Fonction de Green associée au pinceau

Il reste maintenant à trouver l’expression de l’intensité acoustique initiale 𝐼_𝑖 qui est le seul terme encore indéterminé dans l’équation (1.4.12). Nous allons pour cela utiliser le formalisme développé par NUÑEZ et al. [49] pour les ondes planes puis étendu par VELICHKO

et WILCOX [35] aux ondes omnidirectionnelles. Ce formalisme consiste en l’écriture d’un tenseur de Green modal qui, multiplié par le terme de source, permet d’obtenir l’expression du champ de déplacement dans un guide d’ondes de taille infinie. Deux approximations ont été formulées par VELICHKO et WILCOX. Seuls les modes propagatifs sont pris en compte et

les calculs d’intégrales dans le domaine des fréquences spatiales ont été réalisés par la méthode de la phase stationnaire (qui est une approximation haute fréquence). De cela résulte le fait que ce formalisme n’est valable en principe qu’en champ lointain i.e. pour des distances de propagation supérieures à quelques longueurs d’onde. Nous reviendrons sur ce point lors de la validation du modèle développé dans le chapitre 2. Un résumé de cet article est fait en Annexe C du fait de l’importance qu’il a pour formuler notre propre modèle. Seules les notations de l’article publié y sont modifiées pour être cohérentes avec les nôtres et faciliter la lecture générale de cette thèse.

En utilisant ce tenseur de Green pour les matériaux isotropes et avec nos notations, on obtient par identification une expression de l’intensité acoustique initiale. En effet, on se place alors avant toute réflexion, ce qui nous permet d’appliquer directement la formule de VELICHKO et WILCOX. Après quelques calculs algébriques sans difficultés particulières autres que celle des notations, on a :

√𝐼𝑖e𝑖 arg(𝑈̂𝑖..𝑓)= 𝜔2 8〈𝑃_𝑚𝑖〉( |𝑘_𝑚𝑖|𝜌0𝑣𝑒(𝑚𝑖) 4𝜋 ) 1 2 ‖𝐖𝑚𝑖(𝜑𝑖, 𝑧, 𝜔)‖𝑖e 𝑖𝜋 4𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑘𝑚𝑖) × (𝐖𝑚∗_𝑖(𝜑𝑖, 𝑒, 𝜔)) 𝑡 𝐪 ̂𝟎(𝐑0) , (1.4.15)

où 〈𝑃𝑚_𝑖〉 est le flux de puissance moyen du mode initial 𝑚𝑖 à travers la surface perpendiculaire

à la direction de propagation de ce mode, défini par :

〈𝑃𝑚_𝑖〉 ≔ ∫ 1 2Re [𝑖𝜔 ∫ 𝛔𝐮 ∗_{∙ 𝐞} ⊥𝑑𝑧 𝑒 𝑧=−𝑒 ] 𝑑𝑧. (1.4.16)

En injectant cette relation, ainsi que les équations (1.4.12) et (1.4.14) dans l’équation (1.4.8), une nouvelle expression de la fonction de Green appelée fonction de Green généralisée ou fonction de Green pinceau est obtenue :

𝓰𝑖..𝑓(𝐫; 𝐑𝟎, 𝜔) = 𝒟𝑖..𝑓(𝐫; 𝐑𝟎, 𝜔)𝒜(𝑖)(𝐑𝟎, 𝜔)𝐖𝑚𝑓(𝜑𝑓, 𝑧, 𝜔) × (𝐖𝑚∗_𝑖(𝜑𝑖, 𝑒, 𝜔)) 𝑡 exp[𝑖𝜗̂𝑖..𝑓(𝐫; 𝐑0, 𝜔)] + 𝒪 (𝜌− 3 2) , 𝜌 → ∞ . (1.4.17)

Cette formule est composée de plusieurs termes définis ci-après et dont il est possible de donner une interprétation physique. Tout d’abord, le facteur de divergence 𝒟_𝑖..𝑓 que l’on écrit

𝒟𝑖..𝑓(𝐫; 𝐑𝟎, 𝜔) ≔ ( 𝛱𝑖..𝑓 |𝑠𝑚𝑖𝐿12| 𝑣_𝑒(𝑚𝑖) 𝑣_𝑒(𝑚𝑓)) 1 2 _‖𝐖 𝑚𝑖(𝜑𝑖, 𝑧, 𝜔)‖ ‖𝐖𝑚_𝑓(𝜑𝑓, 𝑧, 𝜔)‖ , en [m−12_], (1.4.18)

décrit la variation d’amplitude de l’onde le long du rayon axial du pinceau. Il fait notamment intervenir le produit des coefficients de réflexion 𝛱𝑖..𝑓 et le coefficient 𝐿12 de la matrice

d’évolution de la séquence modale, donnée par l’équation 1.3.1. Ensuite, le facteur d’amplitude 𝒜(𝑖) _{tel que}

𝒜(𝑖)_(𝐑 𝟎, 𝜔) ≔ 𝑖𝜔 4〈𝑃𝑚𝑖〉 (|𝑘𝑚𝑖| 2𝜋 ) 1 2 e𝑖𝜋4𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑘𝑚𝑖)_{, en [N}−1_{. m}−1 2⁄ _{] ,} (1.4.19)

représente l’excitabilité du mode initial. En d’autres termes, il traduit (avec la déformée du mode initial à la surface de la plaque 𝐖𝑚𝑖

∗ _(𝜑

𝑖, 𝑒, 𝜔)) l’énergie rayonnée par la source sous la

forme du mode 𝑚𝑖. Le déplacement du mode final 𝐖𝑚𝑓(𝜑𝑓, 𝑧, 𝜔) sert, comme introduit dans

l’équation (1.4.8), à rendre compte du fait que l’onde se propage au point de calcul suivant le mode 𝑚𝑓. Le terme de phase 𝜗̂𝑖..𝑓 est celui défini par l’équation (1.4.14). Le signe du nombre

d’onde 𝑘𝑚_𝑖 est positif si le vecteur d’onde et la vitesse d’énergie sont orientés dans le même

sens. Enfin, la quantité qui devient négligeable au fur et à mesure que la distance de propagation augmente vient de l’approximation faite en ne considérant que les modes propagatifs. Elle peut donc être vue comme la contribution des modes inhomogènes, qui est non nulle à proximité du point source.

On obtient finalement l’expression du champ de déplacement particulaire en faisant la somme des contributions de chacune des séquences modales existant entre le point source et le point de calcul. Cela s’écrit :

𝐮

̂(𝐫, 𝜔) = 𝓰(𝐫; 𝐑𝟎, 𝜔)𝐪̂𝟎(𝜔) = ∑ 𝓰𝑖..𝑓(𝐫; 𝐑𝟎, 𝜔)𝐪̂𝟎(𝜔) 𝑖..𝑓

Chapitre 1 Méthode du pinceau modal en milieu isotrope 29

Pour obtenir la reconstruction temporelle 𝐮(𝐫, 𝑡) du champ de déplacement au point 𝐫 il suffit alors d’effectuer le calcul pour toutes les fréquences d’intérêt et de réaliser une synthèse de Fourier.

Remarque 1 :

Contrairement au modèle du pinceau transitoire développé pour les ondes élastiques de volume [13,50], les trajets des pinceaux modaux d’ondes guidées dépendent en général de la fréquence ; du moins pour les trajets impliquant au moins une réflexion avec conversion de mode (du fait de la dispersion) .

Remarque 2 :

Le modèle actuel est capable de prendre en compte les réflexions sur des bords légèrement courbes et réguliers. En revanche, il ne peut pas modéliser la diffraction d’une onde guidée par un coin (de plaque rectangulaire par exemple). Des travaux récents ont été effectués en ce sens pour traiter la diffraction d’une onde élastique de volume par un dièdre [51,52]. Ainsi, il est possible qu’un modèle de diffraction par un coin de plaque puisse être développé dans le but de venir compléter celui du pinceau modal.

Remarque 3 :

La reconstruction temporelle peut être faussée par des phénomènes de repliement de spectre dans deux situations :

 La fenêtre temporelle doit être assez longue pour contenir le signal calculé en entier. Ainsi, plus les dimensions de la plaque seront élevées et plus le nombre de réflexions sera important, plus le nombre de fréquences à considérer pour effectuer une synthèse temporelle juste sera élevé. Le poids de cet inconvénient en termes de temps de calcul peut toutefois être allégé. Connaissant le temps vol minimal et le temps de vol maximal de chaque paquet d’onde, une fenêtre temporelle définie de manière optimale pour chaque contribution peut être utilisée.

 La présence d’une fréquence de coupure au sein de la bande de fréquences excitées par la source est aussi source de repliement. Dans ce cas, ce sont les contributions de composantes spectrales à vitesse de groupe nulle (ou très faible) qui sont à l’origine de ce phénomène. Ce problème peut être résolu en introduisant une faible partie imaginaire à la fréquence afin de contourner les pôles de la transformée de Fourier inverse, autrement dit en effectuant l’opération :

𝐮(𝐫, 𝑡) = 1

√2𝜋∫ 𝐮̂(𝐫, 𝜔 − 𝑖𝜂) 𝑒

𝑖𝜔𝑡_{𝑑𝜔. (1.4.21)}

Dans la littérature, cette méthode est appelée Exponential Window Method (EWM) [53,54]. Le paramètre 𝜂 est choisi en fonction de la longueur de la fenêtre temporelle.

Remarque 4 :

La méthode du pinceau modal est strictement équivalente à la méthode de la phase stationnaire avec un développement limité du terme de phase à l’ordre 2. Cette équivalence est triviale à démontrer en champ direct car on retrouve alors exactement l’expression de la formule de VELICHKO. Mathilde STÉVENIN l’a démontré dans le cas d’une réflexion unique sur un bord droit dans son manuscrit de thèse [33]. Néanmoins, la méthode des pinceaux est plus aisée à appliquer dans des cas génériques. En effet, elle vient substituer des manipulations d’équations assez calculatoires par de simples produits de matrices d’évolution.

Remarque 5 :

Il est aussi possible d’obtenir le champ de contrainte en appliquant la loi de Hooke à partir de l’expression du champ de déplacement (1.4.20). Les dérivées spatiales du facteur de divergences sont négligées car variant en 𝜌−32_{. Ainsi, on obtient alors une fonction de Green}

version contrainte 𝓰𝑖..𝑓𝐶 (𝐫; 𝐑𝟎, 𝜔) ∈ 𝑀6,3(ℂ) permettant d’obtenir les six composantes

indépendantes du tenseur des contraintes au point 𝐫. Son expression est alors :

𝓰𝑖..𝑓𝐶 (𝐫; 𝐑𝟎, 𝜔) = 𝒟𝑖..𝑓(𝐫; 𝐑𝟎, 𝜔)𝒜(𝑖)(𝐑𝟎, 𝜔)𝛔𝑚𝑓(𝜑𝑓, 𝑧, 𝜔) × (𝐖𝑚𝑖 ∗ _(𝜑 𝑖, 𝑒, 𝜔)) 𝑡 exp[𝑖𝜗̂𝑖..𝑓(𝐫; 𝐑0, 𝜔)] + 𝒪 (𝜌− 3 2) , 𝑟 → ∞ . (1.4.22)

La déformée modale 𝐖𝑚_𝑓 a été remplacée par le profil de contraintes modal 𝛔𝑚_𝑓 (que l’on

peut obtenir comme dans l’Annexe A).