Approximation de Fraunhofer pour la réception

La sensibilité au déplacement 𝚵 (en V. mm−3) du traducteur est définie comme :

𝚵(𝐫, 𝜔) ≔ 𝑖𝜔𝐪̂𝐸(𝐫, 𝜔) 𝐼̂𝐸(𝜔)

. (2.4.3)

La quantité 𝐪̂𝐸 correspond à la contrainte qu’aurait imposée le traducteur s’il avait été en

émission ; elle a donc la même description vectorielle que le modèle de source correspondant. Il n’est pas nécessaire de chercher à calculer 𝐼̂_𝐸. Cette quantité étant proportionnelle à l’intensité de 𝐪̂_𝐸, leur rapport définit un modèle de sensibilité du traducteur suivant la fréquence. Le modèle le plus simple consiste à prendre ce rapport constant.

2.4.2. Approximation de Fraunhofer pour la réception

L’application d’une approximation de type Fraunhofer au sein de l’équation (2.4.2) revient à considérer que tous les points du récepteur sont soumis à une même onde plane. Les

Chapitre 2 Champ rayonné par un traducteur de taille finie 63

variations des termes d’amplitude du déplacement sont faibles sous la surface du récepteur. On fait alors l’hypothèse que cette amplitude est égale à celle au point central 𝐑_𝒄 du traducteur. Le déplacement peut être extrait de l’intégrale et on a la relation suivante :

𝑈̂𝑅(𝜔) ≈ 𝐮̂(𝐑𝒄, 𝜔) ∙ ∬ 𝚵(𝐫, 𝜔) exp[𝑖𝐤𝒎𝒇⋅(𝐫 − 𝐑𝐜)] 𝑑𝑆(𝐫) 𝑅

(2.4.4)

Tout comme dans le cas de l’approximation de Fraunhofer en émission, on reconnaît l’expression de la transformée de Fourier 2D spatiale de 𝚵. L’équation précédente se présente donc de manière plus simple sous la forme :

𝑈̂𝑅(𝜔) ≈ 𝐮̂(𝐑𝒄, 𝜔) ∙ 𝚵̂ (𝐤𝑚𝑓, 𝜔) , (2.4.5)

avec 𝚵̂ la transformée de Fourier 2D de la sensibilité.

L’utilisation de l’approximation de Fraunhofer pour la réception est validée d’après les signaux présentés sur le Figure 2.21. La configuration est similaire à celle utilisée pour la validation présentée dans le § 2.2. Au lieu de calculer le champ de déplacement au point 𝐴, on calcule la tension électrique reçue par un traducteur de centre 𝐴. L’émetteur et le récepteur sont donc distants de 447 mm. Pour la Figure 2.21a, la sensibilité est uniquement dirigée suivant l’axe 𝐞_𝐳. Le traducteur n’est donc sensible qu’à la composante hors plan du déplacement, le signal ressemble à la forme d’onde de la Figure 2.9e. Un traducteur en émission circonférentielle radiale est modélisé pour obtenir la Figure 2.21b. Ce dernier n’est sensible qu’aux composantes dans le plan de la plaque, ce qui explique que l’amplitude relative des contributions des modes symétriques vis-à-vis de celle des modes antisymétriques est plus importante.

(a) (b)

Figure 2.21. Signal électrique reçu par un traducteur piézoélectrique, calcul avec et sans

approximation de Fraunhofer. Pour la figure de gauche, un traducteur carré de 10 mm de côté en mode piston (contrainte uniforme suivant 𝐞𝐳) a été utilisé. Sur la figure de droite, un traducteur circulaire de rayon 5 mm et en émission circonférentielle radiale a été employé.

2.5. Décomposition modale des signaux calculés

Le modèle des pinceaux étant une approche fondamentalement modale, il est possible de visualiser les déplacements calculés sous forme de décomposition modale sans aucun calcul supplémentaire. Ceci permet d’isoler des informations cruciales pour la compréhension de la physique mise en jeu dans le rayonnement d’une onde guidée. En s’appuyant sur l’exemple donné dans la Figure 2.10, on voit que des paquets d’ondes auparavant superposés sont maintenant aisément identifiables (voir Figure 2.22). Ceci est particulièrement vrai pour les réflexions des modes symétriques (peu dispersifs) qui interviennent en même temps que la fin du paquet d’ondes correspondant au mode A0 (très dispersif) en champ direct. De plus, nous

pouvons remarquer la présence de paquets d’ondes se propageant selon le mode SH0, alors

que ce mode n’est pas excité à l’émission. Ces contributions sont issues des conversions de modes lors des réflexions du mode S0. Grâce à la validation effectuée dans le § 2.2, on peut

alors conclure que le modèle développé permet de prédire de manière à la fois qualitative et quantitative les conversions de modes aux interfaces.

Figure 2.22. Décomposition modale du signal représenté sur la Figure 2.10. Les contributions des

modes symétriques sont classées dans la colonne de gauche et celles des modes antisymétriques dans la colonne de droite. Chacune des lignes correspond respectivement au champ direct, à la 1ère réflexion et à la 2nde _réflexion.

La représentation modale est un outil pouvant s’avérer très performant dans le cadre de la conception d’une méthode de contrôle. Quelques exemples dans lesquels son application s’avérerait déterminante sont listés ci-après.

Chapitre 2 Champ rayonné par un traducteur de taille finie 65

 Dans le cadre des méthodes uniquement basées sur les contributions en champ direct, on peut en isolant les contributions réfléchies s’assurer sans ambiguïté que ces dernières n’interfèrent pas avec les mesures réalisées sur le champ direct.

 Dans une démarche de sélection de mode, connaître la décomposition modale d’un signal permet de choisir le ou les modes les plus intéressants pour un problème donné et permet de vérifier aisément si la démarche mise en place pour la sélection de ces modes a été efficace.

 L’information modale pourrait être exploitée par des modèles d’inversion de signaux mesurés.

Résumé des principaux résultats du chapitre :

Ce chapitre a consisté à exploiter le modèle du pinceau modal d’OG en milieu isotrope pour le calcul de champ de déplacement dans les configurations de CND. Après avoir remarqué que l’effet des traducteurs ultrasonores sur la pièce à inspecter peut être modélisé par une distribution de contraintes à la surface de cette pièce, le champ de déplacement généré par de telles sources a été défini comme la somme continue du champ de déplacement généré par chacun des points de cette surface émettrice. On a développé un algorithme de lancer de rayons, permettant de déterminer de manière optimisée les trajets axiaux des pinceaux reliant la source à un point de calcul de champ. L’erreur d’intégration est alors contrôlée par le nombre de directions d’énergie qui sont considérées pour le lancer de rayons.

On a ensuite effectué une validation de ce modèle par comparaison avec un code éléments finis. Un excellent accord entre les résultats obtenus par chacune de ces deux méthodes a été observé. Le modèle des pinceaux a ainsi prouvé qu’il été capable de prédire le rayonnement d’ondes guidées de manière à la fois qualitative et quantitative. Ces résultats ont fait l’objet d’une publication dans une revue scientifique [42].

Dans un troisième temps, une approximation de type diffraction de Fraunhofer a été employée dans le but de réduire les temps de calcul liés à la fois au lancer de rayon et à l’intégration sur la surface de la source. Les calculs réalisés sous cette approximation sont très performants et précis, dès lors que le point de calcul se situe à quelques longueurs d’onde de la source. STÉVENIN avait déjà utilisé cette approximation dans le seul cas du champ direct et montré son intérêt. Notre étude a permis d’en établir un critère de validité. De plus, le fait de voir le coefficient de Fraunhofer comme la transformée de Fourier spatiale de la source généralise l’approche et permet la prise en compte des sources au comportement complexe (ex : EMATs, patchs magnétostrictifs) avec un coût en temps de calcul réduit. Enfin, une excitabilité modale a été définie. Cette dernière permet de quantifier, avec très peu de calculs, l’amplitude avec laquelle un mode propagatif est généré par une source de contrainte donnée. Les développements réalisés dans ce paragraphe feront prochainement l’objet d’une publication.

Les développements réalisés pour traiter l’émission d’OG ont été transposés au cas de la réception par un traducteur piézoélectrique. La sensibilité d’un tel capteur au champ de déplacement se propageant sous sa surface en contact avec la plaque est définie grâce à l’application du principe de réciprocité. Il permet cependant d’établir une similitude entre le

cas de l’émission et celui de la réception. De part cette similitude, l’approximation de Fraunhofer a été tout naturellement appliquée à la réception. Elle apparaît même plus pertinente que dans le cas de l’émission car (i) le but du CND par OG est de propager des ondes sur de longues distance et donc de placer le récepteur loin de la source ; (ii) l’approximation permet de s’affranchir du lancer de rayon et de l’intégration sur le récepteur pour chaque point du récepteur, alors que dans le cas de l’émission on ne gagne que le temps du lancer de rayon pour un point de calcul. Enfin, avec ce modèle de réception on est en mesure d’effectuer des comparaisons expérimentales, moyennant une modélisation réaliste des traducteurs.

Le chapitre se conclut sur une discussion sur l’intérêt de l’aspect modal du modèle de pinceaux. Quelques exemples de situations propres au CND / SHM dans lesquelles cet aspect présente des avantages certains sont présentés.

DEUXIÈME PARTIE :

PROPAGATION EN MILIEU

ANISOTROPE

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