro-objets X = (X|i)|Jl6M, X/=(X^){Jt,eM,5 les morphismes de X dans X' sont par définition les éléments de l'ensemble lim(lim Hom(XfX? X^)) ; la vérification du fait que l'on peut prendre

y.' \L

ces ensembles pour ensembles de morphismes est immédiate, la composition de systèmes de morphismes w£, : X^-^X^,, ufi : X^-^X^', qui sont inductifs en l'indice supérieur et projectifs en l'indice inférieur, se faisant « argument par argument », autrement dit en considérant le système des u'^ = ufîou*,.

(8.13.4) Considérons alors un préschéma quasi-compact et quasi-séparé S, et désignons par C la sous-catégorie pleine de la catégorie (Sch)t$ des S-préschémas, formée des S-préschémas X ayant la propriété suivante : le morphisme structural X->S se factorise en X -> Xg f0 -> S, où g : X->X0 est affine et / : X0^S de présentation finie ; nous dirons pour abréger que les préschémas de C sont essentiellement affines au-dessus de S.

Considérons d'autre part la sous-catégorie pleine C'Q de (Sch)^ formée des S-préschémas de présentation finie, et la catégorie Pro(C'Q) des pro-objets de C'0. Nous dirons qu'un objet X = (X{JL)|JieM de Pro(C'0) est essentiellement affine s'il existe un yeM tel que pour tout (Jt^Y, le morphisme de transition v^ : X^-^XY soit affine (ce qui entraîne que pour y ^ f j i ^ v , v^ : X^-^X^ est affine). On notera qu'un objet de PTO(€Q) isomorphe à un objet essentiellement affine n'est pas nécessairement essentiellement affine lui-même.

Nous désignerons par C' la sous-catégorie pleine de Pro(C'^Q) formée des pro-objets de C'⁰ essentiellement affines.

Cela étant, il résulte de (8.2.2) et (8.2.3) que pour tout objet X = (X|1)|teM de C', le S-préschéma X = lim X^ existe ; en outre, comme, pour [i assez grand, le morphisme

i*

X-^X^ est affine (8.2.2), X est essentiellement affine au-dessus de S par définition.

Posons X = L(X); montrons qu'on a ainsi défini unfoncteur canonique (8.13.4.1) L : C ' - > C

On a en effet, pour deux objets X = (X|1), X'=(X^) de C', une application canonique pour chaque jx'

lim Hom^X,, X;,) -* Homs(lim X,., X;,)

in-définie dans (8.13.1.1), et d'autre part, par définition de la limite projective, une bijection canonique

lim Homs(lim X^, X^,) ^ Homs(lim X^, lim X^,)

V.' fx \L \L'

d'où une application canonique

(8.13.4.2) lim(lim Hom^X^, X^,)) -> Hom(lim X^, lim X;,)

fi' M- \L \L'

évidemment fonctorielle en X et X', et qui complète la définition du foncteur L.

Proposition (8.13.5). — Les hypothèses et notations étant celles de (8.13.4), le foncteur L est pleinement fidèle. Si de plus S est un préschéma noethérien (ce qui implique déjà que S est quasi-compact et quasi-séparé (1.2.8)), L est une équivalence de catégories.

Dire que L est pleinement fidèle signifie que l'application (8.13.4.2) est bijective quels que soient X, X' dans C', ce qui est un cas particulier de (8.13.2) : en effet, les morphismes structuraux X^->S étant de présentation finie, sont en particulier quasi-compacts et quasi-séparés, donc les X^ sont quasi-quasi-compacts et quasi-séparés.

Pour montrer que lorsque S est noethérien L est une équivalence de catégories, il suffit, puisque l'on sait déjà que L est pleinement fidèle, de prouver que tout S-préschéma essentiellement affine X est ^-isomorphe à un objet de la forme L(X) où XEC' (Om, 8.1.5).

Or, il y a par hypothèse une factorisation X -> X0 -* S du morphisme structural,/étant de présentation finie et g affine. On peut donc écrire X —Spec(ja/), où stf est une 0Xo-Algèbre quasi-cohérente (II, 1.3.1). Or, comme X0 est noethérien (puisqu'il en est ainsi de S et que f est de type fini), s# est limite inductive filtrante de la famille (^x) de ses sous-0Xo-Algèbres quasi-cohérentes de type fini (I, 9.6.6). Posons Xx —Spe^j^);

les morphismes XX->X0 sont de type fini, donc de présentation finie puisque X0 est noethérien, et par suite il en est de même des morphismes composés XX->X0->S (1.6.2);

autrement dit, les Xx appartiennent à C'Q et comme les morphismes XX->X0 sont affines, X —(Xx) est un objet de C' dont la limite projective existe et est S-isomorphe à X en vertu de (8.2.2). Ceci achève la démonstration.

Remarque (8.13.6). — II résulte de (1.6.2) et de (II, 1.6.2) que si X et Y sont essentiellement affines au-dessus de S, alors il en est de même de XxsY. On en conclut par exemple (Om, 8.2.5) qu'un C-groupe n'est autre qu'un (Scti) ^-groupe qui est un préschéma essentiellement affine au-dessus de S. D'autre part, les produits finis existent dans la catégorie C' : en effet, si X = (XJ{JieM, Y— (Yp)peR sont deux objets de C', les produits X^XgYp sont des S-préschémas de présentation finie, et en prenant pour morphismes de transition XvxgY0->X{JLxgYp les produits des morphismes de transi-tion XV^X{Z et Y0->Yp, on voit aussitôt que (X^XgYJ est produit de X et de Y dans Pro(C0) ; en outre (II, 1.6.2) les morphismes de transition ainsi définis sont affines pour [ji et p assez grands, donc le produit X x Y ainsi défini appartient bien à C'. On conclut alors comme plus haut qu'un C'-groupe est un PTO(€Q)-groupe qui est essentiellement affine. On déduit donc de (8.13.5) que les catégories des C'-groupes et des C-groupes sont équivalentes lorsque S est noethérien. Il semble plausible que lorsque S est le spectre d'un corps k, la catégorie des C-groupes soit équivalente à celle des K-groupes, où K est la catégorie des S-préschémas quasi-compacts; autrement dit, tout préschéma en groupes sur k qui est quasi-compact serait essentiellement affine. D'autre part, si l'on désigne

52 A. G R O T H E N D I E G K Ghap. IV

par C0-grr la catégorie des C^-groupes, il est vraisemblable que la catégorie des C'-groupes est équivalente à la sous-catégorie pleine de Pro(ClQ-gr) formée des « groupes proalgé-briques essentiellement affines », c'est-à-dire des systèmes projectifs G = (GfX){xeM, où les G^

sont des groupes algébriques sur k et les morphismes de transition Gv->G;jt sont affines pour \L assez grand (ce que l'on peut exprimer aussi en disant que G est extension d'un groupe algébrique par un pro-groupe algébrique affine). La conjonction de ces deux conjectures équivaut d'ailleurs à la suivante : tout préschéma en groupes quasi-compacts sur k est « extension » d'un « groupe algébrique » (i.e. un préschéma en groupes de type fini sur k) par un préschéma en groupes affine sur k.

Les seuls pro-groupes algébriques rencontrés en pratique jusqu'à présent étant en fait essentiellement affines, il y aura donc sans doute avantage à substituer à l'étude des groupes pro-algébriques généraux (introduits et étudiés par Serre [40]) celle des schémas en groupes quasi-compacts sur k, dont la définition est conceptuellement plus simple.

8.14. Caractérisation d'un préschéma localement de présentation finie sur