La quantification G-équivariante

c , et donc l’es-pace des observables quantiques sera naturellement dans notre cadreD¹2,¹₂. L’adjonction est donc bien définie, et l’axiome de réalité (2.10) est vérifié. Chaque résultat pour la famille de modules S^δ et D^λ,µ sera à interpréter pour δ = 0 et λ = µ = ¹₂ pour obtenir une extension de la quantification géométrique. Il est intéressant par ailleurs de montrer que si λ + µ = 1 la quantification respecte encore l’axiome de réalité, i.e. fournit des opérateurs symétriques si elle est restreinte aux symboles à coefficients réels.

2.2.2 La quantification G-équivariante

Nous pouvons maintenant définir ce que nous appellerons une quantification G-équivariante.

Définition 2.2.3. [67, 34] Soit G un groupe agissant localement sur une variété M , d’al-gèbre de Lie g. Une quantification G (ou g) -équivariante de M est un isomorphisme de g-module, Q :Sδ→ Dλ,µ, préservant le symbole principal.

Une quantification peut s’interpréter comme une correspondance entre symboles et opérateurs différentiels et fournit un calcul symbolique pour les opérateurs différentiels. Une telle quantification serait naturelle si G = Diff(M ) mais il n’existe pas de quantification Diff(M )-équivariante, voir la Proposition 2.1.8.

Nous allons donc nous intéresser à des groupes G agissant localement sur la variété M par difféomorphismes. L’existence d’une telle action est équivalente à celle d’une structure plate. Après avoir défini cette notion, nous montrons qu’une quantification G-équivariante se transporte de Rn à une variété munie d’une G-structure plate, et récipro-quement. Nous exposons ensuite les résultats d’existence et d’unicité qui ont été obtenus pour la quantification équivariante relativement à des groupes dits maximaux [13, 15]. Définition d’une G-structure plate sur une variété

Soit H un sous-groupe du groupe structural des k-jets, avec k un entier quelconque. Son algèbre de Lie h est donc isomorphe à une sous-algèbre de Lie de Vect_∗(Rⁿ), les champs de vecteurs polynomiaux sur Rn. Elle admet naturellement une graduation, donnée par la valeur propre de l’action adjointe du champ d’Euler E = xi∂_i. Ainsi, on a Vect_∗(Rⁿ) =

L_∞

k=−1Vect_k(Rⁿ), avec Vect_k(Rⁿ) l’espace des champs de vecteurs à coefficients homogènes de degré k + 1. On pose g = Vect₋₁(Rn)⊕ h, et on note G le groupe de Lie associé, dont l’action sur Rn est engendrée par celle de H et par les translations.

Une H-structure sur une variété M, de dimension n, est la donnée d’une réduction d’un fibré de k-repères à un fibré principal de fibre H [80, 55]. Par abus de langage, on parle de G-structure au lieu de H-structure pour les groupes conforme et projectif notamment.

Si M admet une action globale et transitive de G, alors M s’identifie à G/H. Une telle variété est un espace homogène, elle est canoniquement munie d’une H-structure dite H-structure plate standard. Par exemple, SL(n + 1, R)/Aff(n, R) ≃ RPn est un es-pace homogène projectif, et, notant CE(p, q) le groupe des similitudes de Rn muni de la métrique plate de signature (p, q), SO(p + 1, q + 1)/CE(p, q) ≃ Sp× Sq est un espace homogène conforme.

Si l’action de G est locale transitive, M est encore canoniquement munie d’une H-structure, pour H un sous-groupe d’isotropie de G. Une telle H-structure est plate, i.e. localement isomorphe à une H-structure plate standard [80]. Ceci signifie qu’il existe un atlas (U_α, ϕ_α) de M , tel que les U_αsont des ouverts de G/H et les fonctions de transitions sont données par des éléments de G. Réciproquement, l’existence d’une H-structure plate implique l’existence d’une action locale transitive de G, par transport par les cartes de l’atlas.

Comme l’algèbre de Lie g se plonge dans Vect_∗(Rn), le groupe G agit localement sur Rn, qui est ainsi munit d’une H-structure plate. D’autre part, G/H admet un atlas sur Rn dont les cartes sont des morphismes de G-modules. Une variété M munie d’une H-structure admet donc un atlas (V_α, ψ_α), où les V_α sont des ouverts de Rn et les fonctions de transitions sont données par l’action d’éléments de G sur ces ouverts.

Résumons ce qui précède par la définition d’une G-structure plate sur une variété, où par abus de langage il est fait référence à G et non à H.

Définition 2.2.4. La donnée d’une G-structure plate sur une variété M est la donnée d’une des trois conditions équivalentes suivantes :

1. il existe une action locale transitive de G sur M .

2. il existe un isomorphisme local de G-structure entre M et G/H muni de sa structure plate standard.

3. il existe un atlas (U_α, ϕ_α) de M , où les U_α sont des ouverts de Rn et les fonctions de transitions ϕ_α◦ ϕ⁻¹_β coïncident sur leurs domaines avec l’action d’éléments de G.

Une variété M admettant une G-structure plate est dite G-plate. Du cas plat Rⁿ au cas G-plat M

Le lemme suivant est essentiel par la suite, il permet de ramener l’étude des morphismes G-équivariant sur une variété munie d’une G-structure plate à Rn. On note g l’algèbre de Lie de G, et on suppose que représentée sur Rnelle contient les translations.

Lemme 2.2.5. Soit M une variété munie d’une G-structure plate de dimension n, telle que l’action de g sur Rⁿ contient les translations. Soient S et D deux faisceaux sur M de g-modules, qui sont localement isomorphes à S(Rn) etD(Rn), deux faisceaux de g-modules

sur Rⁿ, via l’action des cartes du G-atlas relevée à S et D. Les morphismes entre S et D

sont alors en correspondance biunivoques avec ceux entre S(Rn) et D(Rn).

Démonstration. Soit (U, φ) et (V, ψ) deux cartes du G-atlas de M . L’application φ étant

équivariante sous l’action de G, sur M et Rn respectivement, elle induit un morphisme de g-modules entre S(U) et S(φ(U)), ainsi que entre D(U) et D(φ(U)), noté encore φ. La carte (V, ψ) définit de même un morphisme de g-modules entre S(V ) et S(ψ(V )), ainsi que entre D(V ) et D(ψ(V )).

Soit Q un morphisme de g-modules entre S(Rn) et D(Rⁿ), que nous notons encore Q restreint à φ(U) et ψ(V ). Il induit sur U et V les morphismes de g-modules : QU = φ⁻¹Qφ, et QV = ψ⁻¹Qψ. L’équivariance de Q sous l’action de g assure qu’ils sont égaux sur U∩V . En effet sur U ∩ V , on a QV = φ⁻¹(φψ⁻¹)Q(ψφ⁻¹)φ, et ψφ⁻¹ coïncide avec l’action d’un élément de G sur Rn, d’où l’équivariance de Q permet de conclure que QU =QV sur U ∩V . Ainsi, à tout morphisme Q entre S(Rn) etD(Rn), on associe un morphisme entre S et D, le recollement étant assuré entre cartes du G-atlas.

La réciproque se montre de la même façon : à un morphisme Q entre S et D on associe des morphismes entre S(Rn) et D(Rⁿ) via les cartes du G-atlas, qui sont tous égaux par g-équivariance de Q. Précisons que les morphismes sont étendus d’un ouvert de Rnà tout Rn par équivariance sous les translations.

Les faisceaux S et D intervenant dans ce lemme sont généraux, ils sont, dans ce cha-pitre, issus de l’algèbre des opérateurs différentiels et de leurs symboles. De plus, les ex-pressions des actions de Vect(M) sur l’espace des symboles et des opérateurs différentiels sont les mêmes que sur Rndans tout système de coordonnées locales (xi, p_i) de T^∗M . Ainsi les cartes d’un G-atlas induisent bien des isomorphismes locaux entre les faisceaux de g-modules au-dessus de M et Rn, des symboles et des opérateurs différentiels respectivement. Les hypothèses du Lemme 2.2.5 sont donc satisfaites par la quantification g-équivariante si gcomprend les translations. L’obtention d’une quantification g-équivariante sur une variété admettant une G-structure plate est donc équivalente à son obtention sur Rn, le passage de l’une à l’autre étant assuré par les cartes d’un G-atlas. Leur expression en G-coordonnées sont donc les mêmes.

Résultats en quantification G-équivariante

Le premier résultat d’existence et d’unicité d’une quantification G-équivariante sur M, suivant la Définition 2.2.3, a été prouvé dans [67] pour le groupe projec-tif SL(n + 1, R), sur une variété admettant une structure projective plate, de modèle RPn≃ SL(n + 1, R)/Aff(n, R). Plus précisément, l’existence et l’unicité de la quantifica-tion, Qλ,µ : Sδ → Dλ,µ, sont assurées en dehors d’un ensemble de valeurs de δ = µ − λ

dites résonantes. Dans le cas projectif, ces valeurs sont

δ = ^k

n + 1^, (2.43)

où n est la dimension de la variété, et k est un entier supérieur ou égal à n + 1. Dans les cas résonants, l’unicité est perdue. D’autre part, l’existence d’une formule explicite pour la quantification projectivement équivariante des symboles de tout degré a permis de l’étendre à des symboles plus généraux, via des fonctions hypergéométriques non commutatives [38]. L’existence et l’unicité de la quantification équivariante ont ensuite été prouvé, pour δ non résonant, dans le cas du groupe conforme O(p + 1, q + 1), sur une variété M confor-mément plate de modèle Sp× Sq≃ SO(p + 1, q + 1)/CE(p, q) [34], avec CE(p, q) le groupe des similitudes pour une métrique plate de signature (p, q). L’ensemble des résonances est donné par Σ ={δk,l;s,t|k, l, s, t ∈ N; k ≥ l; 2s ≤ k; 2t ≤ l}, (2.44) où δ_k,l;s,t = ¹ n(k− l)^{[(k− l + t − s)(k + l − 2(s + t) + n − 1) (2.45)} + (s− t)(k + l + 1) + 2(kt − ls)] .

Les résonances peuvent correspondre soit à un défaut d’unicité, soit à un défaut d’exis-tence de la quantification conformément équivariante. Contrairement au cas projectif, cette dernière n’est pas donnée par une formule explicite, le résultat est obtenu grâce à la diago-nalisation des opérateurs de Casimirs des représentations sur Sδ et Dλ,µ de o(p + 1, q + 1). La propriété fondamentale est la maximalité des algèbres de Lie projectives sl(n + 1, R) [67] et conformes o(p + 1, q + 1) [13] en tant que sous-algèbres de Lie de dimension finie de Vect_∗(Rn), les champs de vecteurs polynomiaux sur Rn. Pour toutes sous-algèbres strictes de ses deux algèbres de Lie, on perd l’unicité de la quantification, et pour tout prolongement strict, on perd l’existence. Il est donc naturel de poser la question : l’existence et l’unicité d’un quantification g-équivariante sur Rn est-elle équivalente à la maximalité de g, en tant que sous-algèbre de Lie de dimension finie de Vect_∗(Rⁿ) ? Une réponse partielle a été donnée dans [15], nous en donnons les grandes lignes. D’une part, les sous-algèbres de Lie maximales de Vect_∗(Rn) ont été identifiées dans [14], comme étant les IFFT-algèbres classifiées dans [56]. D’autre part, suivant la démonstration mise en œuvre dans le cas conforme, l’existence d’une quantification g-équivariante, Qλ,µ : Sδ → Dλ,µ, est prouvée dans [15] pour toutes les IFFT-algèbres, en dehors de valeurs critiques pour les poids λ et µ. En revanche, la question de l’unicité d’une telle quantification dans le cas général reste ouverte.