(8. 8 . 1 ) Conservant toujours les notations et hypothèses de (8.2.2), nous suppo-serons donnés dans cette section deux Sa-préschémas Xa, Ya, ce qui définit (8.2.5) deux systèmes projectifs de préschémas (Xx, z>XfJ et (Yx, wXjJ en posant Xx = XaXs Sx, Yx=Yaxs Sx, yX [ X— ix X#X[jl5 HV~ JY X^xtJt (pour a^X<{jt), dont les limites projectives sont respectivement X — Xaxs S, Y=Yaxs S, les morphismes canoniques z>x : X->XX et wx : Y->YX étant respectivement égaux à ix Xwx et IY X wx. Pour a<X^(ji, on a une application canonique ^x : Homg (Xx, Yx) -> Homs (X^, YJ, qui à tout Sx-morphisme /x : XX->YX fait correspondre flL=fxXis : Xxxs S^ -> Yxxs S^, et il est clair que (Homs (Xx, Yx), £X{J est un système inductif d'ensembles. De même, on a une appli-cation canonique ex : Homs (Xx, Yx) -> Homg(X, Y) qui à /x fait correspondre f=fxX is : Xxxs. S -> Yxxs. S et (0X) est un système inductif d'applications; d'où, en
A A
passant à la limite inductive, une application canonique, fonctorielle en Sa, Xa et Ya : ( 8 . 8 . 1 . 1 ) e :limHomSx(Xx, Yx) -> Homs(X, Y).
Théorème (8.8.2). — (i) Supposons Xa compact (resp. compact et quasi-séparé], et Ya localement de type fini (resp. localement de présentation finie) sur Sa. Alors l'application (8.8.1.1) est injective (resp. bijective}.
(ii) Supposons S0 quasi-compact et quasi-séparé. Pour tout préschéma X de présentation finie sur S, il existe un XeL, un préschéma Xx de présentation finie sur Sx, et un S-isomorphisme
(i) Considérons d'abord le cas où S0=Spec(A0), Xa = Spec(Ba) et Ya = Spec(Ca) sont affines ; alors les Sx — Spec(Ax) et S = Spec(A) sont aussi affines, avec A = limAx, et les assertions de (i) sont équivalentes au
Lemme (8.8.2.1). — Soient A0 un anneau, (AX)X 6 L un système inductif de AQ-algèbres, A — lim Ax ; soient Ba une A^-algèbre, Ca une A^-algèbre de type fini (resp. de présentation finie}. Alors rhomomorphisme canonique
(8.8.2.2)
lim HomAx.alg.(Ca(x)AaAX) Ba<8>AaAx) -> HomA.alg.(Ca®AaA5 Ba®AaA) x
est injectif (resp. bijectif).
On sait que l'on a des isomorphismes canoniques fonctoriels HomAraI(r.(Ca®AaAx, Ba®AaAx) 3- HomViIg.(Ca, Ba®AaAx) HomA.alg.(Ca®AcA, Ba®AaA) -^ HomVaIg.(Ca, Ba®AaA)
en vertu de la propriété universelle du produit tensoriel de deux algèbres. Il suffit donc de prouver le
Lemme (8.8.2.3). — Soient E un anneau, G une ^-algèbre de type fini (resp. de présen-tation finie) , (Fx) un système inductif de E-algèbres. Alors rhomomorphisme canonique
lim HomB_algXG, Fx) -> HomE.alg (G5 lim Fx)
qui, à tout système inductif d' homomorphismes 6X : G->FX de E-algèbres, fait correspondre sa limite inductive, est injectif (resp. bijectif).
Supposons d'abord la E-algèbre G de type fini, et soit fô)i«^n un système de générateurs de cette E-algèbre; montrons que si (0X), (0X') sont deux systèmes inductifs d'homomorphismes G->FX tels que lim 0X = lim 0X', il existe un (ji^A tel que 6^ = 6^.
En effet, si 9^ : Fx-^Fpt et 9X : Fx->F = limFx sont les homomorphismes canoniques du système inductif (Fx), par hypothèse, pour chaque indice i, il existe un indice \ tel que 9x.(^x-(^)) — 9x.(^x'(^i))j et l'on Peut supposer tous les Xt- égaux à un même X;
il en résulte de la même manière l'existence d'un pi^X tel que 9(1x(^x(0)==9nx(
pour i ^ z ^ w , c'est-à-dire ^VL(ti) = Q^(ti) pour i ^ f ^ w , d'où 0^ = 6^.
Supposons en second lieu G de présentation finie, de sorte que l'on a
où 3 est un idéal de type fini, ^ étant la classe de Te mod. 3- Soit (P,-)i^,-<m un système de générateurs de 3* Supposons donné un homomorphisme de E-algèbres 0 : G->F;
posons ^ = 0(^); par définition, on a donc Pf(bl9 b2) . . ., éfl) = 6(Py(^1, . . ., O)"0 Pour
i^j^m. Or, il existe un X et des éléments %, . . . , #n dans Fx tels que i» = 9x(*i) pour i < z < w ; on a donc 9X(P;-(#1, . . ., ^n))==Py(ôl 3 . . ., èn) = o, et par suite il existe [z^X tel que 9fAx(p/(^i3 • • -)^n)):=I >y(9txxW3 - - • > 9nxk)) = o pour i^j^m; on en conclut qu'il existe un homomorphisme de E-algèbres 0^ : G-^F^ tel que 0{X(^) = 9{Xx(^)
A . G R O T H E N D I E G K Ghap. IV
pour i < z ^ w ; on en déduit pour tout V^[JL un homomorphisme de E-algèbres 0v=<pvpto6pt
de G dans Fv, et il est clair que 6 est la limite inductive de ce système inductif d'homo-morphismes, ce qui achève de démontrer le lemme.
Passons maintenant au cas où Xa est quasi-compact et Ya localement de type fini sur Sa. Posons Za = Xaxs Ya et introduisons le système projectif correspondant des Zx = Zax8aSx = XxxBxYx et sa limite Z = ZaxS aS = XxsY; les bijections cano-niques (1,3.3.14) donnent des diagrammes commuta tifs
H o msf Xx, Yx) Homs(X, Y)
HomXx(Xx, Zx) Homx(X, Z)
et par suite on est ramené à prouver que (8.8. i . i) est injective dans le cas particulier où Sa = Xa (compte tenu de (1.3.4)). De plus, comme Xa est quasi-compact, donc réunion finie d'ouverts affines, on peut supposer Xa affine (L étant filtrant). Supposons donc donnés deux Xa-morphismes /a' : Xa-^Ya, Ja" : Xa->Ya tels que /' et /"
soient des X-morphismes égaux de X dans Y; il s'agit de prouver que f ^ — f ^ ' pour (ji^a assez grand. Comme Xa est quasi-compact, il en est de même de /a'(x«)u/«"(xa)> et comme Ya est localement de type fini sur Xa, /«(Xa)u/a"(Xa)
est contenu dans une réunion finie d'ouverts affines Via de Ya, de type fini sur Xa. Posons U^/J-'CVJ, U^/J'-'CVJ, U^U^nU;;, U8 = UUf a. L'hypothèse /'=/" entraîne ^1(U/a) = ^1(U^), ces deux ensembles étant respectivement égaux
à // «' 1(VJ) et à f""l(w-\V^}}. Comme les Vioc recouvrent Ya, on a
»~1(Ua)=/'""1(Y) = X. Comme Xa est quasi-compact et que toute partie ouverte de Xx est ind-constructible, il résulte de (8.3.4) qu'il y a un indice X ^ a tel que les
\J.^ = v~^(Uiai) forment un recouvrement de X^. Remplaçant a par [/., on peut donc supposer que les Uia recouvrent Xa; cela entraîne que pour tout #eXa, il y a un voisinage ouvert affine W(*) contenu dans un des Ut-a, autrement dit tel que les restrictions de /a' et /a" à W(#) appliquent W(^) dans un même ouvert affine Vioe. Comme Xa est quasi-compact, il est recouvert par un nombre fini d'ouverts affines W(#fc) ; en vertu du lemme (8.8.2.1) et du fait que L est filtrant, il existe un X^oc tel que les restrictions de /x et /x" à chacun des ouverts ^(W^.)) soient égales, d'où /x=/x".
Supposons maintenant Xa quasi-compact et quasi-séparé et Ya localement de présentation finie sur Sa, et prouvons que (8.8.1.1) est surjective. Supposons donc donné un X-morphisme /: X->Y. Comme X est quasi-compact, il en est de même
de/(X), et par suite il y a un ouvert quasi-compact Y' dans Y qui contient /(X) ; il existe par suite un X^oc et un ouvert quasi-compact Yx dans Yx tels que Y'=^1(Y^) (8.2. n). Remplaçant au besoin a par X et Yx par Yx, on peut donc se borner au cas où Ya est quasi-compact, donc aussi Y et les Yx. Comme Y est quasi-compact, il est réunion finie d'ouverts affines V<5 et par suite X est réunion des ouverts /~1(VJ. Comme tout point de X a un voisinage ouvert quasi-compact contenu dans un des /~1(VJ et que X est quasi-compact, on peut, en tenant compte de (8.2.11) et remplaçant au besoin a par un indice X^a, supposer que Y est réunion finie d'ouverts Vi = w~l(Vi(X), où les Via sont des ouverts affines de Ya; par suite X est réunion des ouverts /~1(Vi).
Comme tout point de X a un voisinage ouvert quasi-compact contenu dans l'un des /~1(VJ et que X est quasi-compact, on peut recouvrir X par un nombre fini de tels voisinages, et (en répétant au besoin certains des V^) supposer que l'on a un recouvre-ment (UJ de X par des ouverts quasi-compacts ayant même ensemble d'indices que (V$) et tel que /(Ut-)CVt- pour tout i. En outre, à l'aide de (8.2.11) (et en remplaçant au besoin a par un indice X^a), on peut supposer que l'on a U,- = »~1(Ut.a) où les Uia
sont des ouverts quasi-compacts dans Xa; de plus, utilisant (8.3.4) comme ci-dessus, on peut supposer que (Ufa) est un recouvrement de Xa.
Cela étant, il suffira de montrer qu'il existe un X^a et pour chaque i un mor-phisme /<* : UA->VA (avec Ua = »5L1(Ufa) et Va = w^(Vioi)) tels que le mor-phisme correspondant ^. = £x(j^x) : Ut— >Vf soit égal à la restriction defaU^ En effet, s'il en est ainsi, comme Xx est quasi-séparé (1.2.3), IGS UanU7-x sont quasi-compacts et le résultat d'unicité démontré plus haut (qui s'applique puisque Yx est localement de type fini sur Sx) prouve qu'il existe (ji^X tel que fi[L et f^ coïncident dans U^nU^ pour tout couple (iyj)y et par suite définissent un S^-morphisme f^ : X^-^Y^ tel que e[L(flL)==f.
On est ainsi ramené au cas où Ya est affine, et comme en outre on peut supposer que les Vt-a ont des images dans Sa contenues dans des ouverts affines, on peut aussi supposer que Sa est affine, soient donc Sa = Spec(Aa), Ya = Spec(Ca), Ca étant une Aa-algèbre de présentation finie, S = Spec(A), Y = Spec(C), avec A = limAx,
A = C ® A . On a alors ~~*
Homs(X, Y) = HomA.alg.(C, T(X, 0X)) = HomValg.(Ca, T(X, ffx)) (I, 2.2.4) et de même
HomS(Xx, Yx) = HomA.aIg.(Ca®AAX) T(XX, )) = HomVa!g.(Ca, T(XX,
Mais comme Xa est quasi-compact et quasi-séparé, on sait (8.5.4) °ïue ï'on a
lim F(XX, ^xJ = r(X, ^x); puisque Ca est une Aa-algèbre de présentation finie, le
^ A
fait que (8. 8.1.1) est bijectif résulte alors de (8.8.2.3).
Avant de passer à la démonstration de (ii), notons les corollaires suivants de (i) : Corollaire (8.8.2.4). — Supposons S0 quasi-compact, Xa de présentation finie sur SŒ, Ya
de type fini sur Sa et quasi-séparé sur Sa (ce qui sera par exemple le cas si Ya est également
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de présentation finie sur Sa). Soit /a : Xa->Ya un S^-morphisme. Pour que f: X-^Y soit un isomorphisme, il faut et il suffit qu'il existe X ^ a tel que /x : XX->YX soit un isomorphisme.
La condition est évidemment suffisante. Pour prouver qu'elle est nécessaire, notons d'abord que la question étant locale sur S0 (puisque L est filtrant), on peut toujours supposer S0 affine, donc quasi-séparé. Il y a par hypothèse un S-morphisme g : Y->X tel que gof= ix et f®g= IY- Comme Xa est de présentation finie sur Sa, et Ya quasi-compact et quasi-séparé (puisque Sa est quasi-compact et quasi-séparé), il existe un (jt^a et un S^-morphisme g^ : Y^-^X^ tels que g — g^Xis en vertu de (8.8.2, (i)).
D'autre part, il résulte aussi de (8.8.2, (i)) et des relations gof= ix et f°g= IY qu'il existe V^JJL tel que l'on ait gv°f^=ixv et 7v°^v— IYV5 puisque Xa et Ya sont de type fini sur Sa et quasi-compacts. Cela signifie que /, : XV->YV est un isomorphisme, d'où le corollaire.
Corollaire (8.8.2.5). — Supposons S0 quasi-compact et quasi-séparé, Xa et Ya de présen-tation finie sur Sa. Pour que X et Y soient ^-isomorphes, il faut et il suffit qu'il existe X^a tels que Xx et Yx soient ^-isomorphes. De plus, pour tout ^-isomorphisme f : X->Y, il existe \L^\
et un S^-isomorphisme f^ : X^-^Y^ tels que f=f[lXi$.
La condition est évidemment suffisante; inversement, s'il existe un S-isomorphisme /: X->Y, il résulte de (8.8.2, (i)) que /est de la forme / ^ X is pour un (jt^oc et un homomorphisme f ^ : X{JL~>Y{X ; mais comme/ est un isomorphisme, il résulte de (8.8.2.4) qu'il existe v^pi tel que fv : XV->YV soit un isomorphisme.
(ii) Considérons encore en premier lieu le cas où S0 = Spec(A0) et X = Spec(B) sont affines; alors l'assertion de (ii) équivaut au lemme (1.8.4.2).
Pour démontrer (ii) dans le cas général, notons que S est compact et quasi-séparé; comme X est de présentation finie sur S et S affine sur S0, il existe donc un recouvrement fini (UJ de S0 et, si (W,-) est le recouvrement ouvert affine de S formé des images réciproques des U^ par le morphisme S->S0, un recouvrement fini (Xr) de X par des ouverts affines tel que l'image par X->S de chaque Xr soit contenue dans un W^; l'anneau A(Xr) est alors une algèbre de présentation finie sur l'anneau A(Wt-(r)) (1.4.6). En vertu du lemme (1.8.4.2) et du fait que L est filtrant, il existe un indice XeL et, pour chaque indice r, un schéma affine ZrX, de présentation finie sur l'image réciproque Wiw > x de Ui(r) dans Sx, et un S-isomorphisme gr : Zr Xxs S^>Xr. Soit Zrs l'image réciproque par gr du sous-préschéma induit sur l'ouvert XrnXs de Xr, qui est quasi-compact puisque X est quasi-séparé, et désignons par g'r8 la restriction Zr s^XrnXs de l'isomorphisme ^r. En vertu de (8.8.2.5), il existe un V-^^ et, pour tout couple (r, s), un ouvert quasi-compact Zrs{JL de Zm — ^(Z^) tels que Zrs soit l'image réci-proque de Zrs|X ; d'ailleurs, comme S^ est quasi-séparé, et Wi(r) ^ ouvert quasi-compact dans S^, chacun des Zrg{x est de présentation finie sur S^ (1.6.2). Considérons alors, pour tout couple (r, s), l'isomorphisme h8r=gr8^logfrs de Zrs sur Zg r; il résulte de (8.8.2.4) qu'il existe un v^fji et, pour tout couple (r, s), un isomorphisme Asrv : Zm->Z8rv tels que hsr = hsrvxis. Enfin, pour tout triplet (r, s, t) désignons par h'sr la restriction de h8r à
Zrs n Zrt ; il résulte aussitôt des définitions que hfsr est un isomorphisme de Zrs n Zri sur ZsrnZst, et que l'on a la relation h'isoh'8r = h[r. En vertu de (8.8.2, (i)), il existe donc p.^v tel que, pour tout triplet (r, J, t)y on ait hfts?oh'srç>=hfirf). On en conclut que les isomor-phismes hsrç> vérifient la condition de recollement (0I5 4 . 1 . 7 ) et définissent donc un préschéma Xp tel que X soit isomorphe à Xp xs S. En outre, les Zrp sont de présentation finie sur Sp et, si on les identifie à des ouverts de Xp, les intersections Zrp n Zsp, isomorphes aux Zrsp, sont quasi-compactes, donc (1.6.3) Xp est de présentation finie sur Sp. C.Q.F.D.
Scholie (8.8.3). — Le contenu essentiel de (8.8.2) s'exprime encore en disant que si S0 est quasi-compact et quasi-séparé, la catégorie des S-préschémas de présentation finie est déterminée à équivalence près par la donnée des catégories des Sx-préschémas de présentation finie, des foncteurs p^ : Xx~> Xxxs S^ (pour X<[A) entre ces catégories et des isomorphismes de transitivite Pv^op^x-^PvX* De faÇ°n imagée, on peut dire que la donnée d'un S-préschéma de présentation finie X équivaut « fonctoriellement » à la donnée d'un Sx-préschéma de présentation finie Xx ; si un S^-préschéma de présen-tation finie X^' est tel que X soit S-isomorphe à X^'xs S, il existe un v tel que X^v, {jt^v et tel que XXXS Sv et X^'Xg Sv soient Sv-isomorphes. Le fait que L est filtrant entraîne en outre que si on se donne une famille finie (Xw)t-6I de S-préschémas de présentation finie, et une famille finie (/^),-6j de S-morphismes entre ces préschémas (f(j) étant donc de la forme X{otf)) -> X(T(7<)) où G et T sont deux applications de J dans I), alors il y a un indice XeL, une famille (X^)iel de Sx-préschémas de présen-tation finie et une famille (/x?))/6j de Sx-morphismes tels que Xw s'identifie à X^xs S et/(î) à f$X ig quels que soient i et 7; en outre, si on a une relation f®=f^k\ on peut supposer X choisi de telle sorte que f$=fj®.
Considérons en particulier trois S-préschémas de présentation finie X, Y, Z et deux S-morphismes /: X->Z, g : Y->Z, de sorte que le produit XxzY relatif à ces morphismes est encore un S-préschéma de présentation finie (1.6.2). Alors il résulte de ce qui précède et de (I, 3.3. n) que l'on peut écrire XxzY = (Xxxz Yx)xs S pour un X convenable, Xx, Yx, Zx étant des Sx-préschémas de présentation finie ; on peut donc dire que la détermination des S-préschémas de présentation finie par la donnée des Sx-préschémas de présentation finie est « compatible avec les produits fibres ». On a vu d'autre part (8.6.3) ci116 gi S est une immersion, on peut supposer qu'il en est de même de £x : YX->ZX; identifiant Y (resp. Yx) avec un sous-préschéma de Z (resp. Zx), on voit donc que l'on peut écrire, pour un X convenable, /~1(Y)~/x"~1(Yx)xs S (I, 4.4. i) ; il y a donc aussi « compatibilité avec la formation des images réciproques de sous-préschémas ».
Plus particulièrement, ^ î f ^ f2 sont deux S-morphismes de X dans Y, on appelle noyau de ce couple de morphismes l'image réciproque N du sous-préschéma diagonal de Y xgY par le S-morphisme (/i,/2)s; on déduit de ce qui précède que l'on aura pour X conve-nable N = NxxSxS, où Nx est le noyau du couple de Sx-morphismes f/iX;/2X) de Xx dans Yx. Ces remarques s'étendent à des produits finis quelconques et aux « noyaux » de systèmes finis quelconques de S-morphismes d'un S-préschéma de présentation finie
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dans un autre; on en conclut que d'une façon générale la formation des S-préschémas de présentation finie par la donnée des Sx-préschémas de présentation finie est « compatible avec les limites projectives finies », une telle limite étant par définition le noyau d'un système fini de morphismes d'un même S-préschéma dans un produit de S-préschémas (T, 1.8).
Nous nous permettrons couramment par la suite de faire les traductions impliquées par les propriétés précédentes (ainsi que par (8.3.11), (8.5.2) et (8.6.3)) sans toujours nous astreindre à les justifier pas à pas comme ci-dessus. Par exemple, la donnée d'un
«préschéma en groupes » G de présentation finie sur S équivaut à la donnée d'un préschéma en groupes Gx de présentation finie sur un Sx pour un X assez grand; écrire en effet la condition d'associativité pour le S-morphisme « loi de composition » GxsG->G du préschéma en groupes revient à écrire que le noyau de deux S-morphismes de la forme GxsGxsG->G est égal à G xgG xsG (II, 8.3.9), et les autres conditions inter-venant dans la définition d'un préschéma en groupes s'interprètent de même.