Quantifications équivariantes sous les similitudes des symboles de degré 1 . 119

Nous sommes en mesure de donner la forme de toutes les quantifications équivariantes sous les similitudes deSδ

≤1(Rn)[ξ]. Par définition, elles préservent le symbole principal pour la filtration en ˜p.

Proposition 4.2.4. Soit N l’ordre normal sur Rn et Q : Sδ

≤1(Rn)[ξ] → D^λ,µ1 (Rn) un

morphisme de ce(p, q)-module préservant le symbole principal pour la filtration en ˜p et

invariant par changement d’orientation. Alors Q = N ◦ Q, avec

Q = Id + c_d(Σ)D + c_γψ(Σ)ΓΨ + c_λψ(Σ)ΛΨ + c_γω(Σ)ΓΩ + c_λω(Σ)ΛΩ, (4.18)

où les coefficients c_d(Σ), . . . , cλω(Σ), sont des polynômes en Σ = ˜ξⁱ∂_ξ˜i, l’opérateur d’Euler grassmannien.

Démonstration. La composition avec l’ordre normal nous ramène à chercher les morphismes

Q deSδ

1(Rn)[ξ] pour sa structure de ce(p, q)-module. En effet les actions classiques Lδ X et quantiques L^λ,µX coïncident sur S1^δ(Rⁿ)[ξ] pour X une similitude infinitésimale. D’après la Proposition 4.1.7, Q est une somme de monômes de la forme (4.14), vérifiant la contrainte (4.15). Comme Q agit sur les symboles de degré 1 en ˜p, il en découle que chaque monôme doit comporter au plus une dérivation en ˜p, i.e. e + d + ψ + ω + 2t≤ 1. Il en découle t = 0, et en utilisant (4.15) on obtient r = g = l = 0 et δ + φ + γ + λ = ψ + ω≤ 1.

Seul le monôme égal à l’identité vérifie d + ψ + ω + 2t = 0, par préservation du symbole principal. Si d = 1, le monôme est nécessairement de la forme c_d(Σ)D, avec c_d(Σ) un

polynôme en Σ. Si ψ ou ω = 1, alors δ, φ, γ ou λ est égal à 1, les autres étant nuls. Par préservation du symbole principal, on doit avoir δ = φ = 0, d’où le résultat annoncé.

4.2.4 Les conditions d’équivariance sous les inversions

Nous étudions maintenant les contraintes additionnelles imposées par l’équivariance sous les inversions conformes infinitésimales, ¯X_i, pour Q donnée dans la proposition pré-cédente. Celles-ci s’écrivent, pour i = 1, . . . , n,

L^λ,µ_X¯_iQ = QL^δ_X¯

i. (4.19)

Le système des contraintes d’équivariance

Proposition 4.2.5. La condition d’équivariance conforme (4.19), pour les applications Q de la forme (4.18), est équivalente aux égalités opératorielles suivantes sur S1^δ(Rⁿ)[ξ],

~ i  2nλ∂_p˜i + Ψ∂_ξ˜i− ˜ξiΩ− ¹ 2^∂ξ˜iΩ  = 2c_d(Σ)(Ψ∂_ξ˜i− ˜ξiΩ + n(1− δ)∂p˜i) + 2c_γψ(Σ)(Σ− nδ)˜ξ_iΨ + 2c_λψ(Σ)(Σ− n(1 − δ))(Ψ∂_ξ˜i− ∂p˜i) (4.20) + 2cγω(Σ)(Σ− nδ)˜ξiΩ + 2c_λω(Σ)(−Σ + n(1 − δ))∂_ξ˜iΩ,

pour i = 1, . . . , n et où l’on rappelle que Ψ = ˜ξ_i∂_p˜i et Ω = ∂_ξ˜i∂_p˜i, cf Proposition 4.1.5.

La preuve de cette proposition repose sur deux lemmes, chacun d’eux donnant la forme opératorielle attendue pour l’un des membres de l’équation d’équivariance conforme (4.19), réécrite sous la forme, 

L^λ,µ_X¯_i − L^δ_X¯_i



Q = [Q, L^δ_X¯

i]. (4.21)

Commençons par le premier membre.

Lemme 4.2.6. Pour tout i = 1, . . . , n, on a l’égalité suivante,

L^λ,µ_X¯_i − L^δ_X¯_i = ~ i  2nλ∂_p˜i + Ψ∂_ξ˜i− ˜ξ_iΩ− ¹₂∂_ξ˜iΩ  (4.22)

Démonstration. Il suffit d’utiliser l’écriture (4.10) de L^λ,µ_X¯_i, ainsi que les formules des gé-nérateurs Ψ et Ω de e(p, q)^!₊, données dans la Proposition 4.1.5, pour obtenir la formule annoncée.

son produit avec Q, restreint aux symboles de degré 1 en p, le laisse invariant. Il reste alors à évaluer le second membre de (4.21).

Lemme 4.2.7. Soit Q un endomorphisme de Sδ

≤1(Rⁿ)[ξ] de la forme (4.18). Pour tout i = 1, . . . , n, on a l’égalité suivante, [Q, L^δ_X¯ i] = 2c_d(Σ)(Ψ∂_ξ˜i− ˜ξ_iΩ + n(1− δ)∂p˜i) + 2c_γψ(Σ)(Σ− nδ)˜ξ_iΨ + 2c_λψ(Σ)(Σ− n(1 − δ))(Ψ∂_ξ˜i− ∂p˜i) (4.23) + 2c_γω(Σ)(Σ− nδ)˜ξ_iΩ + 2c_λω(Σ)(−Σ + n(1 − δ))∂_ξ˜iΩ.

La démonstration de ce lemme est effectué dans l’Annexe A, elle est de nature essen-tiellement calculatoire,.

Solution des contraintes d’équivariance

Grâce au Lemme 4.2.2, les cinq coefficients, polynômiaux en Σ, intervenant dans l’ex-pression (4.18) de Q, sont déterminés sur l’espace des symboles par leur valeurs en les entiers 0, . . . , n. Le lemme suivant traduit le système d’équations opératorielles (4.20) en équations sur les n + 1 valeurs de ces cinq coefficients.

Lemme 4.2.8. Le système d’équations opératorielles (4.20) sur Sδ

1(Rn)[ξ] est équivalent

au système d’équations suivant si n≥ 2, n(1− δ) (cd(0) + c_λψ(0)) = ~ inλ, (4.24) n(1− δ) (cd(n) + c_γω(n)) = ~ inλ, (4.25) (n(1− δ) + 1) cd(κ) = ~ i  nλ +¹ 2  , pour κ∈ J1, n − 1K, (4.26) c_γψ(κ)(κ + 2− nδ) = 0, pour κ∈ J0, n − 2K, (4.27) c_λω(κ)(−κ + 2 + n(1 − δ)) = −^~ 4i^{, pour κ}∈ J2, nK (4.28) −cd(κ) + (κ− nδ)cγω(κ) = −^~ 2i^{, pour κ}∈ J1, n − 1K, (4.29) c_d(κ) + (κ− n(1 − δ))cλψ(κ) = ~ 2i^{, pour κ}∈ J1, n − 1K. (4.30)

Démonstration. Il s’agit donc de résoudre, sur son domaine de définition Sδ

1(Rn)[ξ], la famille d’équations opératorielles (4.20), que doivent satisfaire les coefficients c_d(Σ), c_γψ(Σ),

c_λψ(Σ), c_γω(Σ), c_λω(Σ). Utilisant le Lemme 4.2.2, et raisonnant pour i fixé2

entre 1 et n, l’équation (4.20) est équivalente à n + 1 équations opératorielles,

~ i  2nλ∂_p˜i+ Ψ∂_ξ˜i− ˜ξ_iΩ−¹₂∂_ξ˜iΩ  = 2c_d(κ)(Ψ∂_ξ˜i− ˜ξ_iΩ + n(1− δ)∂p˜i) + 2c_γψ(κ)(κ + 2− nδ)˜ξiΨ (4.31) + 2c_λψ(κ)(κ− n(1 − δ))(Ψ∂_ξ˜i − ∂p˜i) + 2c_γω(κ)(κ− nδ)˜ξ_iΩ + 2c_λω(κ)(−κ + 2 + n(1 − δ))∂_ξ˜iΩ, où κ = 0, . . . , n, le domaine de définition des deux membres étant Sδ

1,κ(Rⁿ)[ξ]. Cinq opé-rateurs apparaissent dans cette équation, ∂_p˜i, Ψ∂_ξ˜i, ˜ξ_iΩ, ˜ξ_iΨ, ∂_ξ˜iΩ. Les deux derniers sont indépendants de tous les autres, ou nuls, sur chaque espaceSδ

1,κ(Rⁿ)[ξ]. En effet, ˜ξ_iΨ aug-mente de 2 le degré en ˜ξ et ∂_ξ˜iΩ le diminue de 2, quand les trois autres opérateurs le laisse invariant.

On peut donc isoler, pour tout κ = 0, . . . , n, les termes en facteur de chacun de ces deux opérateurs. Pour ˜ξ_iΨ, cela mène à c_γψ(κ)(κ + 2− nδ)˜ξ_iΨ = 0, et pour ∂_ξ˜iΩ, cela conduit à 2c_λω(κ)(−κ + 2 + n(1 − δ))∂_ξ˜iΩ = −~

2i∂_ξ˜iΩ. On détermine trivialement les valeurs de κ pour lesquelles ces opérateurs sont nuls et donc ces équations triviales. On obtient d’une part,

c_γψ(κ)(κ + 2− nδ) = 0, pour κ ∈ J0, n − 2K, et d’autre part,

c_λω(κ)(−κ + 2 + n(1 − δ)) = −^~

4i^{, pour κ}∈ J2, nK.

Il nous reste à traduire les n+1 équations opératorielles pour les trois autres opérateurs in-tervenant : ∂_p˜i, Ψ∂_ξ˜i, ˜ξiΩ. On constate tout d’abord que seul ∂_p˜i est non nul surSδ

1,0(Rⁿ)[ξ] ; il en découle que

n(1− δ) (cd(0) + c_λψ(0)) = ~

inλ. (4.32)

Ensuite, les trois opérateurs coïncidant sur S1,n^δ (Rⁿ)[ξ], on obtient n(1− δ) (cd(n) + c_γω(n)) = ~

inλ. (4.33)

Nous pouvons alors traiter en bloc les cas où κ = 1, . . . , n− 1, en spécifiant à chaque fois une fonction non nulle pour un seul des trois opérateurs. Pour cela nous utiliserons le fait que la dimension de M est n ≥ 2. Ainsi ∂p˜i et ˜ξ_iΩ sont nuls sur une fonction du type ˜p_jξ^˜iξ^˜j1. . . ˜ξ^jκ−1, avec j 6= i, j1, . . . , j_κ−1, mais pas Ψ∂_ξ˜i. On extrait ainsi de (4.31) les

équations suivantes,

c_d(κ) + (κ− n(1 − δ))cλψ(κ) = ~

2i^{, pour κ}∈ J1, n − 1K. (4.34) De même, sur une fonction du type ˜p_jξ^˜jξ^˜j1. . . ˜ξ^jκ−1, où on ne somme pas sur j et où i6= j, j1, . . . , jκ−1, les opérateurs ∂_p˜i et Ψ∂_ξ˜i sont nuls, mais pas l’opérateur ˜ξiΩ. De (4.31) s’ensuit donc,

−cd(κ) + (κ− nδ)cγω(κ) =−_2i^~, pour κ∈ J1, n − 1K. (4.35) Il ne reste plus qu’à constater que les n équations opératorielles (4.31) sont équivalentes aux équations précédemment obtenues pour les coefficients, avec en plus les n−1 équations suivantes, venant des facteurs en ∂_p˜i,

n(1− δ)cd(κ)− (κ − n(1 − δ)) cλψ(κ) = ~

inλ, pour κ∈ J1, n − 1K. (4.36) Nous sommons enfin cette équation avec l’antépénultième (4.34), pour aboutir à

(n(1− δ) + 1) (cd(κ)) = ~

i(nλ + ¹

2^{), pour κ}∈ J1, n − 1K, et achever ainsi la preuve du lemme.

De ce dernier lemme découle la proposition suivante.

Proposition 4.2.9. La condition d’équivariance conforme (4.19), pour les applications

Qλ,µ de la forme (4.18), est équivalente, pour n≥ 2, à

(Σ− nδ)cγψ(Σ)ΓΨ = 0 (Σ = 2, . . . , n) (4.37) (n(1− δ) − Σ)cλω(Σ)ΛΩ = −_4i^~ΛΩ (Σ = 0, . . . , n− 2) (4.38) (n(1− δ) + 1) cd(Σ) = ~ i  nλ +¹ 2  (Σ = 0, . . . , n) (4.39) (Σ− nδ)cγω(Σ)ΓΩ =  c_d(Σ)− ^~ 2i  ΓΩ (Σ = 1, . . . , n) (4.40) (n(1− δ) − Σ)cλψ(Σ)ΛΨ =  c_d(Σ)− ^~ 2i  ΛΨ (Σ = 0, . . . , n− 1), (4.41)

les valeurs entre parenthèses désignant les valeurs que peuvent prendre Σ sur un monôme. Rappelons que Γ = ˜ξi_∂˜_{i et Λ = ∂˜}

ξi

˜

∂_i, cf Proposition 4.1.5.

Démonstration. Soit Q donné par (4.18), vérifiant la condition d’équivariance conforme

(4.19). La Proposition 4.2.5 montre alors que ses coefficients sont déterminés par l’équation opératorielle (4.20), traduite en un système d’équations sur les coefficients dans le lemme

précédent. L’équation (4.27) de ce système, combinée avec le fait que ΓΨ augmente de 2 le degré en ˜ξ, conduit à (4.37). De même, l’équation (4.28) combinée avec le fait que ΛΩ diminue de 2 le degré en ˜ξ conduit à (4.38).

Les équations (4.26), (4.29), (4.30), conduisent aux égalités opératorielles correspon-dantes, respectivement (4.39), (4.40), (4.41), sur l’espace Ln−1

κ=1Sδ

1,κ[ξ]. Il reste à montrer ces égalités opératorielles sur Sδ

1,0[ξ] et Sδ 1,n[ξ].

Tout d’abord, l’équation (4.26), qui fixe c_d(κ) pour κ = 1, . . . , n− 1, (n(1− δ) + 1) cd(κ) = ~ i  nλ +¹ 2  ,

peut être prolongée à tout κ pour obtenir l’équation (4.39). Ce choix est sans influence pour la quantification Q. En effet, D et ΛΨ étant égaux sur S1,0^δ [ξ], et D et ΓΩ étant égaux sur Sδ

1,n[ξ], seules les sommes c_d(0) + c_λψ(0) et c_d(n) + cγω(n) importent, et non les valeurs individuelles des coefficients. Une fois les valeurs de c_d(0) et c_d(n) fixées par l’égalité(4.39), les coefficients c_λψ(0) et c_γω(n) sont alors déterminés via respectivement les équations (4.24) et (4.25). Ainsi la valeur de cγω(n) est donnée par

n(1− δ) (cd(n) + c_γω(n)) = ~ inλ,

où c_d(n) est donné par (4.39). En ajoutant c_d(n) à chaque membre on obtient alors ~ i  nλ +¹ 2  + n(1− δ)cγω(n) = c_d(n) +~ inλ,

qui coïncide avec (4.40) pour Σ = n. Il suffit alors de constater que ΓΩ est nul sur les symboles de degré 0 en ˜ξ pour aboutir à l’équation opératorielle (4.40) sur Sδ

1[ξ].

Le raisonnement pour obtenir la dernière équation (4.41) est le même. Le coefficient c_λψ(0) fixé par (4.39) et (4.24) correspond à celui donné par (4.41) pour Σ = 0. La nullité de ΛΨ sur les symboles de degré n en ˜ξ conduit alors à l’équation opératorielle (4.41) surSδ

1[ξ].

4.2.5 La quantification conformément équivariante Qλ,µ des symboles de