Modèle de pinceaux simplifié

Comme énoncé au paragraphe précédent, la résolution numérique du tracé dynamique de rayon est en règle générale complexe et peut mener à des temps de calcul élevés si de nombreux pinceaux doivent être déterminés. Il serait donc préférable de trouver un moyen de s’en affranchir, quitte à effectuer une approximation. Or, tout rayon paraxial est une solution de l’équation eikonale (car il vérifie la relation de contrainte (5.3.5)). Un rayon paraxial d’un pinceau Ƥ(𝜑0) est donc également le rayon axial d’un pinceau Ƥ(𝜑0+ ∆𝜑0), avec ∆𝜑0 l’écart

angulaire initial entre les deux rayons. Lorsque deux rayons axiaux sont suffisamment proches – c’est-à-dire lorsque ∆𝜑0 est fini mais faible – on peut faire l’approximation que l’un est un

rayon paraxial de l’autre. Or, dans le chapitre 2, les algorithmes de lancer de rayons ont été conçus de manière à déterminer les trajets d’énergie entre une source de taille finie et un point de calcul depuis le point de vue de ce dernier. Ces algorithmes permettent donc toujours d’obtenir un ensemble (Λ_𝑛)_{0≤𝑛≤𝑁} de 𝑁 + 1 trajets d’énergie proches deux à deux. Pour le 𝑛- ième trajet, avec 𝑛 < 𝑁, le vecteur d’état est approché en utilisant l’écart angulaire ∆𝜑𝑛=

𝜑𝑛+1− 𝜑𝑛 et l’écart de lenteur ∆𝑠𝑛= 𝑠𝑛+1sin(𝛾𝑛+1− 𝜑𝑛+1+ ∆𝜑𝑛) − 𝑠𝑛sin(𝛾𝑛− 𝜑𝑛).

Ces quantités sont représentées sur la Figure 5.5. À l’état initial (𝑖) et à l’état final (𝑓), le vecteur d’état vaut

𝛙_𝑛(𝑖)= ( 0 Δ𝑠𝑛(𝑖) ) , 𝛙𝑛 (𝑓) = (∆𝜁𝑛 ∥,(𝑓) Δ𝑠𝑛(𝑓) ) . (5.3.34a) (5.3.34b)

C’est deux expressions permettent de construire partiellement la matrice d’évolution approchée du pinceau Ƥ𝑛, définie par 𝛙𝑛

(𝑓)

= 𝐋𝑛 𝛙𝑛(𝑖). On a alors :

1 _{On ne s’intéresse ici qu’aux caustiques dites géométriques et non aux caustiques modales liées} aux points d’inflexion des courbes de lenteur en milieu anisotrope.

𝐋𝑛 = ( … ∆𝜁𝑛 ∥,(𝑓) Δ𝑠_𝑛(𝑖) … Δ𝑠𝑛 (𝑓) Δ𝑠_𝑛(𝑖)) . (5.3.35)

La connaissance du terme supérieur droit de 𝐋𝑛 suffit pour le calcul du facteur de divergence

du pinceau Ƥ𝑛. Il est à noter qu’il est aussi possible d’utiliser le rayon Λ𝑛−1 à la place du rayon

Λ𝑛+1. Les valeurs des coefficients de la matrice d’évolution sont alors légèrement différentes.

Ceci provient du fait que le comportement de Λ𝑛−1 est différent de celui de Λ𝑛+1 car ces

rayons n’ont pas exactement suivi la même équation eikonale. Cet effet est moyenné si le calcul de 𝐋𝑛 prend en compte à la fois Λ𝑛−1 et Λ𝑛+1. Plus généralement, il est possible

d’améliorer l’estimation des quantités paraxiales en utilisant des méthodes d’interpolation d’ordre plus élevé [97], en prenant en compte un nombre de rayons plus important.

Figure 5.5. Modèle de

pinceaux simplifié utilisant un rayon axial voisin afin d’approcher les quantités paraxiales.

Le comptage des points de caustiques s’effectue d’une manière légèrement différente de celle présentée dans le § 5.3.4. En effet, dans le cas du modèle de pinceaux dit simplifié, les positions du rayon paraxial sont directement connues. Il est préférable d’effectuer le calcul du facteur 𝐾𝑀𝐴𝐻 comme un post-traitement du lancer de rayons. Chaque rayon est alors discrétisé de manière arbitraire et le signe de ∆𝜁_𝑛∥,(𝑓) est étudié en chacun de ces points, le facteur 𝐾𝑀𝐴𝐻 étant augmenté d’une unité à chaque inversion de signe.

Une démonstration de la convergence du modèle de pinceaux simplifié est donnée dans la Figure 5.6. On cherche à déterminer la valeur de 𝐿12 (et donc du facteur de divergence)

du rayon rouge. Pour cela, plusieurs rayons plus ou moins voisins de ce dernier sont tracés. Sur la Figure 5.6a, on a également représenté la trajectoire du rayon paraxial (en trait interrompu noir) pour des valeurs de 𝛿𝜑0 correspondant à l’angle entre chaque rayon noir et

le rayon rouge. On remarque alors que le comportement du rayon paraxial diffère de plus en plus de celui des Λ𝑛+𝑖 au fur et à mesure que l’on 𝛿𝜑0 augmente. Cela se traduit par le fait

Chapitre 5 Formalisme des pinceaux aux rayons courbés 133

que l’approximation décrite dans ce paragraphe n’est précise qu’à condition que les rayons soient suffisamment proches (voir Figure 5.6b).

(a) (b)

Figure 5.6. Convergence du modèle de pinceaux simplifié (rayons et solutions représentés en noir)

vers la valeur de 𝐿12 obtenue par résolution de (TDR) (en rouge). Trajectoire des rayons (a) et valeur de 𝐿12 obtenue (b). Les rayons en trait continu noir sur la figure de gauche sont les rayons axiaux (obtenus par résolution du (TRA)) qui - utilisés en conjonction avec le rayon axial tracé en rouge - donnent les valeurs de 𝐿12 représentées par des croix noirs sur la figure de droite.

Résumé des principaux résultats du chapitre :

Ce chapitre a permis de définir un modèle de pinceaux pour les plaques courbées aux propriétés mécaniques continûment variables. L’utilisation de l’approximation WKBJ mène à un développement limité du problème élastodynamique dans le régime haute fréquence. Le terme principal décrit la trajectoire suivie par l’onde ; c’est le strict équivalent du chemin de Fermat (ou trajet d’énergie) utilisé comme rayon axial d’un pinceau dans les chapitres précédents. On montre de plus que l’amplitude de l’onde varie uniquement le long de ces trajets d’énergie, d’où l’idée d’étudier le comportement des rayons situés dans leur voisinage. L’équation eikonale, dont les solutions sont les trajets d’énergie de l’onde, est aussi la relation de dispersion locale des modes guidés. Les trajets d’énergie sont donc déterminés à partir d’un calcul local des modes par la méthode SAFE. Suivant les cas, différentes approches sont à considérer. Dans le cas général, un schéma numérique itératif construit les rayons pas à pas, suivant des conditions initiales données. Si le milieu est homogène, alors les trajets d’énergie sont les géodésiques reliant un point source et le point de calcul du champ. Ainsi lorsque la géométrie de la plaque est simple (ex : cylindre, plaque plane), les solutions sont analytiques.

La trajectoire des rayons paraxiaux est obtenue par dérivation du système de tracé des rayons axiaux. Ce nouveau système d’équations, nommé système de tracé dynamique de rayon, est d’abord résolu dans le repère de la plaque (qui est le repère cartésien dans le cas

d’une plaque plane). Cependant, il y a plus d’intérêt à le résoudre dans un système de coordonnées centrées sur le rayon axial. En effet, les solutions du (TDR) sont les quantités différentielles qui composent le vecteur d’état du pinceau. On obtient alors un système d’équations différentielles ordinaires dont la résolution donne à la fois la trajectoire des rayons axiaux et les coefficients de la matrice d’évolution du pinceau. La présence éventuelle de caustiques est prise en compte en étudiant simplement les évolutions du signe de L12 entre

chaque pas. Enfin, on remarque que la résolution du (TDR) est généralement complexe et coûteuse en temps de calcul. Pour pallier cela, on fait l’approximation que deux rayons voisins sont des rayons paraxiaux l’un de l’autre. La résolution du (TRA) d’un rayon proche se substitue alors à celle du (TDR).

Bien que le modèle développé dans ce chapitre soit plutôt générique, on se rend compte que la façon de l’appliquer varie en fonction du cas traité. Par conséquent, son implémentation informatique la plus performante n’est pas générique. Dans le chapitre suivant, nous verrons des cas d’application simples permettant d’illustrer cette remarque. Dans tous les cas, une matrice de propagation est obtenue. Cette dernière s’insère de manière transparente dans le modèle détaillé dans le présent chapitre, et ce peu importe la méthode de résolution du problème.

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