Constructibilité des propriétés locales des fibres

Proposition (9.9.1). — Soient f: X->*S un morphisme localement de présentation finie, Z une partie localement constructible de X telle que pour tout je S, Z8 soit fermé dans X8, O une partie finie de Zu{±oo}. Alors les parties suivantes de X sont localement constructibles :

(i) L'ensemble des #eX tels que dim^x(Z^f(x]) appartienne à O.

(ii) L'ensemble des xeX tels que codima.(Z/(x), X/(x)) appartienne à O.

(iii) L'ensemble des #eX tels que Vanneau local 0x/v,,x so^ équidimensionnel.

On notera que les propriétés (i) et (ii) s'expriment encore en disant que les fonc-tions tf-^dim^Z^)) et tf-^codim^Z^, X^) sont localement constructibles dans X (O^m, 9 3 0

-Les questions étant locales sur X, on peut se borner au cas où S=Spec(A) et X=Spec(B) sont affines et où/est un morphisme de présentation finie; il existe alors un sous-anneau A0 de A qui est une Z-algèbre de type fini, un A0-préschéma de type fini X0 et une partie constructible Z0 de X0 tels que X = X0®AeA et Z^=h"~l(Zi))9 où h : X->X⁰ est la projection canonique ((8.9. i) et (8.3. n)). En outre, pour tout jeS, si s0 est la projection de s dans S0=Spec(A0), on a Xg= (X0)8o®k(sj/c(j), et hs est la projection X⁸->(X⁰)^8o, on a Z⁸ = h~ⁱ((Z^Q)⁸⁹). Comme le morphisme h⁸ est fidèlement plat et quasi-compact, l'hypothèse que Z⁸ est fermé dans X^g entraîne que (Z⁰)^Sa est fermé dans (X0)8o (2.3.12).

Cela étant, la transitivité des fibres (I, 3.6.4) et la prop. (4.2.7) entraînent que l'ensemble des dimensions des composantes irréductibles de Z8 contenant x est le même que l'ensemble des dimensions des composantes irréductibles de (Z0)8o contenant xQ = h8(x). En particulier, on a dima.(Zs) = dima.o((Z0)8o). D'autre part, si Z83) sont les composantes irréductibles de Z8 contenant x et X(8a) les composantes irréductibles de X8

contenant x, on a codimx(Zs, Xs) =inf(sup(codim(Zf), X(sa))))? (a, (3) variant dans

P a

l'ensemble des couples tels que seZ^cX^ (0, 14.2.6). Comme les préschémas algé-briques irréductibles sont biéquidimensionnels (5.2.1), on peut écrire, en vertu de

(0, 14.3.3.1)

(9.9.1.1) codim,(Zf, X.) =inf(sup(dîm(XW)-dîm(Zp>)))

P a

avec le même choix des couples (a, (3). Comme hs est fidèlement plat et quasi-compact, pour tout couple formé d'une composante irréductible (X0)^ de (X0)8o contenant XQ

et d'une composante irréductible (Z0)^ de (Z0)go contenant x0 et contenue dans (X0)^, il existe un couple (X[a), Zf}) du type décrit plus haut et tel que Zf} domine (Z0){£}

et que X^a) domine (X0)^ (2.3.5). La formule (9.9.1.1) (et la formule analogue appliquée à (X0)So) montrent alors, en vertu de (4.2.7), que l'on a

Z., X.) =codim^((Z0)8o, (X0)J.

On voit ainsi que si E (resp. E0) est l'ensemble des #eX (resp. des #0£X0) véri-fiant l'une des conditions (i), (ii), (iii) de l'énoncé (resp. la même condition), on a E = A~1(E0), et en vertu de (1.8.2), on voit qu'on peut se borner au cas où A est noethérien, donc aussi B. Compte tenu de (Om, 9.2.3), ainsi que de (9.9.1.1), on est ramené à voir que pour tout #eX, il y a un voisinage V de # dans {x} tel que, pour tout #'eV, l'ensemble des dimensions des composantes irréductibles de X^ (resp. Z/(x,j) contenant x' est le même, et en outre qu'il en est de même de l'ensemble des couples (dim(Zj^lj), dim(X^/))) pour les couples formés d'une composante irréductible Xj^lj de X/(x,) et d'une composante irréductible Zj^j de Z^j contenue dans Xj^ et contenant x'. On peut évidemment pour cela remplacer S par le sous-préschéma réduit S' de S ayant {/(x)} pour espace sous-jacent, et X par X' =/~1(S/), les fibres de X et X' aux points de S' étant les mêmes. Autrement dit, on peut se borner au cas où S est intègre et où y]=f(x) est son point générique.

Par hypothèse Z^ est fermé dans X^; comme Z est constructible, il résulte de (8.3.11), appliqué suivant la méthode de (8.1.2, a)), que l'on peut, en remplaçant au besoin S par un voisinage ouvert de T], supposer que Z est fermé dans X. Soient X (resp. Z?-) les composantes irréductibles de X (resp. Z) contenant x; en vertu de (0I? 2. 1.8), les X.nX.j (resp. Z;-nXJ sont les composantes irréductibles de X^ (resp. ZJ contenant x; en vertu de (9.5.1), on peut supposer en outre, en restreignant au besoin S à un voisinage de 73, que les Xt- (resp. Z;-) sont exactement les composantes irréductibles de X (resp. Z) rencontrant {x} et que les (X^n^} et (Zy)sn{#} sont non vides pour tout seS. Cela étant, il résulte encore de (9.7.1) que l'on peut supposer, en restreignant S, que les couples ( i , j ) tels que (Zy)sC(X^)s sont les mêmes pour tout .yeS.

La conclusion résulte alors de (9.5.6) : pour tout s assez voisin de 73, toutes les compo-santes irréductibles de (XJS (resp. (Zy.)J ont une même dimension égale à celle de (XJ^

(resp. (Z;.)J. En outre, si ( i , j ) est un couple tel que Z^cjiX^, (X^ ne contient pas le

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90 A. G R O T H E N D I E G K Chap. IV

point générique de (Z^, donc dim((XinZ.)7))<dim((Z/)yj) ; par suite, la dimension commune des composantes irréductibles de (Xi)so(Z?)s est, pour tout .yeS, strictement inférieure à la dimension commune des composantes irréductibles de (Z?-)s, ce qui prouve qu'aucune des composantes irréductibles de (Z;-)s n'est contenue dans une compo-sante irréductible de (X-)s pour seS. C.Q.F.D.

Proposition (9.9.2). — Soient /:X->S un morphisme localement de présentation finie, 3F un &^x-Module quasi-cohérent de présentation finie, O une partie finie de Zu{±oo}. Les parties suivantes de X sont localement constructibles :

(i) L'ensemble des points #eX tels que 3F^ soit équidimensionnel au point x (5.1.12).

(ii) L'ensemble des #eX tels que les longueurs géométriques de 3F^ relatives à &(/(#)), aux points génériques des composantes irréductibles de Supp(J^a.)) contenant x (4.7.5), appar-tiennent à O.

(iii) L'ensemble des #eX tels que les dimensions des cycles premiers associés à 3F^ et contenant x appartiennent à O.

(iv) L'ensemble des ^eX tels que 3F^ soit géométriquement réduit au point x (4.6.17).

(v) L'ensemble des #eX tels que 3F^ soit géométriquement intègre au point x (4.6.22).

(vi) L'ensemble des #eX tels que dim.proj((^(x))JeO.

(vii) L'ensemble des #eX tels que coprof((Jr/(a.))x)EO.

(viii) L'ensemble des #eX tels que ^^ possède la propriété (Sfc) au point x (5.7.2).

(ix) L'ensemble des #eX tels que 3F^ soit un 0^,.^-Module de Cohen-Macaulay au point x (5.7.1).

(i) Le support Z de 3F est localement constructible et fermé dans X (8.9.1), et en considérant un sous-préschéma de X ayant Z pour espace sous-jacent et qui soit de présentation finie sur S (8.9.1), on voit que l'assertion (i) est un cas particulier de (9.9.1, (iii)).

(ii) Toutes les propriétés envisagées sont locales sur X, et on se bornera donc au cas où X = Spec(B) et S —Spec(A) sont affines et f un morphisme de présentation finie. On garde les notations du début de la démonstration de (9.9.1), et on suppose en outre AQ choisi de sorte qu'il existe un 0Xo-Module cohérent ^*0 tel que 3F soit isomorphe à ^Q®AoA. Alors ((4.2.7) et (4.7.9)) l'ensemble des longueurs géométriques de (^0)/(«b) aux points génériques des composantes irréductibles de Supp((e^r0)/(a.o)) qui contiennent x⁰ est le même que l'ensemble analogue pour x et ^^\ autrement dit, si E (resp. E0) est l'ensemble des #eX (resp. des #0eX0) vérifiant la condition (ii) de l'énoncé, on a E —A~1(E0), et en vertu de (1.8.2), on voit qu'on peut se borner à considérer le cas où A est noethérien. Comme dans la démonstration de (9.9.1), on voit qu'on est ramené à montrer que, pour tout #eX, il existe un voisinage V de x dans {x} tel que, pour tout #'eV, l'ensemble des longueurs géométriques de 3F^

aux points génériques des composantes irréductibles de son support contenant x' soit le même. En outre, si S' est le sous-préschéma réduit de S ayant {/(#)} pour espace sous-jacent, et si X' =/~"1(S/), les fibres de X et de X' aux points de S' sont les mêmes,

donc on peut remplacer S par S' et X par X', autrement dit supposer que S est intègre et que Y] =f(x) est son point générique.

Or, si l'on pose Z —Supp(J^r), le même raisonnement que dans la démonstration de (9.9.1) montre que, si Z^ sont les composantes irréductibles de Z contenant x, on peut supposer que ce sont exactement les composantes irréductibles de Z rencontrant {#}

et que (Zⁱ)⁸n{x}^0 pour tout seS. La conclusion résulte alors de (9.8.3) et (9.8.6).

(iii) On se ramène comme dans (ii) au cas où S est noethérien et intègre et f^=f(x) son point générique, en utilisant (4.2.7). Comme dans la démonstration de (9.9.1), on est ramené à montrer qu'il existe un voisinage V de x dans {x} tel que, pour tout #'eV, l'ensemble des dimensions des cycles premiers associés à ^^^ qui contiennent x' soit le même. Or, si Z^t' sont les adhérences dans X des cycles premiers associés à «^ qui contiennent x (cf. (9.8.2)), il résulte de (9.8.3) et (9.5.1) que pour tout s assez voisin de YJ, les cycles premiers associés à 3F'^s qui rencontrent {x} sont des composantes irréductibles des (Z^t')^s et, en vertu de (9.5.6), toutes ces composantes irréductibles ont même dimension égale à dim((Z^t')^r]), d'où la conclusion.

(iv) On raisonne comme dans (iii), en utilisant cette fois (4.7.11). Avec les mêmes notations que dans (iii), les cycles premiers associés à &'^s qui sont des composantes irréductibles de (Zt')g sont immergés si et seulement si (Z,-)^ est un cycle premier associé immergé de 3?\. On conclut déjà que si x appartient à un (resp. n'appartient à aucun) cycle premier associé immergé de e^,, l'ensemble des #'e{#} tels que x' appartienne à un (resp. n'appartienne à aucun) cycle premier associé immergé de «^/(x') est un voisinage de x dans {x}. La conclusion résulte de cette remarque, de la caractérisation des points où un Module est géométriquement réduit (4.7.10), et de (ii).

(v) Compte tenu de (4.7.11), on se ramène encore au cas où S est noethérien et intègre et où •/) ==/*(#) est son point générique. Soit Y un sous-préschéma fermé de X ayant Supp(J^) pour espace sous-jacent. Raisonnant comme au début de la démons-tration de ( 9 . 7 . 7 ) 5 on voit qu'il existe une A-algèbre intègre finie A' (de sorte que si S'=Spec(A'), le morphisme S'->S est fini et surjectif) telle que si Y' = Y^(g,) et si Y]' est le point générique de S', les composantes irréductibles de Y^, soient géométri-quement irréductibles. D'autre part, si X'=X^(S,⁾⁵ le morphisme projection h : X'->X est fini et surjectif, donc fermé; par suite, si x' est un point de X' au-dessus de #, on a h({x'}) ={#} et l'image par h d'un voisinage de x' dans {x'} est un voisinage de x dans {x}. Compte tenu de (4.7.11) et posant JÊ"' = ^S,J, on est donc ramené à prouver que si ^, est (resp. n'est pas) géométriquement intègre au point x', l'ensemble des ye{#'} tels que ^/V) (où f'=f⁽^,^] : X'->S') soit (resp. ne soit pas) géométri-quement intègre au point y' est un voisinage de x' dans {x'}. On peut donc se borner au cas où X'=X et où les composantes irréductibles de Y^ sont géométriquement irréduc-tibles ; si l'on désigne par Zt des parties fermées de X telles que les Z^nX^ soient les

92 A. G R O T H E N D I E G K Ghap. IV

composantes irréductibles de Y^, il résulte de (9.7.7)5 (9.7.8) et (9.5.3) que pour tout s voisin de 73, les (Z^t-)^g sont les composantes irréductibles de Y^g et qu'elles sont géométriquement irréductibles. Dire qu'en un point jyeX^s, ^⁸ est géométriquement intègre signifie alors que ^⁸ est géométriquement réduit en ce point et en outre que y n'appar-tient qu'à un seul des (Z^{)⁸ (4.6.22). La conclusion résulte donc d'une part de (iv) et d'autre part de (9.5.1) appliqué à l'intersection de {x} et de chaque Z^t.

(vi) Gardant les mêmes notations que dans (ii), il résulte de (6.2.1) que l'on a dim.proj((^^s)J = dim.proj(((J^r0)^So)^a.^o); on peut donc encore se borner au cas où A est noethérien. En outre, on se ramène encore à montrer que, pour tout

#eX, il existe un voisinage V de # dans {x} tel que, pour tout #'eV, on ait dim. proj ((J^,))^) =dim.proj((J^r/(x))J; et comme ci-dessus, on peut supposer que S est intègre et que r\=f(x) est son point générique, de sorte que l'on a (&^r-ⁿ)^x=&^rX' En vertu du théorème de platitude générique (6.9.1), on peut, en remplaçant au besoin S par un voisinage ouvert de 73, supposer que le morphisme f est plat et que 3F est f-plat\ on a alors dim. proj ((^(x,))x,) = dim. proj (^.,) pour tout #'eX en vertu de (6.2.3). Cela étant, en vertu de (6.11.1), on peut (en remplaçant au besoin X par un voisinage ouvert de x) supposer que dim. proj (^,.,)^ dim. proj («^"J pour tout

#'eX. D'autre part, si dim. proj(^^x) = w, il y a par hypothèse un ^-module de type fini M tel que Extg (J^, M) + o (0, 17.2.4). Or, il existe un 0^x-Module cohérent ^ tel que M= &^x (en remplaçant au besoin X par un voisinage ouvert de x (0^I5 5.3.8));

en vertu de (T, 4.2.2), on a donc (éfxt^^, &)}^x*o. Mais gxf^P, &} est un 0^x-Module cohérent (O^m, 12.3.3), donc son support Y est fermé (0^I5 5 . 2 . 2 ) ; comme il contient x, il contient aussi {#}, d'où l'on conclut (en appliquant encore (T, 4.2.2)) que l'on a dim.proj(3F^x^n pour tout #'e{;c}, ce qui achève de prouver l'assertion dans le cas (vi).

(vii) Comme B est une A-algèbre de type fini, X est S-isomorphe à un sous-schéma fermé d'un S-sous-schéma de la forme Y=Spec(A[T^l5 ..., T^r]); si j : X-^Y est l'injection canonique, et ^—j^^), on a &⁸= (J⁸)^(^^r8) Pour tout jeS, et, en vertu de (0, 16.4.11), on peut se borner à démontrer l'assertion pour Y et <&. Autrement dit, on peut supposer que B = A[T¹⁵ ...,T^r], de sorte que chacun des schémas X.= Spec(fc(j)[T¹, . . . , T^r]) est régulier (0, 17.3.7). Soit alors W=Supp(«^"), de sorte que W^a=Supp(«^"^s) (I, 9.1.13); on a, par (6.11.2.1)

(9.9.2.1) coprof( (^^f(x])^x) = dim. proj ( (JF^/(x))J — codim^W^/w, X^/(x)).

Mais comme W est constructible (8.9.1) et chaque W⁸ fermé, il résulte de (vi) et de (9.9.1, (ii)) que les deux fonctions du second membre de (9.9.2.1) sont construc-tibles ; il en est donc de même de leur différence ce qui achève de prouver la proposition dans le cas (vii).

(viii) Soit Uⁿ l'ensemble des #eX tels que coprof((^^/(a;))^x)<w, et posons Zⁿ=X—Uⁿ; il résulte de (vii) que les Zⁿ sont constructibles', en outre, comme la fonc-92

tion x~>dimx(Wf(x}) est constructible en vertu de (9.9.1, (i)), elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs, donc les nombres dim(W^/(a.j) ont une borne supérieure finie m lorsque x parcourt X; comme coprof((^(a.))a.)<dim((^a.))a.)<dim(W^)5 on voit que l'on a Zn=0 pour n^m. Enfin, il résulte de (6. 11.2, (i)) que pour tout n et tout .reS, (Zn)s est fermé dans Xs. D'après (5.7.4), l'ensemble des #eX où (^f(X))x possède la propriété (SJ est l'ensemble des #eX vérifiant toutes les relations

(9-9-S.2) codim,((Zw)/w, Wf(x})>n+k

pour tout tt^o; comme cette relation est automatiquement vérifiée pour n^m, on n'a à considérer les relations (9.9.2.2) que pour o^n<m. Mais en vertu de (9.9.1, (ii)), l'ensemble Vn f c des x vérifiant (9.9.2.2) est constructible, et il en est de même de l'intersection de ces ensembles pour o^n<m.

(ix) L'assertion résulte ici aussitôt de (vii), l'ensemble des #eX où (^^x est un module de Cohen-Macaulay étant défini par la relation coprof((^(x))J =o.

Corollaire (9.9.3). — Soient /:X->S un morphisme de présentation finie, 3F un Gy^Module de présentation finie, P F une des propriétés (i) à (ix) de (9.9.2). Alors V ensemble des seS tels que la propriété P soit vraie en tous les points #eXs, est localement constructible dans S.

En effet, son complémentaire est l'image par /du complémentaire de l'ensemble E des points où P est vraie. Comme E est localement constructible dans X, il en est de même de X — E, donc /(X — E) est localement constructible dans S en vertu du théorème de Chevalley (1.8.4).

Proposition (9.9.4). — Soit /:X->S un morphisme localement de présentation finie.

U ensemble des #eX tels que X/(a;) ait au point x l'une (déterminée) des propriétés suivantes :

(i) être géométriquement régulier ;

(ii) posséder la propriété (Rfc) géométrique ; (iii) être géométriquement normal ;

(iv) être géométriquement réduit (i.e. séparable);

(v) être géométriquement ponctuellement intègre ; est une partie localement constructible de X.

Pour les propriétés (iv) et (v) , cela résulte de (9.9.2, (iv) et (v) ) appliqué à ^ = 0^X . Pour les autres propriétés, compte tenu de (6.7.8), on se ramène, comme au début de (9.9.2) au cas où S est noethérien et intègre et de point générique ?)=/(#). En outre, en vertu du théorème de platitude générique (6.9.1), on peut, en remplaçant S par un voisinage ouvert de 73, supposer que f est un morphisme plat. Dire que X/(y) est géométriquement régulier au point y signifie alors que /est régulier au point y (6. 8.1), et on sait que l'ensemble L de ces points est ouvert dans X (6.8.7), ^ce qui prouve la proposition dans le cas (i).

Pour prouver le cas (ii), posons F = X — L, qui est fermé dans X. Dire que Xs

94 A. G R O T H E N D I E G K Ghap. IV vérifie la propriété géométrique (Rfe) au point y£/~1(s) signifie, ou bien que l'on a )>eL, ou bien que les points génériques ^ des composantes irréductibles de l'ensemble fermé Fs

qui contiennent y vérifient la relation dim(0Xj tZi)^k+ i (compte tenu de (4.2.7) et (5.2.3)); autrement dit, les points jyeFs où Xs vérifie la propriété (Rfe) géométrique sont ceux tels que codimJ/(Fs5 Xs)>&+ i (5.1.2). La conclusion résulte donc de (i) et de (9.9.1, (ii)).

Enfin, dans le cas (iii), la conclusion résulte de (ii), de (9.9.2, (viii)), du fait que la propriété (Sfc) est stable par extension du corps de base (6.7.1) et enfin du critère de Serre (5.8.6).

Corollaire (9.9.5). — Soit / : X - > S un morphisme de présentation finie, et notons P l'une des propriétés (i) à (v) de (9.9.4). Alors l'ensemble des JE S tels que la propriété P soit vraie en tous les points #eXg, est localement constructible dans S.

La démonstration à partir de (9.9.4) est la même que celle de (9.9.3) à partir de (9-9-2).

Proposition (9.9.6). — Soient f : X->S un morphisme localement de présentation finie, &. un complexe formé de 0^- Modules quasi-cohérents de présentation finie ; pour tout seS, soit (&.}s le complexe &.®eh(s) de &x -Modules cohérents de type fini. Alors, pour un entier n donné, l'ensemble des #eX tels que (^n((^^f(x))}x — ° est localement constructible dans X.

On peut se borner au cas où 5f{ = o sauf pour i = o, i ou 2, et où n=i. En outre, la question étant locale sur X, on peut se borner au cas où S = Spec(A) et X = Spec(B) sont affines, B étant une A-algèbre de présentation finie. Il existe alors un sous-anneau noethérien A0 de A, un A0-préschéma de type fini X0 et un complexe JS?!0) de 0Xo- Modules cohérents, nuls sauf en dimensions o, i et 2 et tels que X = X0®AoA et JS?. =J§?i0)®AoA.

Pour tout jeS, si s0 est la projection de s dans S0=Spec(A0), on a Xs = (X0)So®k(So)fe(.y), et le morphisme projection Xs-^(X0)So est fidèlement plat; on en conclut que l'on a

^n((^*}s} = ^n((<&(?)}s0}®K(So)k(s}> et par suite, si E (resp. E0) est l'ensemble des *eX (resp. *0eX0) tels que \^n((^.)M))x = o (resp. (^rn((^l°î)/-(J)ab = o), on a E = A~1(E0), où h : X->X0 est la projection canonique. En vertu de (i .8.2), on peut donc se borner au cas où A est noethérien', il s'agit de voir (Om, 9.2.3) que si :veX est tel que (<%yn((<^*}f(xyi}x==o (resp. =t=o), il existe un voisinage ouvert V de x dans {#}

tel que, pour tout #'eV, on ait («^n((-S?.)/(*')))*f = o (resP- + 0)- Remplaçant S par le sous-préschéma réduit de S ayant {/(#)} pour espace sous-jacent, on peut supposer que S est intègre et que f(x) — 73 est son point générique. Alors, en restreignant S à un voisinage ouvert de 73, on peut supposer que pour tout ^eS, on a («^w(«S?.))» = «^n((^«)s)

(9-4-3)5 et Par suite, si Z est le support de ^n(jS?.), le support de ^n((J2?.)«) est

Z8 = Z n Xs (1,9.1.13.1). L'hypothèse est que Z7Jn{^}=0 (resp. 4=0). Comme Zn{;t} est fermé dans l'espace noethérien X, on conclut de (9.5.1) qu'il y a un voisi-nage U de Y) dans S tel que, pour tout jeU, on ait Z8n{#}=0 (resp. =1=0). L'ensemble V=/""1(U)n{^} répond donc à la question.

§ 10. PRÉSCHÉMAS DE JACOBSON

On a déjà eu l'occasion d'observer (5.2.5) que même les préschémas excellents (7.8.5) ne se comportent pas toujours comme les « variétés » de la Géométrie algébrique classique, notamment en ce qui concerne les questions de dimension; c'est ainsi que si X est le spectre d'un anneau de valuation discrète complet, l'ensemble des points fermés de X (réduit à un seul élément) n'est pas partout dense dans X, et que son complé-mentaire (réduit à un seul élément) est un ouvert partout dense dans X mais dont la dimension est nulle, donc <dim(X). On examine dans ce paragraphe des conditions générales moyennant lesquelles de tels phénomènes ne se présentent pas; il en résulte un comportement plus satisfaisant à certains égards pour les relations entre dimension, codimension, profondeur et coprofondeur dans ces préschémas (10.6 et 10.8). En outre, dans les préschémas considérés, le fait que l'ensemble des points fermés soit partout dense (et même « très dense » (10.1.3)) permet de ne considérer que ces points dans beaucoup de démonstrations; on rejoint ainsi le point de vue classique des « variétés algébriques » qui, de notre point de vue, sont les ensembles de points fermés des préschémas algébriques sur un corps, et on fait le lien entre le langage des schémas et celui

des « variétés » ou « espaces algébriques » de Serre (10.9 et 10.10).