Chapitre 1 Méthode du pinceau modal en milieu isotrope
1.2.2 Matrice de réflexion
Étudions maintenant la réflexion d’un pinceau sur un bord potentiellement courbe Γ. Le rayon axial de ce pinceau intersecte Γ au point 𝐼. Au voisinage de ce point, le bord peut être décrit comme un cylindre de rayon 𝜅−1 (𝜅 étant la courbure locale du bord au point
d’intersection) et de normale extérieure 𝐧. Par la suite, le rayon de courbure sera toujours considéré grand devant les longueurs d’onde des modes afin que l’interaction du pinceau incident avec le bord puisse être décrite par des théories géométriques. Pour la réflexion, cela signifie que l’on ne pourra pas considérer les phénomènes spécifiques de diffraction aux points anguleux, et de manière générale, les phénomènes de diffraction complexes.
L’évolution du pinceau en réflexion sur ce bord est étudiée dans le repère local (𝐼; 𝐧; 𝐭; 𝐞𝐳) avec le vecteur unitaire 𝐭 construit de sorte que le trièdre soit direct. Le rayon axial et un rayon paraxial du pinceau en incidence sur le bord sont représentés sur la Figure 1.4a puis en réflexion sur la Figure 1.4b. Sur ces schémas, le rayon axial et le rayon paraxial sont
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considérés parallèles ce qui est une hypothèse locale raisonnable au vu des calculs géométriques et différentiels qui vont suivre. Au point 𝐼 l’écart de position 𝑑𝜁∥(𝜌) est alors en
général discontinu. Ce saut brusque de valeur peut être déterminé à travers la projection commune de 𝑑𝜁∥,1 et 𝑑𝜁∥,2 sur l’interface plane virtuelle qui serait définie autour du point 𝐼 si
le bord était rectiligne. Cette projection est notée projΓ 𝑑𝜁∥ sur la Figure 1.4 . En la calculant
par des considérations géométriques avant et après réflexion, on obtient la relation suivante :
𝑑𝜁∥,1 cos 𝜃1 − 𝐴𝐵 sin 𝜃1= − 𝑑𝜁∥,2 cos 𝜃2 + 𝐴𝐶 sin 𝜃2 . (1.2.2)
Les distances 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 étant des quantités d’ordre 2 de 𝑑𝜁∥,1 et 𝑑𝜁∥,2, elles peuvent
raisonnablement être négligées ce qui donne l’expression approchée de 𝑑𝜁∥,2 suivante :
𝑑𝜁∥,2≈ −
cos 𝜃2
cos 𝜃1
𝑑𝜁∥,1 . (1.2.3)
(a) (b)
Figure 1.4. Rayons axial et paraxial d’un pinceau avant (a) et après (b) réflexion.
De même, l’expression de 𝑑𝑠∥,2 est obtenue grâce au calcul de la projection de l’écart de lenteur projΓ 𝑑𝑠∥. Exprimons d’abord cette projection avant réflexion. Si l’interface était
plane, 𝑑𝑠∥,1 serait simplement projetée suivant la direction de 𝐧 et cette projection serait égale
à cos 𝜃1𝑑𝑠∥,1. Si l’interface est courbe, le rayon paraxial doit être traité séparément du rayon
vecteur lenteur qui lui est associé demeure donc inchangée. Ce n’est pas le cas pour le rayon paraxial qui se réfléchit au point 𝐴 n’appartenant pas au bord droit virtuel. La projection du vecteur lenteur du rayon paraxial est donc effectuée selon la direction de la normale locale du bord (𝐧 + 𝐝𝐧) ce qui implique que l’angle d’incidence est légèrement modifié par rapport au cas de la réflexion sur un bord plan. Si les vecteurs 𝐧 et 𝐧 + 𝐝𝐧 sont choisis comme étant unitaires alors 𝐝𝐧 est orthogonal à 𝐧, car 𝐝𝐧 ∙ 𝐝𝐧 est négligeable étant du 2ème ordre. Alors la
projection du vecteur lenteur du rayon paraxial est (sous une approximation au 1er ordre)
colinéaire à 𝐭 et à 𝐝𝐧. Elle est finalement égale à sa valeur obtenue pour un bord plan à laquelle on vient soustraire la quantité 𝑠1cos 𝜃1𝐝𝐧 ∙ 𝐭 qui est due à la petite variation d’angle
d’incidence. On a alors :
projΓ 𝑑𝑠∥= cos 𝜃1𝑑𝑠∥,1− 𝑠1cos 𝜃1𝐝𝐧 ∙ 𝐭, (1.2.4)
où 𝑠1 est la lenteur du mode incident. De plus, on remarque que projΓ 𝑑𝜁∥= 𝜅−1𝐝𝐧 ∙ 𝐭 et
projΓ 𝑑𝜁∥ ~ 𝑑𝜁∥,1⁄cos 𝜃1. En introduisant ces deux résultats dans l’équation (1.2.4), on
obtient :
projΓ 𝑑𝑠∥= cos 𝜃1𝑑𝑠∥,1− 𝑠1𝜅 𝑑𝜁∥,1. (1.2.5)
Une relation similaire est obtenue pour les rayons réfléchis en prenant en compte un signe négatif devant le cosinus de l’angle de réflexion (comme dans l’équation (1.2.2)) et en remarquant que la projection de la lenteur du rayon paraxial est cette fois augmentée et non réduite du fait de la courbure. Finalement, en utilisant la loi de Snell-Descartes à l’interface, 𝑑𝑠∥,2 s’exprime en fonction de 𝑑𝑠∥,1 et 𝑑𝜁∥,1 comme :
𝑑𝑠∥,2= − cos 𝜃1 cos 𝜃2 𝑑𝑠∥,1+ 𝜅 𝑠1cos 𝜃1− 𝑠2cos 𝜃2 cos 𝜃1cos 𝜃2 𝑑𝜁∥,1 . (1.2.6)
À partir des relations (1.2.3) et (1.2.6), on peut définir la matrice de réflexion 𝐋𝐫é𝐟𝐥.
Cette matrice relie le vecteur d’état du pinceau avant réflexion 𝛙𝟏 à celui après réflexion 𝛙𝟐
de la manière suivante : 𝛙𝟐= ( 𝑑𝜁∥,2 𝑑𝑠∥,2 ) = 𝐋𝐫é𝐟𝐥𝛙𝟏= ( −cos 𝜃2 cos 𝜃1 0 𝜅𝑠1cos 𝜃1− 𝑠2cos 𝜃2 cos 𝜃1cos 𝜃2 −cos 𝜃1 cos 𝜃2) (𝑑𝜁∥,1 𝑑𝑠∥,1 ) . (1.2.7)
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Deux cas particuliers peuvent alors être distingués :
Si la réflexion se fait sur un bord plan (𝜅 = 0) alors 𝐋𝐫é𝐟𝐥 est diagonale. On retrouve
l’expression proposée par Mathilde Stévenin dans son manuscrit de thèse [33,34]. Si la réflexion se fait sur un bord plan et sans conversion de mode alors 𝐋𝐫é𝐟𝐥 est la
matrice identité. Cette réflexion n’a alors pas d’influence sur la divergence du pinceau. Une matrice très similaire peut être construite pour traiter la transmission d’un pinceau d’un guide d’onde à un autre. L’expression alors obtenue est la suivante :
𝛙𝟐 = ( 𝑑𝜁∥,2 𝑑𝑠∥,2) = 𝐋𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝛙𝟏 = ( cos 𝜃2 cos 𝜃1 0 𝜅𝑠2cos 𝜃2− 𝑠1cos 𝜃1 cos 𝜃1cos 𝜃2 cos 𝜃1 cos 𝜃2) (𝑑𝜁∥,1 𝑑𝑠∥,1 ) . (1.2.8)
Il n’y a pas de difficulté particulière à traiter ce problème. La différence, par rapport au cas de la réflexion, tient au fait que la transmission se fait entre deux guides d’onde aux caractéristiques différentes. Chacun de ces guides possède sa propre solution modale. Ainsi, les deux familles de modes interviennent aussi bien dans la détermination des angles de réfraction que dans le calcul des coefficients de transmission (qui tient compte des conditions limites spécifiques au cas traité).