Chapitre 6 Exemples d’application du modèle des pinceaux en milieu inhomogène
6.1.2 Tracé de rayons passant par le défaut
Étudions maintenant l’influence de différents défauts de corrosion sur la trajectoire des trajets d’énergie d’une onde guidée. Le milieu étant localement isotrope, l’expression du
1 Cette normalisation est aussi vraie pour les milieux composites multicouches mais ne présente que peu d’intérêt car elle consiste également à dilater la largeur des couches du même facteur que l’épaisseur totale. De plus, dans un tel milieu, les dégradations d’état de surface ne s’appliquent qu’aux couches superficielles. Il est donc nécessaire de calculer la relation de dispersion en chaque point
(TRA) donnée par la relation (5.2.13) est utilisée. De plus, la plaque est plane et le repère qui y est lié est orthonormé. Les coordonnées contravariantes se confondent alors avec les coordonnées covariantes. L’expression du (TRA) est ainsi la suivante :
{ 𝑑𝐱 𝑑𝜌= 𝑘 −1𝐤 𝑑𝐤 𝑑𝜌= 𝛁𝐱𝑘 . (6.1.2a) (6.1.2b)
Ce système vérifie bien que la trajectoire des rayons axiaux est uniquement gouvernée par une distribution surfacique de nombre d’onde i.e. à une fréquence donnée de vitesses de phase.
Soit une réduction d’épaisseur de forme gaussienne elliptique paramétrée par la perte d’épaisseur maximale ∆𝑒𝑚𝑎𝑥, la rotation d’angle 𝛼 et les demi-axes (𝐷𝑥 , 𝐷𝑦). Faisons varier
ces paramètres afin d’étudier leur influence sur la trajectoire des rayons axiaux des pinceaux qui traversent ce défaut. Dans un premier temps, pour un demi-axe de 50 mm, les rayons sont calculés pour deux valeurs de ∆𝑒𝑚𝑎𝑥 distinctes. Ce calcul est effectué à la fois pour le mode
A0 (voir Figure 6.3) et pour le mode S0 (voir Figure 6.4). La seconde valeur de ∆𝑒𝑚𝑎𝑥 est un
cas extrême car elle correspond à ∆𝑒𝑚𝑎𝑥 = 𝑒0= 1.5 mm. Cela donne naissance à une
caustique, nettement identifiable sur la Figure 6.3b. Plus le défaut est profond, plus le gradient de 𝑘 est élevé (en norme) et donc plus les rayons du mode A0 sont courbés. De plus, toujours
dans le cas du mode A0, la pente de 𝑣𝑝(2𝑒𝜔) au point d’intérêt est positive. La vitesse de
phase diminue lorsque l’épaisseur diminue puis ré-augmente lorsque l’épaisseur se rapproche de 𝑒0. Ceci explique le comportement des rayons qui ont tendance à converger vers la droite
d’équation 𝑥 = 0 mm après avoir traversé le défaut. Pour le mode S0, on a l’effet inverse. Cependant, cela n’est pas visible sur la Figure 6.4 car les rayons sont très peu déviés par le défaut. En effet, la pente de 𝑣𝑝(2𝑒𝜔) est plus faible que celle du mode A0, d’où des variations
locales de vitesse moins marquées.
(a) (b)
Figure 6.3. Tracé de rayons à 100 kHz (mode A0) pour une perte d’épaisseur maximale de 10% de l’épaisseur totale (a), puis de 50% (b).
Chapitre 6 Exemples d’application du modèle des pinceaux en milieu inhomogène 139
(a) (b)
Figure 6.4. Tracé de rayons à 100 kHz (mode S0) pour une perte d’épaisseur maximale de 10% de l’épaisseur totale (a), puis de 50% (b).
En milieu inhomogène, même les rayons non réfléchis sont dépendants de la fréquence. Cet effet est représenté sur la Figure 6.5. C’est là encore en observant la pente des courbes de dispersion que l’on peut expliquer pourquoi les rayons sont de moins en moins déviés au fur et à mesure que la fréquence augmente.
(a) (b)
Figure 6.5. Tracé de rayons (mode A0) à 50 kHz (a), 100 kHz (b) et 200 kHz (c).
Enfin, il reste à étudier l’influence de la forme du défaut. On prend alors 𝐷𝑥≠ 𝐷𝑦 et
on applique au défaut des rotations d’angles différents. On observe alors sur la Figure 6.6 que selon l’angle avec lequel les rayons issus du point source (situé à 𝑥 = −500 mm) attaquent le défaut, la trajectoire des rayons est très différente. En particulier, pour 𝛼 = 90°, les rayons ne sont pratiquement pas déviés.
(a) (b)
Figure 6.6. Tracé de rayons à 100 kHz pour un
défaut tel que (𝐷𝑥 , 𝐷𝑦) = (50 ; 20) avec 𝛼 = 0° (a) puis 𝛼 = 30° (b) et 𝛼 = 90° (c).
(c)
On définit également un profil de perte d’épaisseur à fond plat (voir Figure 6.7). Le diamètre de ce fond plat est noté L2 tandis que le diamètre extérieur du défaut est noté L1.
Entre les deux, un profil lisse assure la régularité, de classe C2, du profil de la surface de la plaque. Lorsqu’un rayon passe par la zone centrale du défaut, il devient rectiligne mais se propage à une vitesse différente de celle dans la plaque saine. Avec ce type de défaut, il est possible de construire un profil de perte d’épaisseur qui soit responsable d’un fort gradient de vitesse tout en ayant des dimensions conséquentes. Deux exemples de lancer de rayons sont présentés dans la Figure 6.8.On vérifie que les rayons ne sont courbés que dans les zones de variation d’épaisseur. Un comportement différent de celui du défaut gaussien est obtenu. On voit apparaître deux zones de focalisation.
Chapitre 6 Exemples d’application du modèle des pinceaux en milieu inhomogène 141
Figure 6.7. Profil de défaut de
corrosion à fond plat. La profondeur du fond du défaut a été exagérée.
(a) (b)
Figure 6.8. Tracé de rayons à 100 kHz pour un défaut à fond plat tel que ∆𝑒𝑚𝑎𝑥 = 0.3 mm, L2= 100 mm. À gauche, le fond plat est de L2= 10 mm alors qu’à droite il est de L2= 60 mm.
En conclusion, des considérations pratiques sur les variations de vitesse des modes guidés permet d’estimer de manière qualitative le comportement des rayons. Néanmoins, le calcul de l’amplitude du champ de déplacement nécessite une estimation précise et quantitative de la trajectoire des rayons axiaux. Or ces trajectoires dépendent fortement des paramètres évoqués dans ce paragraphe, auxquels on aurait pu ajouter la distance entre le point source et le défaut. Cela montre bien l’intérêt d’avoir un modèle permettant de les déterminer. Enfin, le fait qu’un rayon soit non courbé ne signifie pas que l’amplitude du pinceau n’est pas affectée par le défaut. En reprenant les figures précédentes, on se rend compte qu’il existe un rayon qui suit la droite d’équation 𝑥 = 0. Or le pinceau correspondant subit des variations de vitesses qui font que (i) son temps de vol est modifié par rapport au cas de la plaque saine et que (ii) il y a une concentration de rayons à son voisinage ce qui implique une zone de focalisation.