Espaces algébriques de Serre

(10.10.1) Le langage introduit par Serre dans (FAC) est parfois commode, notamment dans les questions où l'intérêt majeur s'attache aux points rationnels sur le corps de base k (algébriquement clos par hypothèse) des

« variétés algébriques » sur k que l'on considère. Nous allons esquisser ici ce langage en le rattachant aux considé-rations qui précèdent, pour permettre au lecteur de traduire les énoncés de Serre en langage des schémas. Il est d'ailleurs possible de développer le langage de Serre également pour des préschémas sur un corps non algébriquement clos (et même sur un anneau artinien) ; mais cela introduit des complications techniques considérables, et d'ailleurs, sur un corps de base arbitraire, les avantages (surtout psychologiques) du point de vue de Serre disparaissent; aussi

nous tiendrons-nous dans le cadre fixé par Serre. Le présent numéro, tout comme le précédent, ne sera d'ailleurs pas utilisé dans la suite de ce Traité, et nous nous bornerons donc à de brèves indications.

(10.10.2) Étant donné un ultra-préschéma fixe R, on peut naturellement (comme dans toute catégorie) définir la notion de 'R.-ultra-préschéma. Considérons en particulier un corps algébriquement clos k\ Spm(A;) est alors identique à Spec(A;); nous dirons qu'un Spm (k) -ultra-préschéma X' est un espace préalgébrique sur k : c'est donc un espace A;-annelé en anneaux locaux dont tout point a un voisinage ouvert isomorphe au spectre maximal d'une A:-algèbre de type fini; il revient au même de dire (par (10.9.6)) que X'= S(X), où X est un préschéma localement de type fini sur k. Si X, Y, Z sont trois Àxpréschémas localement de type fini, il en est de même de X X^zY (i .3.4), donc en vertu de (10.9.6), la notion de produit existe dans la catégorie des espaces préalgébriques sur k (aussi bien le produit « sur k » X' X^Y7 que le « produit fibre » X' Xz» Y7, où X', Y', Z7 sont trois espaces préalgébriques sur k).

On peut donc définir le morphisme diagonal Ax/ : X7—> X'x/jX' (qui n'est autre d'ailleurs que S(AX)); on dit que X' est un espace algébrique sur k si X est un schéma, et il revient au même de dire que l'image de Ax/ est une partie fermée de X⁷x/jX⁷.

(10.10.3) Les simplifications qui proviennent de l'hypothèse que k est algébriquement clos tiennent d'abord à ce que, pour un A>préschéma X, localement de type fini, il y a correspondance biunivoque entre points fermés de X, points de X à valeurs dans k (I, 3.4.4) et points de X rationnels sur k (I, 3.4.5), en vertu de (I, 6.4.2). Cela montre en particulier (en vertu de (I, 3.4.3.1)) que pour deux espaces A:-préalgébriques X', Y', l'ensemble sous-jacent au produit X'x^Y7 est identique à Vensemble produit X7xY7 des ensembles sous-jacents (mais bien entendu la topologie de l'espace sous-jacent à X'x&Y' n'est pas la topologie produit des topologies des espaces sous-jacents à X' et Y', elle est en général strictement plus fine que cette dernière).

D'autre part, les anneaux locaux Ox aux points d'un espace préalgébrique X' sur k sont des A>algèbres dont on vient de voir que le corps résiduel est isomorphe à k ; si A et B sont deux telles A>algèbres locales, tout A;-homomorphisme 9 : A—>E est nécessairement local : en effet, si un élément x de l'idéal maximal de A était tel que <p(#) soit inversible, il existerait XsA; non nul tel que <p(#—X.i) appartienne à l'idéal maximal de B, ce qui est absurde puisque x—X. i est inversible dans A. On conclut aussitôt de là que si X7 = S(X), Y7= S (Y) sont deux espaces préalgébriques sur k, tout morphisme X'->Y' d'espaces k-annelés est aussi un morphisme d'espaces k-annelés en anneaux locaux (I, 1.8.2; cf. Errn). D'ailleurs, avec les notations précédentes, si A et B sont des £-algèbres de type fini, 9 fait de B une A-algèbre de type fini; donc tout morphisme X'—>Y' de A:-espaces annelés est, en vertu de (10.9.6), de la forme S(/), où /: X->Y est un morphisme de k-préschémas.

Enfin, pour tout ouvert U de X⁷, toute section jeF(U, 0^X,), et tout #eU, s(x] (0^I5 5.5.1) s'identifie à un élément de k, et l'on a ainsi associé à s une application J : x~> s(x) de U dans k, autrement dit une section au-dessus de U du faisceau ja?(X7) des germes d'applications de X' dans k; comme l'application hv : s~>J est évidemment un homomorphisme d'anneaux F(U, <9X/)—>• r(U, j/(X7)) et commute aux restrictions à un ouvert VcU, les hv

définissent un homomorphisme de faisceaux d'anneaux h : 0X, —> j^(X'). Si l'on prend pour U un ouvert ultra-affine Spm (A), où A est un anneau de Jacobson, dire que J = o signifie que pour tout idéal maximal m de A, s appar-tient à m, ou encore que s est dans le radical de A; mais comme A est un anneau de Jacobson, son radical est égal à son nilradical; pour que h^v soit injective, il faut et il suffit par suite que A soit réduit.

(10.10.4) On dit que l'espace &-préalgébrique X7= S(X) est réduit s'il en est ainsi de X ; comme l'ensemble des points *eX où X est réduit est ouvert (0I? 5.2.2), son complémentaire contient au moins un point fermé s'il est non vide (5. i . 11), et il revient donc au même de dire que X' est réduit ou que chacun de ses anneaux locaux Ox

(pour #GX7) est réduit. On vient de voir dans (10.10.3) Que pour que l'homomorphisme h : <9X, —>jaf(X7) soit injectif, il faut et il suffit que X' soit réduit. Dans (FAC), Serre se borne en fait aux espaces préalgébriques réduits, ce qui lui permet de définir <S>X, comme un sous-faisceau de ,s/(X7). On notera que si X7 et Y7 sont des ^-espaces préalgébriques réduits, il en est de même de X7 X& Y7 : en effet, tout revient à voir que si A et B sont deux A;-algèbres de type fini réduites, il en est de même de ACS^B; mais nous avons vu que les radicaux de A et B sont alors réduits à o, et comme k est algébriquement clos, A et B sont des algèbres « séparables » sur k au sens de Bourbaki (Bourbaki, Alg., chap. VIII, § 7, n° 5, prop. 5) ; donc A®/^B est sans radical (loc. cit., n° 6, cor. 3 du th. 3), et puisque c'est un anneau de Jacobson, il est réduit. Toutefois, si Z7 est un troisième espace préalgébrique sur k, le « produit fibre » X7 Xz/ Y7 de deux espaces préalgébriques réduits sur Z7 n'est pas réduit en général, ce qui implique que la catégorie de ces espaces est insuffisante dans de nombreuses questions (notamment dans la théorie des groupes algébriques). Mais comme on l'a vu ci-dessus, on peut garder le langage de Serre sans se limiter, comme ce dernier (qui en outre ne considère que des espaces préalgébriques quasi-compacts), au cas des espaces préalgébriques réduits.

u6 A. G R O T H E N D I E G K Ghap. IV (10.10.5) Enfin, on peut aussi considérer des ultra-préschémas sur un corps k quelconque en conservant un langage qui reste proche de celui de Serre, et en introduisant, comme chez Weil, une extension algébriquement close fixe K de A; (choisie assez grande, par exemple de degré de transcendance infini sur k, pour avoir suffisamment de « points génériques » au sens de Weil). A tout préschéma X localement de type fini sur k, on associe alors l'ensemble SK(X) = S(X®^.K) des points de X à valeurs dans K; on a une application canonique ; : SK(X)—>X que l'on démontre être un quasi-homéomorphisme quand on munit SK(X) de la topologie image réciproque de celle de X par j; on munit SK(X) du faisceau de Ar-algèbres j*(@x), et on obtient ainsi une sous-catégorie de la catégorie des espaces Cannelés en anneaux locaux, que Ton pourrait appeler catégorie des (k, K)-espaces préalgébriques.

On peut montrer qu'on y peut encore définir des produits et généraliser les résultats de (10.10.3) et (10.10.4) (j^(X') étant ici remplacé par le faisceau j?/K(X') des germes d'applications de X' dans K). Toutefois ce point de vue fait jouer un rôle artificiel à un surcorps arbitrairement choisi de k, et nous ne le signalons que pour le rejeter.

§ ii. PROPRIÉTÉS TOPOLOGIQUES DES MORPHISMES PLATS DE PRÉSENTATION FINIE. CRITÈRES DE PLATITUDE

Alors que dans le § 2 nous avons considéré les énoncés concernant la platitude qui ne dépendent d'aucune hypothèse de finitude, et que le § 6 étudie la notion de platitude dans le cadre des préschémas localement noethériens (mais sans hypothèse de finitude sur les morphismes), le présent paragraphe est consacré à la notion de /-platitude dans le cas où le morphisme /:X->Y est localement de présentation finie.

L'intérêt de la notion de morphisme plat de présentation finie tient au fait que c'est elle qui semble exprimer techniquement de la façon la plus adéquate la notion intuitive de « famille de préschémas algébriques paramétrée par un schéma Y », dont l'étude est un des objets principaux de la Géométrie algébrique. D'ailleurs, alors même qu'on ne s'intéresserait au départ qu'au cas d'un schéma de base noethérien, il est indispensable, pour certaines raisons techniques (par exemple pour certaines appli-cations de la théorie de la « descente », qui conduit à introduire des schémas non néces-sairement noethériens) de ne pas se limiter à ce cas, dès qu'il s'agit de problèmes de nature essentiellement relative liés aux morphismes localement de présentation finie.

Nous suivrons systématiquement ce principe, déjà étayé par les résultats des §§ 8 et 9, dans toute la suite de ce Chapitre, et même dans la suite de notre Traité, quitte à lui sacrifier à l'occasion la simplicité de certaines démonstrations, que des hypothèses noethériennes permettent parfois d'alléger (x). Dans le présent paragraphe, cela nous conduit à reprendre, dans le contexte de la « présentation finie » (notamment au n° 3) certains énoncés de platitude, déjà obtenus dans le contexte noethérien. L'outil technique essentiel pour faire la réduction au cas noethérien est le théorème de compatibilité de la platitude avec les limites projectives de préschémas (11.2.6), complétant les résultats généraux du § 8. Nous prouvons aussi en passant (11.3.1) un résultat souvent utilisé

(*) Ce principe s'inspire également de la nécessité de donner droit de cité, comme « espaces de paramètres » pour les familles de schémas algébriques, à des espaces annelés (et même des « topos » annelés) quelconques, pour lesquels il ne peut plus être question en général d'hypothèses noethériennes. Il semble assez clair que l'on ne pourra plus éluder longtemps cette nouvelle extension de la Géométrie algébrique, et il convient dès à présent de développer les notions et techniques de nature « relative » de la théorie des schémas de sorte qu'elles puissent s'adapter pratiquement telles quelles à ce cadre plus général.

par la suite, impliquant que l'ensemble des points de platitude d'un morphisme loca-lement de présentation finie est ouvert.

Dans les n08 4 à 8, nous étudions la question de la « descente » de la platitude, consistant à trouver des conditions utiles sur un morphisme de changement de base Y'->Y (non plat en général) pour pouvoir conclure que si XxYY' est plat sur Y', X est plat sur Y. Ces résultats, plus techniques que ceux des nos i à 3, sont d'une utili-sation moins fréquente dans la suite ; ils joueront cependant un rôle important dans les techniques de construction non projectives, au chapitre suivant. Le seul résultat des nos 4 à 8 utilisé dans la suite du chap. IV est le critère valuatif de platitude (n.8), qu'on appliquera dans (15.2).

Enfin, les nos 9 et 10 sont consacrés à l'étude d'une notion qui précise, en théorie des schémas, celle de densité au sens topologique, savoir la notion de famille de sous-préschémas schématiquement dense dans un préschéma donné, et notamment l'étude du comportement de cette notion par changement de base (plat ou quelconque). Cette notion est surtout utilisée, pour l'instant, dans l'étude des schémas en groupes.

n.i. Ensembles de platitude (cas noethérien).

Théorème (n.i.i). — Soient Y un préschéma localement noethérien, /:X->Y un morphisme localement de type fini, $* un 0X-Module cohérent. Alors l'ensemble U des #eX tels que &> soit f-plat au point x est ouvert dans X.

La question étant évidemment locale sur X et Y, on peut supposer Y = Spec(A),

r*+s

X = Spec(B), A étant noethérien et B une A-algèbre de type fini. On a alors «^" = M, où M est un B-module de type fini. Appliquons le critère (Om , 9 . 2 . 6 ) : il suffit donc de démontrer l'assertion suivante :

(11.1.1.1) Soient A un anneau noethérien, B une A-algèbre de type fini, M un ïï-module de type fini, q un idéal premier de B, p son image réciproque dans A. On suppose que Mq soit un Aj-module plat. Alors il existe geE— q tel que^pour tout idéal premier q' 3 q deE tel que g^q', Mq, soit un \,-module plat, en désignant par p' l'image réciproque de q' dans A (il revient d'ailleurs au même (Ox, 6.3. i) de dire que Mq, est un A-module plat).

Considérons pour cela Bq, comme une A-algèbre; on a évidemment pBq,Cq'Bq,.

On sait alors (Om, 10.2.2) que pour que Mq, soit un A-module plat, il faut et il suffit que Mq,/pMq, soit un (A/p)-module plat et que l'on ait Torf (Mq,, A/p) =o.

Or, on a Mq, = M®BBq,; Bq, étant plat sur B, on a Mq,/pMq, = (M/pM)q, et Tor£(Mq,, A/p)=(Torf(M, A/p))q, (en définissant le Tor à l'aide d'une résolution projective de A/p); pour la même raison, comme on doit avoir g<£q', Bq, est plat sur B,, donc (M/pM),. = ((M/pM),),Bï et (TorftM, A/p)),. = ((Tor*(M, A/p))ff)q,B?, où dans ces formules, M/pM et Torf (M, A/p) sont considérés comme des B-modules.

Compte tenu de (0I5 6.3.2), on voit qu'on est ramené à prouver le

Lemme (n. 1.1.2). — Sous les conditions de (i i. i. i. i), il existe geB— q tel que : (i) (M/pM), soit un (A/p)-module plat; (ii) (Toif (M, A/p)),==o.

n8 A. G R O T H E N D I E G K Ghap. IV

En vertu du théorème de platitude générique (6.9.1) appliqué à l'anneau intègre A/p, à la (A/p)-algèbre de type fini B/pB et au (B/pB)-module de type fini M/pM, il existe un A e A — p tel que, si h est son image canonique dans A/p, (M/pM),; soit un (A/p)-module plat. D'autre part, comme M^q est un A^p-module plat, et par suite un A-module plat (0^I? 6.3.1), on a Tor^(M^q, A/p) = o, ce qui s'écrit aussi (Torf (M, A/p))^q = o. Mais comme A et B sont noethériens, Torf(M, A/p) est un B-module de type fini, donc (Oj, 5.2.2) il existe geE—q tel que (Tor^(M, A/p)), = o. D'ailleurs, on a (M/pM)^Â= (M/pM)^fc (M/pM étant considéré dans le second membre comme un A-module); de plus, (M/pM)^fc étant un B-module, (M/pM)^ est encore un (A/p)-module plat, car il s'écrit (M/pM)^, où hg est l'image canonique de kg dans B/pB, et il suffit d'appliquer (0^I? 6.3.2); enfin, on a (Torf(M, A/p))^ = o et AgeB—q puisque heA—p. C.Q.F.D.

Corollaire (11.1.2). — Soient Y un préschéma localement noethérien, / : X - > Y un morphisme localement de type fini, &>, ^' deux O^-Modules cohérents, u : ^'->^ un homo-morphisme de 0^X-Modules. On suppose que 3F est f-plat. Alors l'ensemble U des #eX tels que, en posant y=f(x), Vhomomorphisme u^x®i : ^'^x®o ^(y)-^^^x®o l*(y) soit injectif, est ouvert dans X.

En effet, soit N (resp. ^) le noyau (resp. le conoyau) de u ; appliquons (O^m, i o. 2.4) (¹) aux anneaux locaux O^y et &^x et aux ^-modules ^'^x et 3F^x : dire que u^x®i est injectif équivaut à dire que jVx = o et que & est /-plat au point x. Or comme Jf et ^ sont cohérents (0I3 5.3.4), l'ensemble des x où ^x = o est ouvert (0I5 5.2.2), et l'ensemble des x où 0* est/-plat est ouvert par (i i . i . i) ; d'où la conclusion.

En particulier :

Corollaire (11.1.3). — Soient Y un préschéma localement noethérien, / : X - > Y un morphisme plat et localement de type fini, g une section de <5X au-dessus de X. U ensemble des #eX tels que g^x®i soit non diviseur de zéro dans O^x®&f^(x^(f(x)) est ouvert dans X.

Il suffit d'appliquer (11.1.2) à l'endomorphisme de 0^X défini par g.

Corollaire (11.1.4). — Soient Y un préschéma localement noethérien, / : X - > Y un morphisme localement de type fini, 3F un (9^-Module cohérent et f-plat. Soit (&)i^^ⁿ une suite de sections de &^x au-dessus de X. Alors l'ensemble U des #eX tels que la suite ((&)^x®i) soit

Qf(x}h(f(x}}}-™gul™re est ouvert dans X.

Comme ^ est/-plat, il résulte de (0, 15.1.16) que U est aussi l'ensemble des

(*) Voici une démonstration de (Om, 10.2.4), qui n'a Pas été publiée dans l' Algèbre commutative de N. Bourbaki.

Compte tenu de (0I? 6.1.2), il suffit de voir que b) entraîne a). Posons P = Im(w), Q=Coker(M), R = Ker(w).

Le composé M®&->P(*)A;->N®A; est injectif, et M ® k-> P ® k est surjectif, donc P ® £-> N ® k est injectif et est bijectif. La suite exacte o— >P— >N->Q,— >-o donne la suite exacte

et puisque P®A;->N®A; est injectif, on a Tor^Q,, A;)=o; comme Q est un B-module de type fini, (Oin, 10.2.2) montre que Q est un A-module plat; alors P est aussi un A-module plat par (Oj , 6 . i . 2). La suite o->R— >M— >P->o étant exacte, il en est de même de o-^R®£->M® &-^P®À;->o par (0^ 6.1.2); puisque M®k->P®k est bijectif, on a R® k = o; mais comme B est noethérien, R est un B-module de type fini, donc on a R = o en vertu du lemme de Nakayama.

n

tels que la suite (g^ soit ^-régulière et que le ^-module &x (où â?=

*=i soit /-plat. Mais J^ et ^ sont cohérents, donc le corollaire résulte de ( n . i . i ) et de

(0, 15.2.4).

Corollaire (11.1.5). — Soient X, Y, Z trois préschémas localement noethériens, f : X->Y, g : Y-»Z deux morphismes de type fini , 3F un 0^-Module cohérent. Alors V ensemble U des jyeY tels que, pour toute générisation y' de y, ^ soit (gof)-plat en tous les points de f~¹(j') (i.e. tels que «^"®YSpec(0Y,y) soit plat relativement au morphisme XxYSpec(0Yj2/)->Z) est ouvert dans Y.

Si V est l'ensemble des #eX où ^ est (go/)-plat, U est l'ensemble des jeY tels que pour toute générisation y' de jy, on ait f~~l(y'} CV. Or V est ouvert (n . i . i) donc localement constructible dans X, et l'ensemble W des jyeY tels que /~1(jv)cV est égal à Y — /(X — V), donc est aussi localement constructible dans Y en vertu du théorème de Chevalley (1.8.4). Mais il résulte alors de (0III5 9.2.5) que les points de U sont les points intérieurs à W, d'où la conclusion.

Corollaire (11.1.6). — Soient A un anneau noethérien, B une A-algèbre de type fini., C une ^-algèbre de type fini , M un Q-module de type fini. Alors l'ensemble des qeSpec(B) tels que Mq soit un A-module plat est ouvert dans Spec(B).

Compte tenu de ( 2 . 1 . 2 ) , c'est une conséquence de (11.1.5) appliqué à Z-Spec(A), Y=Spec(B), X = Spec(C), ^=M.

Les résultats de ce numéro seront débarrassés des hypothèses noethériennes dans (11.3).

n. 2. Platitude d'une limite projective de préschémas.

(n. 2.1) Soient A un anneau, M, N deux A-modules, A' une A-algèbre; posons M'=M®AA', N' = N®AA'. Rappelons (m, 6.3.8) que l'on définit, pour tout i, un homomorphisme canonique de A-modules

(11.2.1.1) <h : Torf(M, N) -> Torf'(M', N')

de la façon suivante : on considère une résolution gauche de M par des A-modules libres

(11.2.1.2) . . . — >' Li + 1—^ L; — > . . . — > L0 — > M — > o d'où l'on déduit par tensorisation avec A' un complexe de A'-modules

(».

²

. i.

³

) ...^L;

^{+ I}

-^L; -*...-> L; -^ M' ->o

où l'on a posé Lt' = L;®AA', fi'=fi® IA,, z'= s® IA, . Considérons d'autre part une réso-lution gauche de M' par des A'-modules libres

(IL 2.1.4) ..._L;'

^+I

-^LÎ'-> ...-*Li'-^M'->o

120 A . G R O T H E N D I E C K Ghap. IV

Comme les Lt' sont des A'-modules libres9 on sait (M, V, i . i ) qu'il y a des A'-homo-morphismes u{ formant un diagramme commutatif

L;.

L ^"

f i

M'

e" M'

Si Ton compose l'homomorphisme u9 :!/->!/' de complexes ainsi défini avec l'homomorphisme canonique L.->L^, on obtient un homomorphisme de complexes de A-modules L. -*!/'; en remarquant que l'on a (Lt.®AN)®AA'=L.®A,N', on en déduit un homomorphisme de complexes de A-modules L.®AN -> L"®A,N', d'où, en passant à l'homologie, les homomorphismes canoniques (11.2.1.1). Comme les u{ sont bien déterminés à homotopie près (M, V, i . i ) , les homomorphismes (11.2.1.1) ne dépendent pas du choix des u{ ni du choix des résolutions libres L. et L/'.

Comme les Tor^'(M', N') sont des A'-modules, on déduit canoniquement de (i i . 2 . i . i) des A'-homomorphismes

(11.2.1.5) : Torf (M, N)<H>AA' -> Torf (M', N').

Considérons maintenant deux homomorphismes d'anneaux

et leur composé aop : A->A(2); posons M(J') = M®AA()), N(î) = Alors l'homomorphisme canonique composé

, N) -> TortA(0(M{1),

pour j = i, 2.

)(M(2), N(2))

est le même que l'homomorphisme canonique déduit de aop; cela résulte de ce que, si L(.;) est une résolution libre de M(7), le diagramme

est commutatif.

(11.2.2) Les notations étant celles de (11.2.1), considérons maintenant un système inductif filtrant de A-algèbres (Aa, £3a), et pour tout indice a, posons Ma = M®AAa, Na = N®AAa; il résulte alors de (11.2.1) que pour chaque t, (Torfa(Ma, NJ, ^;pa)>

où ^3a est l'homomorphisme canonique (11.2.1.1) correspondant à £3<x, est un système

inductifde A^modules. Posons A'= lim Aa, M' = lim Ma = M®A A', N'= lim Na = N<E>A A' ; si on désigne par £a : Aa-^A' l'homomorphisme canonique, on en déduit des homo-morphismes canoniques (11.2.1.1) ^îa : Tor^«(Ma, Na) -> Tor^'(M', N') qui (toujours en vertu de ( 1 1 . 2 . 1 ) ) forment un système inductif d'homomorphismes; nous nous proposons de compléter le résultat de (M, V, 9.4*) en montrant que les

(11.2.2.1) ^ = U m ^ :limTor,A«(Ma,Na) -*Toif (M', N')

a a

sont des isomorphismes de A' '-modules. Pour cela, nous procédons comme dans (M, V, 9.5*), en associant à chaque Ma sa résolution libre canonique. Tout revient (compte tenu de l'exac-titude du foncteur lim) à prouver le

Lemme (11.2.2.2). — Soient (Aa,£pa) un système inductif filtrant d'anneaux, (Ma, APJ un système inductif d'ensembles, A' = limAa, M' = limMa, £a : Aa->A', h^ : Ma->M' les applications canoniques. Pour tout a, soit F(Ma) le A^-module des combinaisons linéaires formelles d'éléments de Ma; soit de même F(M') le A'-module des combinaisons linéaires formelles d'éléments de M'; si h'^ : F(Ma)->F(Mp) (pour a < p ) et h'u : F(Ma)->F(M') sont les A^-homomorphismes déduits de h^ et Aa respectivement, (F(Ma), h'^) est un système inductif de A^-modules et (h'a) un système inductif d'homomorphismes. Alors

h" = lim k'a : lim F(Ma) -> F(M') = F(lim Ma) est un isomorphisme.

Pour la démonstration, voir Bourbaki, Alg., chap. II, 3® éd., § 6, n° 6, cor. de la prop. 10.

(11.2.3) Reprenons les notations de (11.2.1) et considérons particulièrement le cas 1=1; posons T-TortA(M, N), T'=T(8)AA', Tf f= T o r f ( Mf, N'); alors ^ est l'homo-morphisme Ker(/0® iN)/Im(/1®iN) -> Ker(/0'/®iN,)/Im(/1"(8)iN,) qui se déduit par pas-sage aux quotients de la restriction Ker(/0®iN) -> Ker(j^'®iN,) de

Posons R=Ker(s), R'/=Ker(s/ /), de sorte que l'on a les suites exactes

o — > R -^ L0 -^> M — > o et o — > R" -^> LJ' -^ M' — > o, d'où on déduit les suites exactes d'homologie

(11.2.3.1) o = Tor^(Lo, N ) — > T-^> R®AN ^l L0®AN -^l M®AN-> o

(11.2.3.2) o = Tor1A/(L;/, N')— > T"-^ R"®A,N' ^ L^®A,N' e-^ M'®A,N'— » o On a d'autre part un homomorphisme de A'-modules

v : R'=Ker(e)®AA' — > Ker(e') -X Ker(e") = R//.

121

122 A . G R O T H E N D I E G K Ghap. IV

Montrons que le diagramme («•2.3.3)

T' ^i R'®^A,N'

L;®

^A

,N' —> M'®

^A

,N'

T" R"®A,N'

L;'®

^A

,N'

^M'®A,N'

est commutatif. Pour cela, on vérifie aussitôt (M, IV, i) que Phomomorphisme d : T->R®AN provient (dans le cas actuel) par passage au quotient de Phomomorphisme w : Ker(/0®iN)->R(S)AN, restriction de Phomomorphisme g0® IN : L-^N -> R®AN, où gQ : Lj-^R est tel que /0—J°<?o5 de même pour d". Il suffît donc de voir que le diagramme

Ker(/0®iN) R®AN R'®A,N'=(R®AN)®AA'

Ker(/0"®iN.) -* R"®A,N'

est commutatif, ce qui résulte de la commutativité du diagramme L, —> R

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Lemme (11.2.4). — Soient A un anneau, C une A-algèbre, M un A-module, N un C-module, A une A-algèbre. Posons C'=C®AA', M' = M®AA', N' = N®AA' = N®CC'.

Supposons que M®AN soit un C-module plat. Alors l'homomorphisme canonique

9l : Tor^M, N)®AA' -> Torf (M', N') (cf. (11.2.1.5)) est surjectif.

Gardons les notations de (11.2.3); l'exactitude à droite du produit tensoriel montre que la suite LJ -4 LQ -> M' -> o est exacte ; comme LQ et L{ sont des A'-modules libres, on peut supposer que Von a pris LQ = LQ', L{ = L{', u⁰ et U^L étant les applications iden-tiques et /⁰" =f'⁰. Comme R=Im(/⁰) et R" = Im(j^") = Im(ⁱ/ô^/), Phomomorphisme v est surjectif, et il en est donc de même de v® i. La démonstration sera achevée si l'on prouve que la première ligne de (11.2.3.3) est exacte, 0<8>i étant surjective et UQ®I injectif (Bourbaki, Alg. comm., chap. Ier, § i, n° 4, cor. 2 de la prop. 2). Utilisons pour cela

l'hypothèse que M®AN est un C-module plat. Posant Q=Ker(s®i) = Im(i/®i) dans la suite exacte (i i . 2.3. i), on a les deux suites exactes o -> Q,-> L0®AN -> M®AN -^ o et T -> R®AN -> Q,-> o, où les homomorphismes sont des homomorphismes de C-modules;

utilisant l'hypothèse de platitude, on en déduit (0I5 6. i .2) la suite exacte o -> Q®cc/ -* (LO®AN)®CG' -> (M®AN)®CC/ -> o

et d'autre part, le produit tensoriel étant exact à droite, on a la suite exacte T®CC' -> (R®AN)®CC' -> Q®CC' -> o

d'où finalement la suite exacte

T®CC' -> (R®AN)®0G' -> (L0®AN)®CC' -> (M®AN)®CC' -> o

Mais par définition, pour tout C-module P, P®^CC' = P®^AA', d'où la conclusion.

Mais par définition, pour tout C-module P, P®^CC' = P®^AA', d'où la conclusion.

Dans le document Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie (Page 113-131)