10. z. Parties très denses d'un espace topologique
10.5. Préschémas de Jacobson noethériens
Proposition (10.5.1). — Soit.R un anneau intègre noethérien. Les conditions équivalentes a) à d) de (10.4.4) sont a^ors auss^ équivalentes aux suivantes :
e) Spec(B) est fini.
f) B est un anneau semi-local de dimension < i.
Il résulte en effet du théorème d'Artin-Tate (0, 16.3.3) <lue IGS conditions a) ttf) sont équivalentes. La condition/) implique que Spec(B) est réunion de l'ensemble
fini de ses points fermés et de son point générique, doncf) implique e) sans supposer A noethérien. Enfin e) implique d) sans supposer A noethérien, car le point générique x de X est le complémentaire de la réunion des adhérences {j;}, où y parcourt l'ensemble des points j=M, et comme ces points sont en nombre fini, {x} est complémentaire d'un ensemble fermé dans X.
Corollaire (10.5.2). — Soit A un anneau noethérien. Pour que A soit un anneau de Jacobson, il faut et il suffit qu'il n'existe aucun idéal premier p de A tel que A/p soit un anneau semi-local de dimension i.
Cela résulte aussitôt de (10.5.1) et de la condition b) de (10.4.5), ^es idéaux premiers p de A tels que A/p soit semi-local de dimension o étant les idéaux maximaux de A.
Corollaire (10.5.3). — ^°^ X un préschéma noethérien irréductible. Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Le point générique de X est isolé.
b) X est fini.
c) X est de dimension ^ i et l'ensemble de ses points fermés est fini.
Il existe par hypothèse un nombre fini d'ouverts affines irréductibles Ui (i^i^n) recouvrant X, et dont chacun contient donc le point générique de X; il suffit de prouver l'équivalence de a), b) et c) pour chacun des (Uf)red (compte tenu de (0, 14.1.7)). Mais cette équivalence résulte alors de (10.5.1).
Remarque (10.5.4). — Un préschéma noethérien X vérifiant les conditions équi-valentes de (10.5.3) n'est pas nécessairement un schéma affine; en fait il peut même être non séparé. On en a un exemple en remplaçant, dans l'exemple (I, 5.5.11 ) de « droite affine avec point dédoublé », Xx et X2 par le spectre de l'anneau de valuation discrète (K[/])(s), U12 et U2i par l'ouvert réduit au point générique dans Xx et X2 respectivement;
le préschéma non séparé X que l'on obtient a exactement 3 points.
Proposition (10.5.5). — 3°** X un préschéma noethérien.
(i) L'ensemble X0 des points #eX tels que {x} soit fini est très dense dans X.
(ii) Pour que X soit un préschéma de Jacobson, il faut et il suffit qu'il n'existe aucun sous-préschéma de X isomorphe au spectre d'un anneau semi-local intègre de dimension i.
La condition que {x} soit fini équivaut en effet ici (10.5.3) au fait que x soit isolé dans {#}, {x} étant espace sous-jacent d'un sous-préschéma (noethérien) de X;
l'assertion (i) résulte donc de (5.1.10.1). De même, compte tenu de (10.4.5.1), pour démontrer l'assertion (ii), remarquons que pour qu'un point non fermé A: de X appar-tienne à X0, il faut et il suffit que le sous-préschéma fermé intègre Y de X ayant {#}
pour espace sous-jacent soit de dimension i et fini, donc réunion finie de sous-préschémas ouverts (dans Y) affines Uf- qui sont des spectres d'anneau semi-locaux intègres de dimension i. Inversement, s'il y a un sous-préschéma Z de X qui soit spectre d'un anneau semi-local intègre de dimension i, Z n'est pas un préschéma de Jacobson (10.5.2), donc il en est de même de X (10.3.2).
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io6 A. G R O T H E N D I E C K Ghap. IV
Remarque (10.5.6). — L'assertion (ii) de (10.5.5) est encore valable lorsque X est localement noethérien : en effet, si (VJ est un recouvrement de X formé d'ouverts affines (noethériens), tout sous-préschéma d'un Va est un sous-préschéma de X; inver-sement, si un sous-préschéma Z de X est isomorphe au spectre d'un anneau semi-local intègre de dimension i, il y a un a tel que VanZ contienne un ouvert affine U de Z non réduit au point générique de Z, et qui est donc aussi spectre d'un anneau semi-local intègre de dimension i. On conclut à l'aide de (10.3.3).
Proposition (10.5.7). — Soient X un préschéma localement noethérien, Y une partie fermée de X telle que toute partie fermée non vide de X rencontre Y. Alors le préschéma induit sur Vouvert X — Y est un préschéma de Jacob son.
Appliquons le critère (10.5.5, (ii))? et supposons qu'il y ait un sous-préschéma Z de X—Y qui soit spectre d'un anneau semi-local intègre de dimension i, le point générique £ de Z étant donc isolé dans Z (ou dans l'adhérence Z de Z dans X), et Z étant distinct de {z}. Soit j>4=£ un point de Z; comme il n'appartient pas à Y, il n'est pas fermé dans X, et son adhérence { y} dans X rencontre Y en un point x =t=jy qui est donc spécialisation de y. L'existence de la chaîne {#}c{jv}c{£} montre alors que la dimension de {^} serait ^2, et il en serait de même de la dimension de Un{^;}, où U est un voisinage ouvert affine (donc noethérien) de x dans X. Or, cela contredit le fait que le point générique £ de Un{^} est isolé dans Un{^:} (10.5.3).
Corollaire (10.5.8). — Soit A un anneau noethérien; pour tout élément f du radical 91 de A, Vanneau A/ est un anneau de Jacobson, et rouvert Spec(A)—V(9l) est un schéma de Jacobson.
Si X = Spec(A), Y=V(3), où 3 est un idéal de A, dire que toute partie fermée non vide de X rencontre Y équivaut (0I? 2. i .3) à dire que Y contient tous les points fermés de X, ou encore que 3 est contenu dans le radical 91 de A. Si /e9î, l'ouvert D(/J
ne rencontre donc pas V(9Î), et est un espace de Jacobson en vertu de (10.5.7).
Corollaire (10.5.9). — Soient A un anneau local noethérien, rtt son idéal maximal, X —Spec(A), Y—X—{îtt}; alors Y est un schéma de Jacobson, dont les points fermés sont les idéaux premiers peSpec(A) tels que d i m ( A / p ) = i .
La première assertion est un cas particulier de ( i o. 5.8) ; d'autre part les points fermés de Y sont les idéaux premiers p de A qui sont des éléments maximaux dans l'ensemble des idéaux premiers =(= m, ce qui, par définition de la dimension, signifie que dim(A/p) = i.
Proposition (10.5.10). — Soit A un anneau local noethérien réduit et complet et qui n'est pas un corps. Alors les intersections finies des noyaux des homomorphismes locaux de A dans des anneaux de valuation discrète V, qui font de V une A-algèbre finie, forment une base de filtre tendant vers o pour la topologie adique de A.
Il suffit (Bourbaki, Alg. comm., chap. III, § 2, n° 7, prop. 8) de prouver que l'intersection des noyaux envisagés dans l'énoncé est réduite à o. Supposons d'abord que A soit intègre et de dimension i; en vertu du théorème de Nagata (0,23.1.5 et 23.1.6), la clôture intégrale A' de A est un anneau local complet intègre et
intégralement clos et de dimension i et une A-algèbre finie; c'est donc un anneau de valuation discrète, et la proposition en résulte aussitôt dans ce cas.
Passons au cas général; soit x le point fermé de X = Spec(A), et posons Y=X—{#}; on sait (10.5.9) que Y est un préschéma de Jacobson. Montrons que cela entraîne que l'intersection des idéaux premiers p de A tels que dim(A/p) = i est réduite à o; la proposition en résultera puisque, pour chacun de ces idéaux p, l'inter-section des noyaux des homomorphismes locaux de A/p dans des anneaux de valuation discrète V, faisant de V une (A/p)-algèbre finie, est réduite à o. Mais dire que l'inter-section de ces idéaux premiers est réduite à o signifie que l'ensemble de ces idéaux est dense dans X, ou encore dans Y (puisque Y est dense dans X), et cela résulte aussitôt de (10.5.9).