Propriétés locales et globales des fibres d'un morphisme propre, plat et de présentation finie

Théorème (12.2.1). — Soient / : X - > Y un morphisme propre de présentation finie,

^ un 0^- Module f -plat et de présentation finie, O une partie finie de Zu{±oo}, k un entier.

Les parties suivantes de Y sont ouvertes :

(i) Uensemble des jyeY tels que l'ensemble des dimensions des cycles premiers associés à ^ 'y soit contenu dans O.

(ii) Uensemble des jyeY tels que V ensemble des dimensions des composantes irréductibles de Supp(J^r2/) contienne O.

(iii) L'ensemble des je Y tels que tous les cycles premiers associés à ^y aient une même dimension égale à k.

(iv) Uensemble des jyeY tels que ^y n'ait pas de cycle premier associé immergé et que l'ensemble des dimensions des composantes irréductibles de Supp(^/) soit égal à O.

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(v) L'ensemble des jeY tels que 3F'y ait la propriété (Sfc) et soit équidimensionnel en tout point de X^y.

(vi) L'ensemble des je Y tels que coprof(^"») ^ k.

(vii) L'ensemble des jeY tels que ^^y soit un 0^X -Module de Cohen-Macaulay.

(viii) L'ensemble des je Y tels que &' soit géométriquement réduit.

(ix) L'ensemble des je Y tels que 3P' soit géométriquement ponctuellement intègre en chaque point de X^y.

(x) L'ensemble des je Y tels que ^^y soit géométriquement intègre.

(xi) L'ensemble des jeY tels que ^y n'ait pas de cycle premier associé immergé et que la somme l(y) des multiplicités totales ( 4 . 7 . 1 2 ) de ^y aux points maximaux de Supp(«^"y) soit ^k.

A l'exception de (ii), (iii), (iv), (x) et (xi), les propriétés P(j) considérées sont de la forme suivante : « pour tout #eX^y) !F^V a la propriété Q(x) », où Q(x) est l'une des propriétés (i) à (viii) de ( 1 2 . 1 . 1 ) . Il résulte de ( 1 2 . 1 . 1 ) que l'ensemble U des #eX tels que Q(x) soit vraie est ouvert, et l'ensemble V des je Y tels que P(j) soit vraie n'est autre que l'ensemble Y—/(X—U) ; dans tous ces cas, le théorème est donc déjà vrai en supposant seulement le morphisme f fermé. Pour (iii), on applique (i) avec O réduit à un seul élément. Il reste à examiner les cas (ii), (iv) et (xi) séparément, ((x) se déduisant aussitôt de (xi) et de (4.7.14)) en appliquant toujours la méthode décrite dans (12.0.2).

(12.2.1.1) Cas (ii) : Les étapes A) et B) de la démonstration procèdent comme dans le début de ( 1 2 . 1 . 1 ) ; pour l'étape A), on utilise (8.9.1), (11.2.6) ainsi que ( 4 . 2 . 7 ) ; pour l'étape B), on utilise (9.5.5) appliqué à Supp(«^"). Il reste à démontrer que si (en supposant Y noethérien) l'ensemble des dimensions des composantes irréductibles de Supp(J^ry) contient O, alors il en est de même de l'ensemble des dimensions des compo-santes irréductibles de Supp(J^"^y,), pour toute générisation y' de j dans Y. Soit Y^x un spectre d'anneau de valuation discrète tels que, si j^x et y[ sont le point fermé et le point générique de Y^1? il y ait un morphisme h : Y¹->Y tel que A(j^x) =j, A(ji) — y' (H, 7 . 1 . 7 ) . Appliquant (4.2.7), on voit qu'on peut remplacer Y par Y! et X par X¹=Xx^YY¹, autrement dit, se borner au cas où Y est spectre d'anneau de valuation discrète, j son point fermé et y' son point générique.

Utilisant (Err^m, 30), on peut se borner au cas où Supp(^") = X, de sorte que/

est quasi-plat (2.3.3); les composantes irréductibles Z^t- de X dominent alors Y (2.3.4), autrement dit leurs points génériques appartiennent à X^yo et les Z^nX^r sont les composantes irréductibles de X^y,. Mais toute composante irréductible de X^ est contenue dans un des Z^i? donc est une composante irréductible de (ZJ^y; or, on sait (7.1.13) que les dimensions de toutes les composantes irréductibles de (Z^ sont égales à dîm((Zⁱ)^y/), ce qui achève de prouver (ii).

(12.2.1.2) Cas (iv) : Le même raisonnement qu'au début montre, en utilisant (12. i . i, (iii)) que l'on peut déjà supposer (en remplaçant Y par un ouvert de Y) que pour tout jeY, ^^y n'a pas de cycle premier associé immergé. L'assertion du cas (iv) est alors une conséquence immédiate des assertions des cas (i) et (ii).

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(12.2.1.3) Cas (xi) : Pour l'étape A) du raisonnement, on utilise (8.9.1), ( n . 2. 6), (8. 10.5, (xii)) (pour conserver l'hypothèse q u e / est propre), ainsi que (4.2.7), (4.5.6) et (4.7.9). Pour l'étape B), on voit, comme dans le cas (iv), qu'on peut supposer que pour tout j>eY, jF^y n'a pas de cycle premier associé immergé, et l'on applique (9.8.8) qui prouve que la fonction z~*l(z) est constructible. Il reste donc à voir (en supposant Y noethérien et /propre) que pour toute générisation y' d'un point je Y, on a l ( y ' ) ^ l ( y ) . En raisonnant comme dans (12. i . i .3), on voit (à l'aide de (4.7.8) et (4.5.11)) qu'on peut supposer que les composantes irréductibles de Supp(^e^*^î/r) sont géométriquement irréductibles et que l(y'} est la somme des longueurs des (^y}^Z'. aux points maximaux z] de Supp(J^ry,). Appliquant de nouveau (4.2.7), (4.5.6) et (4.7.9), on se ramène, comme dans ( 1 2 . 2 . 1 . 1 ) , au cas où Y est un spectre d'anneau de valuation discrète, y son point fermé et y' son point générique. Le fait que l(y'}^l(y] sera alors conséquence du

Lemme (12. 2. 1.4). — Soient Y un spectre d'anneau de valuation discrète, y son point fermé, y' son point générique, /: X->Y un morphisme propre, ^ un 0^- Module cohérent et f -plat, Zi (resp. z'j) les points maximaux de Supp(Jry) (resp. Supp(Jry,)). Supposons que ^y n'ait pas de cycle premier associé immergé. Alors on a

On a Y=Spec(A), où A est un anneau de valuation discrète, dont nous dési-gnerons par t une uniformisante, de sorte que J^ry = J^/^J^. Comme «^" est /-plat, les z]

sont aussi les points maximaux de Supp^) (2.3.4); pour tout z^ désignons par z^

ceux des z] qui sont des générisations de Z{\ il résulte de (3.4.1.1) que l'on a

d'où en sommant

Le lemme sera donc prouvé si nous établissons que pour tout z^ il y a au moins un indice i tel que z] soit l'un des z'^- Or, comme /est propre (donc fermé) et /(£?')— jy'5 il existe

#eX qui est une spécialisation de z] et est tel que /(#)— JV, autrement dit {^}nX^y n'est pas vide. Comme t est ^-régulier par platitude, on déduit de (3.4.3) qu'il y a au moins un point de Ass(J^ry) dont z'j est une générisation; mais comme les points de Ass(^) sont par hypothèse les £,., cela termine la démonstration.

Corollaire (12.2.2). — Sous les hypothèses de ( 1 2 . 2 . 1 ) :

(i) La fonction jv~^dim(Supp(J^rî/)) est continue (donc localement constante) dans Y.

(ii) La fonction jy~> coprof ( J^) ( 5 . 7 . 1 ) est semi-continue supérieurement dans Y.

(iii) La fonction 7~>/(jv) ( 1 2 . 2 . 1 , (xi)) est semi-continue supérieurement dans Y lorsque les ^y n'ont pas de cycle premier associé immergé.

(iv) La fonction j->prof*(^e^^rî/) (10.8.1) est semi-continue inférieurement dans Y.

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(i) II résulte de ( 1 2 . 2 . 1 , (i)) appliqué à O égal au plus petit intervalle de N contenant les dimensions des cycles premiers associés à 3P'y) que z~>dim(Supp(e^'J) est semi-continue supérieurement au point j; il résulte d'autre part de ( 1 2 . 2 . 1 , (ii)) appliqué à O égal à l'ensemble des dimensions des composantes irréductibles de Supp(Jry), que cette même fonction est semi-continue inférieurement au point j, d'où la conclusion.

Les assertions (ii) et (iii) ne sont que d'autres formulations de ( 1 2 . 2 . 1 , (vi) et (xi)).

Enfin, d'après (12.1.3), l'ensemble des xeX tels que profJ^J^)^ est ouvert, et la conclusion de (iv) en résulte par le même raisonnement qu'au début de ( 1 2 . 2 . 1 ) .

Remarques (12.2.3). — (i) On observera que pour (12.2.1, (ii)), on peut se dispenser de l'hypothèse que/

est propre.

(ii) Dans (12.2.1, (ii)), on ne peut remplacer la condition que l'ensemble E(jy) des dimensions des compo-santes irréductibles de Supp(^) contienne O, par la condition que E(jy) soit égal à <ï>. En effet, soit k un corps, et considérons l'espace projectif à 3 dimensions P — P| = Proj(G), où G = k[tQ, tlyt2, £3] (^ indéterminées) ; dans P, soit X0 le sous-schéma fermé « réunion de la droite Xx définie par fx = t% = o et du plan X2 défini par t2—£3 = 0 », ce qui décrit en termes géométriques le fait que X0 est égal à Proj(C/a), où l'idéal gradué a est égal à t>c, avec b = C^-f- C£3, c = C(£2—£3) ; considérons le morphisme f0 : XQ^XJ qui, en termes géométriques, est la« projection de X0 sur Xx à partir de la droite à l'infini D définie par t0—t2 = o »; sous forme algébrique, f0 correspond à Phomomorphisme d'algèbres graduées k[t09t^\—>k[t0, h> *2> y/a obtenu par passage au quotient à partir de l'injection canonique k[tQ,t2]—>A;[£0, ti912, £3]. Il est clair que/"0 est un morphisme projectif, donc propre; il en est donc de même de sa restriction /: X—>Y, où Y = D+(£0) et X=/0~1(Y); pour voir que/est plat, il suffit de remarquer que A;p2] est un anneau principal et l'anneau G' = k\t-L, t2, ^l/fe—^3)(('i)~f"('s)) un ^ p2]~mO(lule sans

torsion (QI9 6.3.4). Pour tout jyGY distinct du point j>0 défini par t2 = o) f~1(y) a alors deux composantes irréductibles, de dimensions o et i, tandis que f~1(}>o) n'a qu'une seule composante irréductible de dimension i.

(iii) Dans (12.2.1, (i)), on ne peut pas non plus remplacer la condition que l'ensemble E'(jy)i>E(jv) des dimensions des cycles premiers associés à «^ soit contenu dans O par la condition qu'il soit égal à <D. Soient en effet k un corps, A l'anneau k\f] de polynômes, B le sous-anneau A;p4, t3u, ta3, M4] de l'anneau de polynômes kit, u\

(t, u indéterminées); B n'est pas intégralement clos, l'élément t2u2 appartenant à sa clôture intégrale mais n'étant pas dans B; si m est l'idéal maximal de B, engendré par £4, t*u, tu? et M4, m est idéal premier associé immergé de A/Ai4. Posons Y = Spec(A), X = Spec(B), et soit f: X—>Y le morphisme correspondant à l'homomorphisme A—>B qui transforme t en £4. Gomme cet homomorphisme fait de B un A-module sans torsion,/est plat (0IS 6.3.4). Sij> est

le point de Y correspondant à l'idéal maximal tA, le préschéma f ~ ^ - ( y ) est irréductible et de dimension i, mais admet un cycle premier associé immergé de dimension o; au contraire, sij/ est le point générique de Y, f~*(}>') n'a pas de cycle premier associé immergé, étant le spectre d'une k (y') -algèbre intègre de dimension i. Dans cet exemple, f est un morphisme affine non propre ; on peut en déduire aussitôt un exemple analogue où f est propre et plat en considérant X comme un ouvert partout dense d'un schéma projectif sur Y (II, 5.3.4 et 5.3.2), ou en procédant directement comme dans la Remarque (ii).

Les Remarques (ii) et (iii) montrent la nécessité d'inclure dans (12.2.1, (iv)) la condition que ^y n'ait pas de cycle premier associé immergé.

(iv) Dans (12.2.1, (xi)), on ne peut supprimer l'hypothèse que y soit propre. En effet, soient k un corps, Y la« droite affine», spectre de l'anneau de polynômes k[t] (t indéterminée), X le schéma somme de Y et de l'ouvert complémentaire du point fermé y de Y défini par t — o. Il est clair que le morphisme /: X->Y qui est égal aux injections canoniques dans chacune des composantes de X est plat et que si l'on prend ^ = &x, ^z n'a de cycle premier associé immergé pour aucun zeY. Toutefois, on voit ausitôt que l'on a l(y]=i et l(z) = 2 pour tout z*y.

(v) Dans (12.2.1, (xi)), on ne peut pas non plus supprimer l'hypothèse que ^y soit sans cycle premier associé immergé. C'est ce que montre l'exemple de la Remarque (ii) : on voit aussitôt en effet que l'on a, avec J^ = (9X, /(jy0) = i et l(y) = 2 pour y 3=yQ dans Y.

(vi) Nous ignorons si dans (12.2.1, (xi)) on peut remplacer l'hypothèse que .^ est jT-plat par celle que Supp(«^r) = X et que^est universellement ouvert. En reprenant la démonstration de (12.2.1.4), on voit (en utilisant aussi (14.3.6)) qu'il faudrait résoudre la question suivante : Soient A un anneau local noethérien, M un A-module

de type fini, t un élément de l'idéal maximal m de A, qui n'est contenu dans aucun idéal premier minimal de A;

s'il existe un de ces idéaux premiers minimaux p tels que dim(A/p) = i, est-il vrai que m est un idéal premier associé à M/tM (t n'étant pas supposé M-régulier) ?

On notera toutefois qu'on ne peut, dans (12.2.1, (xi)), supprimer purement et simplement l'hypothèse que &

est/-plat. On prendra en effet ici P comme dans la Remarque (ii), puis dans P le sous-schéma fermé X0 réunion des trois droites X1? Xa, X3 définies respectivement par t1 = t3 = o, t±—t0 = t3 = o, t2 = t3 = o-, on définit la projection f0 de X0 sur Xx comme précédemment et sa restriction /: X—>Y, où Y = D_|_(J0) est la droite affine et X =%/o~100 ;/est propre mais non plat, et si l'on prend ^=0^, ^y n'a de cycles premiers associés immergés pour aucun j>eY. Mais on a / ( j >0) = i et /(jv) = 2 pour jy4=jy0 dans Y.

Théorème (12.2.4). — Soient f: X->Y un morphisme propre, plat et de présentation finie^ k un entier ^ i. Les parties suivantes de Y sont ouvertes :

(i) L'ensemble des je Y tels que Xy possède la propriété (Sfc).

(ii) L'ensemble des jeY tels que X^ vérifie la propriété (RA) géométrique, soit équidimen-sionnel en chaque point et n'ait pas de cycle premier associé immergé.

(iii) L'ensemble des je Y tels que X^ soit géométriquement régulier (i.e. lisse sur h(y)).

(iv) L'ensemble des je Y tels que Xy soit géométriquement normal.

(v) L'ensemble des je Y tels que X^ soit géométriquement réduit.

(vi) L'ensemble des jeY tels que Xy soit géométriquement réduit et que le nombre géomé-trique de composantes connexes de X^ soit égal à k.

(vii} L'ensemble des je Y tels que X^y soit géométriquement ponctuellement intègre (4.6.9).

(viii) L'ensemble des je Y tels que X^ soit géométriquement intègre.

(ix) L'ensemble des jeY tels que X^ n'ait pas de cycle premier associé immergé et que la multiplicité totale (4.7.4) de X^ sur h(y] soit ^k.

Sauf pour (vi), ces assertions sont des cas particuliers d'assertions de ( 1 2 . 2 . 1 ) , ou se déduisent d'assertions de (12.1.6) comme au début de la démonstration de ( 1 2 . 2 . 1 ) . Pour (vi), on se ramène comme toujours (compte tenu de l'invariance du nombre géométrique de composantes connexes par changement de base (4.5.6)) au cas où Y est noethérien. L'ensemble U des jeY tels que X^y soit géométriquement réduit est ouvert dans Y en vertu de (v) ; il résulte alors de (III, 7 . 8 . 7 et 7.8.6) que pour tout jeU, il y a un voisinage V C U de j et un entier m tels que, pour tout £eV, F(X^r, 0^X ) soit isomorphe à (k(z)}^m\ mais en vertu de (III, 4.3.4), m est alors le nombre géométrique de composantes connexes de X^z, d'où la conclusion. On donnera une autre démonstration de (vi) dans (15.5.9).

12.3. Propriétés cohomologiques locales des fibres d'un morphisme plat et