Tenseurs, symboles et opérateurs conformément invariants

Dans un premier temps, nous classifions les éléments conformément invariants de chacun des trois o(p + 1, q + 1)-modulesT^δ,S^δ[ξ] et D^λ,µ. Ils correspondent aux éléments sur les-quels la dérivée de Lie des champs de vecteurs Killing-conformes s’annule. Nous en donnons

4. Cependant elle ne vérifie la propriété fondamentale [Lλ X, Lλ

Y] = Lλ

une expression explicite sur l’espace des symboles, et une expression locale, par transport via evgetN , sur les modules Tδet D^λ,µ. Pour δ fixé, les invariants conformes des 3 modules se correspondent via la superisation et la quantification conformément équivariante, si elles existent. Cela nous permet d’obtenir la chiralité et l’opérateur de Dirac comme opérateurs conformément invariants, les poids de l’opérateur de Dirac correspondant à l’une des deux résonances de la quantification conformément équivariante des symboles de degré 1. Nous montrons ensuite explicitement l’obstruction pour superiser un invariant conforme de Tδ. Insistons sur le fait que dans tout ce paragraphe nous nous plaçons toujours sur une variété conformément plate.

Classification des tenseurs, symboles et opérateurs conformément invariants Donnons une définition de l’invariance conforme pour les trois modulesTδ,Sδ[ξ], D^λ,µ. Définition 4.6.3. Un symbole P ∈ S^δ[ξ] est conformément invariant si il vérifie L^δ_XP = 0 pour tout X ∈ conf(M, g). De même un tenseur T ∈ Tδ est conformément invariant si Lδ

XT = 0 pour tout X ∈ conf(M, g), et un opérateur différentiel D ∈ Dλ,µ est conformé-ment invariant si L^λ,µ_X D = 0 pour tout X∈ conf(M, g).

Nous travaillons désormais localement en coordonnées de Darboux conformes, on a donc gij = F ηij où η est la métrique plate de signature (p, q) et F une fonction strictement positive. On dispose également de vol_x = ε_j1...jndxj1∧ . . . ∧ dxjn la forme volume associée. L’algèbre de Lie des similitudes est alors bien définie, et son action sur les 3 modules est la même, par transport. Commençons donc par déterminer les expressions locales des symboles invariants sous l’action (locale) des similitudes. On utilise pour cela la Proposition 4.1.5 qui traite des opérateurs différentiels sur Sδ[ξ] commutant à l’action des isométries. Comme les symboles s’identifient dans ce contexte aux opérateurs différentiels d’ordre 0, on obtient immédiatement le lemme suivant.

Lemme 4.6.4. Soit les symboles définis localement par R = ηijp˜_ip˜_j, χ = ε_j1...jnξ^˜j1. . . ˜ξjn, ∆ = ˜p_iξ^˜i et ∆^χ =−~

i{∆, χ} = εj1...jnp˜^j1_ξ˜j2. . . ˜ξ^jn, introduits en (B.0.14). L’algèbre com-mutative des symboles invariants sous les isométries est engendrée vectoriellement par les monômes

∆^a∗ χ^bR^s, (4.116)

tels que a, b = 0, 1, s∈ N et par définition ∆ ∗ 1 = ∆, 1 ∗ χ = χ et ∆ ∗ χ = ∆χ.

On remarque que∗ est le star-produit de Moyal [76], voir (2.25), bien défini localement. Rappelons maintenant l’action des similitudes L^δ_X0 = xⁱ∂^˜_i− ˜pi∂_p˜i+ δn donnée en (4.3). Il en découle que R doit être muni d’un poids δ = _n², ∆ et ∆^χ d’un poids δ = _n¹ et χ d’un poids nul, pour être invariants sous les similitudes. Ce sont alors des symboles globalement définis.

Proposition 4.6.5. Sur la variété conformément plate (M, g), les invariants locaux sous les similitudes R, ∆, χ sont des symboles bien défini globalement, et égaux à

R =|volg|²ng^ijp_ip_j ∈ Sn²[ξ], ∆ =|volg|n¹p_iξⁱ∈ S¹n[ξ], χ = (vol_g)_j1...jnξ^j1. . . ξ^jn ∈ S⁰[ξ], (4.117) où (volg)j1...jn désignent les composantes de la forme volume de M définie par la métrique g. Nous pouvons alors déterminer les invariants conformes deTδ,Sδ[ξ] et D^λ,µ. Nous en obtenons, grâce à la proposition précédente, une expression globale pour ceux deSδ[ξ], et deT^δ car l’identification ev_g est globale. Par contre, nous ne fournissons qu’une expression locale des opérateurs différentiels conformément invariants, qui sont automatiquement des objets globaux sur la variété conformément plate (M, g).

Théorème 4.6.6. Les invariants conformes de la famille de modules (Tδ)_δ∈Rsont, via ev_g, donnés par ev−1 g  ∆^a∗ χ^bR^s ∈ T ^2s+an , (4.118)

où a, b = 0, 1 et s∈ N. La famille de modules (Sδ[ξ])_δ∈R a pour invariants conformes

∆^a∗ χ^bR^s∈ S^2s+an [ξ], (4.119)

où s∈ N et a, b = 0, 1 avec a + b 6= 0. Les invariants conformes de la famille de modules (Dλ,µ)_λ,µ∈R ont pour expressions locales, via l’ordre normal,

N (χ) ∈ D^λ,λ, ou N (∆^χ)∈ Dⁿ⁻¹2n ,ⁿ⁺¹_2n , ou N (∆ R^s)∈ D^n−2s−12n ,^n+2s+1_2n , (4.120) et ceci pour tout λ∈ R et s ∈ N.

Démonstration. Nous avons déjà montré que pour les trois familles de modules (Tδ)_δ∈R, (Sδ[ξ])_δ∈R et (Dλ,µ)_λ,µ∈R, les invariants sous les similitudes sont, à l’application de (ev_g)⁻¹ ou N⁻¹ près, de la forme ∆^a∗ χ^bR^s∈ S^2s+an [ξ], avec a, b = 0, 1 et s∈ N.

1. L’action des inversions sur le module Tδ s’obtient en combinant (4.53), qui exprime Lδ

¯

Xi en fonction de L^δ_X¯

i, et (4.4), qui fournit une expression explicite de L^δ_X¯

i. Trans-portée sur les symboles, elle s’écrit alors

ev_gLδ ¯

Xi(ev_g)⁻¹ = (x_jx^j∂^˜_i− 2xix^j∂^˜_j) + (−2˜pix_j∂_p˜j+ 2x_ip˜_j∂_p˜j+ 2˜p_kx^k∂_p˜i) +2x_jξ^˜j∂_ξ˜i− 2˜ξ_ix^k∂_ξ˜k− 2nδxi,

et annule donc les invariants sous les similitudes. Ils coïncident avec les invariants conformes de (Tδ)_δ∈R, comme annoncé en (4.118).

par L^δ_X¯

i = ev_gLδ ¯

Xi(ev_g)⁻¹− 2^~i_ξ˜_{iΨ. Il en découle, pour δ =} 2s+a n , L^δ_X¯ i  ∆^a∗ χ^bR^s =−2^~_iξ^˜_i∆^a∗ χ^b[Ψ, R^s],

car [Ψ, ∆] = [Ψ, χ] = 0. Comme [Ψ, R^s] = 2sR^s−1∆, le symbole ∆^a∗χ^bR^s ∈ S^2s+an [ξ] est invariant conforme si et seulement si a + b6= 0, d’où le résultat (4.119).

3. Enfin, l’action des inversions sur le module D^λ,µ, transportée à l’espace des symboles, est donnée en (4.10) par

L^λ,µ_X¯_i = L^δ_X¯

i+~

i(−˜pi∂_p˜j∂_p˜j+ 2˜p_j∂_p˜j∂_p˜i) +~

iχ^j_i∂_p˜j+ 2~ inλ∂_p˜i, où on rappelle que χ^j_i = ˜ξ^j∂_ξ˜i − ˜ξ_i∂_ξ˜

j + ¹₂∂_ξ˜

j∂_ξ˜i. Le symbole χ, de poids δ = 0, s’annule clairement sous l’action de cette dérivée de Lie pour tout λ = µ. Calculons maintenant, pour δ = µ− λ = ^2s_n, son action sur Rs∈ Sδ[ξ],

L^λ,µ_X¯_iR^s= 2s~ i

h

(2nλ + 2s− n)˜pi− 2˜ξi∆i R^s−1.

Ainsi, comme pour le module des symboles, Rs n’est pas invariant conforme si s6= 0. De même, l’action deL^λ,µ_X¯_i sur χR^s est égale à,

L^λ,µ_X¯_iχR^s = 2s~ i

h

(2nλ + 2s− n)˜pi− ∂_ξ˜i∆^χi R^s−1,

expression qui ne s’annule pas si s6= 0. Il nous reste à évaluer son action sur ∆∗χbRs∈ S^2s+1n [ξ], pour b = 0, 1. On obtient d’une part

L^λ,µ_X¯_i∆R^s = ~

i (2s + 1− n + 2nλ)^ξ^˜iR^s+ 2s˜pi∆R^s−1 , qui est nul si et seulement si λ = ^n−2s−1_2n , et d’autre part

L^λ,µ_X¯_i∆^χR^s= 2s~

i (2s− n + 2nλ) ˜pi∆^χR^s−1+ ~

i (4s + 1− n + 2nλ) ∂_ξ˜_iχR^s, qui est nul si et seulement si s = 0 et λ = ⁿ_2n⁻¹. Cela achève la démonstration.

La chiralité et l’opérateur de Dirac

Bien entendu, une application conformément équivariante entre deux des 3 modules Tδ, Sδ[ξ] et Dλ,µ permet d’envoyer un élément invariant conforme du module source sur un élément invariant conforme du module image. On peut ainsi utiliser la superisation

et la quantification conformément équivariante pour relier les trois invariants conformes non triviaux de plus bas degré des 3 modules, qui s’écrivent χ, ∆ et ∆^χ sur l’espace des symboles. Pour χ, la superisation est triviale et la quantification aussi, elle mène pour tout poids λ∈ R à la chiralité,

Q^λ,λ(χ) = (√

2)⁻ⁿ(volg)j1...jnγ^j1. . . γ^jn. (4.121) Précisons que γⁱ= g^ijγ(∂_j). Concernant ∆ et ∆^χ, on a le corollaire suivant.

Corollaire 4.6.7. Les deux invariants conformes de la famille de modules (Tδ

1)_δ∈R sont p_iξⁱ ∈ T n¹, qui est de poids nul et (vol_g)_j1...jnp^j1ξ^j2. . . ξ^jn ∈ T n¹, qui est de poids ⁻ⁿ⁺¹_n . Leurs superisés sont donnés par les symboles invariants conformes

Sn¹

T(p_iξⁱ) = ∆∈ S¹n[ξ], (4.122) S¹n

T((vol_g)_j1...jnp^j1ξ^j2. . . ξ^jn) = ∆^χ∈ Sn¹[ξ]. (4.123) Leurs quantifiés sont également invariants conformes, et correspondent respectivement à l’opérateur de Dirac

Qⁿ⁻¹2n ,ⁿ⁺¹_2n (∆) = ^γ

i

√

2∇i∈ Dⁿ⁻¹2n ,ⁿ⁺¹_2n , (4.124) et à son commutateur avec la chiralité,

Qⁿ⁻¹2n ,ⁿ⁺¹_2n (∆^χ) = g^ij1(vol_g)_j1...jn^γ j2 √ 2^{. . .} γjn √ 2∇i ∈ Dⁿ⁻¹2n ,ⁿ⁺¹_2n . (4.125) Les poids (ⁿ_2n⁻¹,ⁿ⁺¹_2n ) correspondent à l’une des deux résonances5

de la quantification conformément équivariante.

Rappelons que ∇i est la dérivée covariante des spineurs dans la direction ∂_i, son ex-pression est donnée en (3.66). Le poids _n¹ de l’opérateur de Dirac est conféré par |volg|n¹

qui est sous entendu. On a explicitement S

1 n T(p_iξⁱ) = p_iξⁱ|volg|¹n etQⁿ⁻¹2n ,ⁿ⁺¹_2n (p_iξⁱ|volg|¹n) = |volg|n¹ γi √ 2∇i.

D’autre part, l’indétermination de la quantification conformément équivariante Qⁿ⁻¹2n ,ⁿ⁺¹_2n , explicitée dans le Théorème 4.4.4, n’a pas de conséquence sur la quantifi-cation des symboles ∆ et ∆χ.

Remarque 4.6.8. Il est remarquable que l’opérateur de Dirac et son commutateur avec la chiralité soient précisément dans l’un des deux espaces Dλ,µ de poids résonant. Rappelons que c’était également le cas pour l’opérateur invariant conforme de Yamabe-Laplace. La deuxième résonance, correspondant aux poids (⁻¹_2n,²ⁿ⁺¹_2n ), n’est associée à aucun opérateur différentiel conformément invariant.

Obstruction à la superisation du tenseur invariant conforme g^ijp_ip_j ∈ T ²n

Les invariants conformes ev⁻¹_g (R^s) de la famille de modules (T^δ)_δ∈R n’ont pas d’équi-valent dans les deux autres familles de modules. Comme les poids δ pour lesquels le mo-dule Tδ admet un élément invariant conforme, de degré supérieur ou égal à deux, corres-pondent à des résonances pour la superisation, elle n’est pas définie sur tous les tenseurs. Explicitons ceci en calculant les superisés de H = gijpipj ∈ Tδ, χH et ∆H, qui sont invariants conformes si respectivement δ = _n², δ = _n² et δ = ³_n, cf (4.118).

Proposition 4.6.9. Soit H = gijp_ip_j ∈ Tδ, où g_ij = F η_ij est une métrique conformément plate. Pour δ 6= _n², on a S^δ_T(H) = H + ^~_{i nδ}¹₋₂ξ_iξ^j∂_pj∂_i^∇H, ou encore S^δ_T(H) = H −

~ i nδ nδ−2 Fiξi F2 ∆. Et pour tout δ, S^δ_T(χH) = χH et S^δ_T(∆H) = ∆H.

Remarquons que, comme l’expression de ∂_i^∇, donnée en (4.67), tient compte du poids des densités, on a ∂_j^∇H =−nδ^Fi

FH.

Démonstration. Pour déterminer le superisé d’un élément de T^δ on peut procéder comme dans la preuve générale d’existence et d’unicité de la superisation conformément équiva-riante. On a vu alors que le superisé de P ∈ Tδ

2 est de la forme P₂ + P₁ + P₀, avec P₂ = ev_g(P ) et, P₁ et P₀ sont déterminés par les équations 2^~_iΓΨP₂ = (γ_2,0,1;00− C_T^δ)P₁ et 2^~iΓΨP1= (γ2,0,1;00− Cδ

T)P0, où γ2,0,1;00 est la valeur propre associée au vecteur propre P₂ de Cδ

T, donnée par la formule générale (4.105). On en déduit immédiatement que pour P₂ égal à χH ou ∆H, on a P₁= P₀ = 0, d’où la superisation triviale de ces deux tenseurs. On suppose maintenant que P2 = evg(H) = g^ijp˜ip˜j. Pour trouver P1 il nous faut donc calculer tout d’abord

ΓΨP₂ = 2Γ(F⁻¹∆) =−2^Fiξ˜

i

F2 ∆∈ S1,2,0;10^δ [ξ]. Il en découle que P₁∈ Sδ

1,2,0;10[ξ] et donc C_T^δP₁= γ_1,2,0;10P₁ et P₀= 0. Nous pouvons alors évaluer (γ_2,0,1;00− C_T^δ)P₁= (2nδ− 4)P1, d’où P₁ =−~ i 2 nδ−2 Fi_ξ˜i

F2 ∆. Or un simple calcul montre que gijp˜_ip˜_j+~ i

˜ ξiFi

F2 ∆ = gijp_ip_j, d’où le résultat annoncé.

Il apparait ainsi clairement l’obstruction à la superisation si δ = _n² et il en est de même pour δ = ^2s_n avec s un entier naturel quelconque.