Exemples de calculs de champ

Le modèle présenté dans ce chapitre va maintenant être illustré par deux exemples simples de calcul de champ. Dans ces deux situations, le mode S0 est généré par une source

ponctuelle de contrainte normale à la surface de la plaque et située au point (0,0,e). L’excitation temporelle appliquée est un tone burst (signal harmonique fenêtré par une fenêtre de Hann) de 5 cycles et de fréquence centrale 200 kHz. Le milieu de propagation est une plaque en aluminium de 3 mm d’épaisseur. La norme du champ de déplacement du mode S₀ à t = 48 µs est représentée sur la Figure 1.7a. Les détails concernant l’implémentation informatique de ce modèle sont donnés dans le chapitre 2 ainsi que dans l’annexe D. Ici on ne s’intéresse qu’au cas de la source ponctuelle, c’est-à-dire un cas plus simple que ceux présentés dans les parties mentionnées ci-avant.

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_{situation : réflexion sur un bord droit d’équation x = 500 mm}

Lors de la réflexion sur un bord droit, le mode incident vient impacter le bord dans une large gamme d’angles d’incidence. On se situe ici en dessous de la première fréquence de coupure ; le mode S0 n’est alors susceptible de se convertir qu’en les modes symétriques

fondamentaux i.e. il ne peut se convertir qu’en lui-même ou en SH0. Ces conversions sont

visibles sur la Figure 1.7b qui fait apparaître la norme du champ de déplacement à t = 170 µs (et donc après réflexion). On peut noter qu’elles suivent le comportement décrit par les

Chapitre 1 Méthode du pinceau modal en milieu isotrope 31

coefficients de réflexion calculés enAnnexe B: en incidence normale seul S0 est réfléchi alors

que plus d’énergie est transmise à SH₀ au fur et à mesure que l’on s’éloigne de l’incidence normale. On peut aussi remarquer que l’amplitude du champ réfléchi est inférieure à celle du champ incident car le front d’onde s’est élargi tant avant qu’après réflexion.

(a) (b) (c)

Figure 1.7. Exemples de champs calculés en ne prenant en compte que le rayonnement du mode S0 : (a) mode incident à 𝑡 = 48 µ𝑠, (b) réflexion sur un bord plan à 𝑡 = 170 µ𝑠 et (c) réflexion sur un bord cylindrique à 𝑡 = 170 µ𝑠.

2nde _{situation : réflexion sur un bord cylindrique de rayon 500 mm et dont l’axe passe} par le point source

La réflexion sur un bord cylindrique centré sur le point source est un cas très particulier de réflexion sur un bord courbe. Dans cette situation, le mode incident ne peut impacter le bord qu’en incidence normale. Compte tenu de ce qui a déjà été dit sur la réflexion du mode S0 dans ce matériau, il n’y a alors pas de conversion de mode et la contribution réfléchie se

propage suivant le rayon axial du pinceau incident. Sur la Figure 1.7c on peut aussi noter que l’amplitude du champ réfléchi est comparable à celle du champ incident. En effet, après réflexion, la surface décrite par le front d’onde diminue. On obtient alors comme un phénomène de rétro-propagation de l’onde. Cela peut se démontrer à l’aide du calcul de la matrice d’évolution. Considérons un point situé à une distance 𝑟 du point source. Le vecteur d’état du pinceau en ce point et en champ direct i.e. avant réflexion vaut :

𝛙𝒂𝒗𝒂𝒏𝒕 𝒓é𝒇𝒍= (𝑟 𝑠⁄₁ ) 𝑑𝑠∥. (1.4.23)

Le vecteur d’état correspondant au pinceau après réflexion s’obtient en mettant en cascade les deux matrices de propagation et la matrice de réflexion, soit :

𝛙𝒂𝒑𝒓è𝒔 𝒓é𝒇𝒍= (1 (𝜅 −1_{− 𝑟) 𝑠⁄} 0 1 ) ( 1 0 −2𝜅𝑠 1) (1 𝜅 −1_⁄𝑠 0 1 ) ( 0 𝑑𝑠∥) = (𝑟 𝑠⁄ −1) 𝑑𝑠∥. (1.4.24)

L’écart de position entre le rayon axial et le rayon paraxial étant le même dans ces deux cas, on vérifie bien que l’amplitude de l’onde sera elle aussi égale. De plus, les composantes du vecteur d’état après réflexion sont de signe opposé ce qui montre que les rayons de ce pinceau sont en train de se rapprocher (i.e. le pinceau converge) ce qui est cohérent avec la rétro-propagation. Dans cet exemple, l’influence du terme non diagonal de la matrice de réflexion est notable. C’est en effet lui qui, en prenant en compte les effets de courbure locale du bord, vient modifier le comportement du pinceau pour le faire passer de divergeant à convergeant.

Résumé des principaux résultats du chapitre :

Ce chapitre était dédié au développement d’un modèle permettant de prédire le rayonnement par une source ponctuelle d’ondes guidées omnidirectionnelles dans des plaques de taille finie. On s’est appuyé sur la stratégie de développement utilisée au CEA pour le calcul de champs en ondes de volume, qui avait consisté à étendre un modèle semi-analytique existant (mais limité à des cas simples ou particuliers) à des cas de propagation complexe grâce à une méthode géométrique. Cette stratégie a plus récemment été utilisée dans le cadre des ondes guidées par Mathilde STÉVENIN qui a tout d’abord traité ce problème par la méthode de la phase stationnaire avant d’introduire le pinceau modal d’ondes guidées. Notre contribution dans ce chapitre a consisté à reprendre et préciser ce formalisme, et à étendre le domaine d’applicabilité en traitant les cas de réflexions multiples sur des bords potentiellement courbes, de la transmission.

Dans un premier temps, la propagation d’un mode guidé dans une plaque non bornée a été étudiée. Avec la méthode des pinceaux, cela revient à construire une matrice qui dépend de la distance de propagation et des caractéristiques du mode. Puis le cas de la (ou des multiples) réflexion(s) a été traité. Là encore, cela passe par l’établissement d’une matrice traduisant l’évolution du vecteur d’état du pinceau. Finalement, le lien entre matrice d’évolution et amplitude du champ de déplacement a été fait. Une fonction de Green modale, basée sur des développements réalisés dans la littérature mais étendue à la plaque bornée a alors été trouvée. L’expression du champ de déplacement est alors donnée.

Il est important de préciser les hypothèses et limites de ce modèle afin d’en définir le domaine de validité. Tout d’abord, s’agissant d’un modèle géométrique, il suppose une approximation haute fréquence. Autrement dit, les dimensions caractéristiques de la plaque (rayons de courbure des bords par exemples) sont considérées très grandes devant les longueurs d’onde afin d’éviter les phénomènes de diffraction (qui ne sont pas pris en compte du fait de la nature géométrique intrinsèque du modèle). Ce modèle ne permet donc pas encore

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de traiter la diffraction par un point anguleux. De plus, seules les contributions des modes propagatifs sont calculées. Le modèle n’est donc pas valide dans les zones où les modes évanescents ont un effet significatif : près du point source et près des bords de la plaque. Ce dernier point ne pose en revanche pas de problème particulier en contrôle non destructif car les points de mesure sont généralement situés assez loin des bords.

Enfin, cette méthode présente l’avantage d’être entièrement modale. Elle ne nécessite aucune discrétisation dans le plan de la plaque : le temps de calcul est alors très peu dépendant des distances de propagation.

Dans les exemples donnés dans le chapitre, une source de contrainte ponctuelle est utilisée. L’objet du chapitre suivant sera d’appliquer la méthode du pinceau telle que présentée ici à des configurations plus réalistes en prenant en compte le champ de contraintes surfaciques rayonné par une source de taille finie. Nous reviendrons aussi sur ce modèle dans les chapitres 3 et 5 afin de l’étendre au cas du rayonnement des ondes guidées dans les matériaux anisotropes, puis dans les matériaux inhomogènes et les plaques courbes.

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