Diagonalisation des 3 opérateurs de Casimir C δ

T, C^δ, et C^λ,µ

Nous montrons ici trois Propositions 4.5.16, 4.5.17 et 4.5.18, concernant la diagonali-sation des trois opérateurs de Casimir Cδ

T, Cδ et Cλ,µ données respectivement en (4.80), (4.81) et (4.82). Nous diagonalisons tout d’abord l’opérateur de Casimir C_T^δ du moduleT^δ et identifions ses sous-espaces propres. Les deux autres opérateurs de Casimir s’exprimant comme la somme de Cδ

T avec un opérateur faisant baisser strictement le degré en p, leur diagonalisation découlera du Lemme 4.5.8.

Préambule à la diagonalisation de l’opérateur Cδ T

Commençons par rappeler l’expression de l’opérateur de Casimir du module (Tδ, L^δ), fournie en (4.80),

C_T^δ = 2(∆Ω + ΦΨ) + RT + Σ(Σ− n) + 2n (n(δ − 1) − E) E − n²δ(δ− 1). (4.86) L’opérateur Cδ

T est ainsi polynomial en les quatre opérateurs

∆Ω + ΦΨ, RT, Σ, E. (4.87)

Le seul commutateur dont le calcul est non trivial est [RT, ∆Ω + ΦΨ], tous les autres sont nuls. Les étapes intermédiaires sont riches d’enseignement, ainsi [RT, ∆Ω] = RΨΩ− ∆ΦT prouve que les opérateurs RT et ∆Ω ne commutent pas, tout comme RT et ΦΨ, dont le commutateur est [RT, ΦΨ] = RΩΨ−Φ∆T. Comme, par ailleurs, [Ψ, Ω] = T et [∆, Φ] = R, la conclusion est aisée,

[RT, ∆Ω + ΦΨ] = 0. (4.88)

Ainsi pour diagonaliser Cδ

T nous allons diagonaliser simultanément les quatre opéra-teurs ∆Ω + ΦΨ, RT , Σ etE.

Stratégie pour diagonaliser l’opérateur Cδ T

L’opérateur Cδ

T est polynomial en quatre opérateurs ∆Ω+ΦΨ, RT, Σ,E qui commutent entre eux, et se diagonalisent donc simultanément. Nous obtenons aisément la Proposition 4.5.10, donnant la diagonalisation simultanée des 3 opérateurs RT,E et Σ, la difficulté réside

en fait dans la diagonalisation de ∆Ω + ΦΨ. D’après la Proposition 4.5.10, elle se ramène à exprimer ∆Ω + ΦΨ sur le noyau de T , qu’il stabilise, en fonction de E et Σ. Pour cela, nous introduisons le projecteur Π₀ sur ker T , afin de définir par restriction et projection les endomorphismes ∆₀, Ω₀, Φ₀, Ψ₀ de ker T . On a alors ∆₀Ω₀+ Φ₀Ψ₀ = ∆Ω + ΦΨ sur ker T . Le Lemme 4.5.13 montre alors que Φ0Ψ0 est nul ou s’exprime en fonction de E et Σ sur l’espace ker Ω₀. Ensuite, le Lemme 4.5.14 conduit à la décomposition selon ker Ω₀ ⊕ ∆₀ker Ω₀ du noyau de T . Nous en déduisons la Définition 4.5.15 des sous-espaces propres de C_T^δ et la Proposition 4.5.16 fournissant la diagonalisation de C_T^δ.

Diagonalisation simultanée de E, Σ et RT

Rappelons tout d’abord les expressions des quatre invariants euclidiens, donnés en (4.12)

E = ˜pi∂_p˜i, Σ = ˜ξⁱ∂_ξ˜i, R = ˜pⁱp˜_i, T = ∂_p˜i∂_p˜i. (4.89) La diagonalisation simultané des opérateurs E, Σ et RT demande un raffinement de la bi-graduation, cf (3.105), de l’espace des symbolesSδ[ξ] =L_∞

k=0

Ln κ=0Sδ

k,κ[ξ], qui, rappelons-le, correspond à la décomposition en sous-espaces propres de E et Σ, de valeurs propres respectives k et κ sur Sδ

k,κ[ξ]. Définition 4.5.9. L’espace Sδ

∗,∗,s[ξ] est le sous-espace R^sker T de Sδ[ξ], avec s ∈ N ; on note Sδ

k,κ,s[ξ] son intersection avec Sδ

k,κ[ξ]. Enfin, on désigne par γ_∗,∗,s(A) et γ_k,κ,s(A) les restrictions d’un opérateur A aux sous-espaces S_∗,∗,s^δ [ξ] etSk,κ,s^δ [ξ].

Remarquons que le Lemme 2.3.7, énoncé sur S^δ, se prolonge trivialement à S^δ[ξ], et fournit, en particulier ker T^s=Ls

s′=0Sδ

∗,∗,s′[ξ]. On peut alors formuler une généralisation directe d’un résultat classique [104].

Proposition 4.5.10. L’espace des symboles admet la décomposition suivante

S^δ[ξ] = ∞ M k=0 n M κ=0 [k/2]M s=0 Sk,κ,s^δ [ξ], (4.90)

et les restrictions des 4 opérateurs composant C_T^δ à ces sous-espaces sont données par γ_k,κ,s(E) = k (4.91) γ_k,κ,s(Σ) = κ (4.92) γ_k,κ,s(RT ) = 2s (n + 2(k− s − 1)) (4.93) γ_k,κ,s(∆Ω + ΦΨ) = 2s + R^sγ_k−2s,κ,0(∆Ω + ΦΨ). (4.94) Spécifions que l’on a d’une part γ_∗,∗,s(RT ) = 2s (n + 2(E − s − 1)), et d’autre part γ_∗,∗,s(∆Ω + ΦΨ) = 2s + R^sγ_∗,∗,0(∆Ω + ΦΨ).

Démonstration. Le Lemme 2.3.7 s’applique, il fournit la décomposition S^δ[ξ] =

L_∞

s=0Sδ

∗,∗,s[ξ] ainsi que

γ_∗,∗,s(RT ) = 2s (n + 2(E − s − 1)) . (4.95) La preuve de la Proposition 2.3.7 se prolonge trivialement à ce nouveau cadre, on obtient ainsi la décomposition cherchée. Comme Sδ

k,κ,s[ξ] ⊂ Sδ

k,κ[ξ], on trouve γ_k,κ,s(E) = k et γ_k,κ,s(Σ) = κ ; de la formule (4.95) on déduit alors γ_k,κ,s(RT ) = 2s (n + 2(k− s − 1)).

Il reste alors à étudier la restriction de ∆Ω + ΦΨ sur les sous-espaces Sδ

k,κ,s[ξ]. Soit P ∈ Sδ

k,κ,s[ξ], alors par définition P ∈ Rsker T , et il existe donc Q∈ ker T tel que P = RsQ. Comme on a [∆Ω + ΦΨ, R] = 2R, l’action de l’opérateur ∆Ω + ΦΨ sur le symbole P est donnée par

(∆Ω + ΦΨ)P = 2sP + R^s(∆Ω + ΦΨ)Q, (4.96)

et le résultat en découle.

Sous-espaces propres de ∆Ω + ΦΨ

Diagonaliser ∆Ω + ΦΨ sur chaque sous-espace Sδ

k,κ,s[ξ] est équivalent à l’exprimer en fonction de E et Σ sur ker T = S_∗,∗,0^δ [ξ], ce que nous allons faire maintenant. Nous travaillons pour cela avec les opérateurs ∆Ω et ΦΨ séparément, parfois même avec ∆, Ω, Φ et Ψ individuellement. Mais si ∆Ω + ΦΨ stabilise ker T , ce n’est pas le cas de ∆ et Φ. Nous introduisons donc le projecteur suivant.

Proposition 4.5.11. La restriction de l’opérateur Id−_2(n+2(¹_E−2))RT à ker T² définit le projecteur Π0 : ker T² → ker T .

Démonstration. Tout d’abord montrons que l’expression donnant Π₀ est bien définie. Comme Π₀ commute à E, il suffit de le montrer sur Sδ

k[ξ] pour tout k. Ceci est alors trivial. Si k < 2, Π₀ est l’identité, et si k≥ 2 on a Π0 = Id−_2(n+2(k¹ ₋₂₎₎RT .

Ensuite, on a ker T² = Sδ

∗,∗,1[ξ] ⊕ Sδ

∗,∗,0[ξ], et la Proposition 4.5.10 montre que γ_∗,∗,1(RT ) = 2 (n + 2(E − 2)). L’opérateur Π0 est donc nul surSδ

∗,∗,1[ξ]. Comme par défini-tion S_∗,∗,0^δ [ξ] = ker T , Π₀ vaut l’identité surS_∗,∗,0^δ [ξ], et c’est donc bien un projecteur.

Rappelons maintenant l’expression des 4 opérateurs, invariants sous les isométries, qui constituent ∆Ω + ΦΨ. Conformément à (4.12), on a

∆ = ˜ξⁱp˜_i, Φ = ˜p_i∂_ξ˜i, Ψ = ˜ξ_i∂_p˜i, Ω = ∂_ξ˜i∂_p˜i. (4.97) Comme [T, Ω] = [T, Ψ] = 0, les opérateurs Ω et Ψ stabilisent ker T . D’autre part, on a [T², ∆] = 2ΨT et [T², Φ] = 2ΩT , d’où ∆(ker T ) ⊂ ker T2 et Φ(ker T )⊂ ker T2. On peut donc introduire la définition suivante.

Définition 4.5.12. On désigne par Ω₀ et Ψ₀ les restrictions de Ω et Ψ à S_∗,∗,0^δ [ξ], et par ∆0 et Φ0 les restrictions de Π0∆ et Π0Φ àSδ

∗,∗,0[ξ].

Les quatre opérateurs nouvellement définis sont donc des endomorphismes deSδ ∗,∗,0[ξ]. Commençons par donner leur table de commutation, d’usage constant par la suite,

[·, ·] ∆₀ Φ₀ Ψ₀ Ω₀ ∆0 0 0 −4c∆0Ψ0 (n +E − Σ) − 4cΦ0Ψ0 Φ₀ 0 0 Σ +E − 4c∆0Ω₀ −4cΦ0Ω₀ Ψ₀ −4c∆0Ψ₀ Σ +E − 4c∆0Ω₀ 0 0 Ω₀ (n +E − Σ) − 4cΦ0Ψ₀ −4cΦ0Ω₀ 0 0 (4.98) où c = _2(n+2(¹_E−1)) (il est issu du coefficient de RT dans Π₀, l’écart de 1 dans le facteur comportant E est dû à la commutation avec Ψ ou Ω qui font baisser de 1 le degré en ˜p). Le premier point essentiel qui en découle est la non commutation de ∆₀Ω0 et Φ₀Ψ0,

[Φ₀Ψ₀, ∆₀Ω₀] =−4c∆0Φ₀Ψ₀Ω₀. (4.99) Nous allons décomposer l’espace Sδ

∗,∗,0[ξ] selon ker Ω0⊕ ∆0ker Ω0, puis raffiner cette dé-composition en sous-espace propres de Φ₀Ψ₀. Ce raffinement repose sur le lemme suivant. Lemme 4.5.13. Le noyau de l’opérateur Ω₀ admet la décomposition suivante ker Ω₀ = (ker Ω0∩ ker Φ0Ψ0)⊕ (ker Ω0∩ imΦ0Ψ0), et restreint à chacun de ces deux sous-espaces, l’opérateur Φ₀Ψ₀ est égal respectivement à 0 etE + Σ.

Démonstration. La preuve repose sur le calcul du carré de Φ₀Ψ₀,

(Φ0Ψ0)² = (E + Σ)Φ0Ψ0− 4Φ0^c∆0Ψ0Ω0. (4.100) Remarquons alors que l’opérateur _E+Σ¹ Φ₀Ψ₀ est bien défini : pour P un symbole, Φ₀Ψ₀P est nul ou de degré au moins 1 en p. Ainsi, restreint à ker Ω₀∩Sδ

k,κ[ξ], l’opérateur _E+Σ¹ Φ₀Ψ₀ est un projecteur, d’où le résultat.

Nous pouvons désormais formuler le lemme central pour la diagonalisation de C_T^δ, il fournit la décomposition Sδ

∗,∗,0[ξ] = ker Ω₀⊕ ∆0ker Ω₀. Lemme 4.5.14. On a la suite exacte scindée suivante

0 //ker Ω₀ //Sδ ∗,∗,0[ξ] ^aΩ0 //ker Ω₀ ∆0 jj //0, (4.101) où a = ((n +E − Σ) − 2cΦ0Ψ₀))⁻¹.

Démonstration. Montrons tout d’abord que l’opérateur aΩ₀ est bien défini. Introduisons A = (n +E − Σ) − 1

(n+2(E−1))Φ0Ψ0, l’inverse de a. Il est bien défini car l’image Φ0Ψ0P d’un symbole P est nulle ou de degré au moins 1 en p, ainsiE est toujours de valeur supérieure ou égale 1. Il stabiliseSk,κ^δ ainsi que ker Ω₀car [Ω₀, A] = _(n+2²_E)cΦ₀Ψ₀Ω₀. D’après le Lemme 4.5.13, A est donc diagonalisable sur Sδ

k,κ∩ ker Ω0. Il a pour valeur propre λ = n + k− κ sur le noyau de ΦΨ, et n + k− κ − _n+2(k^k+κ₋₁₎ sur l’image de ΦΨ, où k ≥ 1. Ainsi la plus petite valeur propre de A est strictement positive si κ < n, cet opérateur est donc un isomorphisme de L

κ<nSδ

∗,κ∩ ker Ω0, qui est un espace contenant imΩ0, et contenu dans ker Ω₀. Il en découle que A⁻¹Ω₀ = aΩ₀ est bien défini et d’image contenue dans ker Ω₀.

Par définition de ∆₀, on a ∆₀(ker Ω₀)⊂ Sδ

∗,∗,0[ξ], il suffit donc de montrer que aΩ₀∆₀ est égal à l’identité sur ker Ω₀ pour conclure. Or, on a Ω₀∆₀ = [Ω₀, ∆₀] sur ker Ω₀, et en explicitant a et ce commutateur, on obtient comme voulu

aΩ0∆0= ((n +E − Σ) − 2cΦ0Ψ0))⁻¹((n +E − Σ) − 2cΦ0Ψ0) = Id. Ceci achève la preuve du lemme.

Nous pouvons définir alors une nouvelle famille de sous-espaces deSδ[ξ]. Définition 4.5.15. Les sous-espaces Sδ

k,κ,s; ab[ξ], où les indices sont entiers et ont pour domaines k∈ N, κ ≤ n, s ≤ [k/2] et a, b ∈ {0, 1}, sont donnés par

Sk,κ,s; a0^δ [ξ] = R^s Sk^δ−2s,κ[ξ]∩ (∆0)^a(ker Ω₀∩ ker Φ0Ψ₀) , (4.102) Sk,κ,s; a1^δ [ξ] = R^s S_k−2s,κ^δ [ξ]∩ (∆0)^a(ker Ω₀∩ im Φ0Ψ₀) . (4.103) Diagonalisation de l’opérateur Cδ T Les sous-espaces Sδ

k,κ,s; ab[ξ] sont trivialement inclus dans Sδ

k,κ,s[ξ], pour les indices k, κ, s correspondant et en forment une décomposition en somme directe en quatre sous-espaces comme le montre les Lemmes 4.5.14 et 4.5.13. Il en découle une décomposition en somme directe de Sδ[ξ], et les Sδ

k,κ,s; ab[ξ] sont justement des sous-espaces propres pour, simultanément, les quatre opérateurs ∆Ω + ΦΨ, RT, Σ,E, d’où la diagonalisation de C_T^δ. Proposition 4.5.16. L’espace des symboles admet la décomposition

S^δ[ξ] = ∞ M k=0 n M κ=0 [k/2]M s=0 M a,b=0,1 Sk,κ,s; ab^δ [ξ], (4.104)

en sous-espaces propres de C_T^δ, et on note γ_{k,κ,s; ab} sa valeur propre sur le sous-espace dont les indices correspondent. Elle est donnée par

γ_{k,κ,s; a1} = ˆγ_k,s+ κ(κ− n) + 2κ + 2a(n + k − κ − 2s − 2), (4.106) où ˆγ_k,s = 2s[n + 2(k− s − 1)] + 2k[1 + n(δ − 1) − k] − n2δ(δ− 1) est la valeur propre de

c

Cδ sur Sδ

k,s, donnée en (2.79).

Démonstration. Rappelons tout d’abord la formule suivante de Cδ

T, obtenue en (4.81), C_T^δ = cC_δ+ Σ(Σ− n) + 2(∆Ω + ΦΨ) − 2E. (4.107) Soit Sδ

k,κ,s; ab[ξ] un sous-espace quelconque de la décomposition (4.104) deSδ[ξ]. C’est un sous-espace propre pour les trois opérateursE, Σ et RT , et d’après la Proposition 4.5.10 et la formule (4.107) donnant C_T^δ, la restriction de C_T^δ au sous-espace Sδ

k,κ,s; ab[ξ] est donnée par

γ_{k,κ,s; ab} C_T^δ

= ˆγ_k,s+ κ(κ− n) + 4s − 2k + 2R^sγ_{k−2s,κ,0; ab}(∆Ω + ΦΨ) . (4.108) Il nous reste donc à évaluer γ_{k−2s,κ,0; ab}(∆Ω + ΦΨ), qui est égal à ∆0Ω0+ Φ0Ψ0 restreint, par définition, à

– (∆₀)^a(ker Ω₀∩ ker Φ0Ψ₀), si b = 0, – (∆₀)a(ker Ω₀∩ im Φ0Ψ₀), si b = 1.

Dans les deux cas nous avons besoin de connaître

(∆0Ω0+ Φ0Ψ0) ∆0 = ∆0(n +E − Σ + Φ0Ψ0) . (4.109) Si b = 0, on a alors

γ_{k−2s,κ,0; a0}(∆Ω + ΦΨ) = a (n + k− 2s − κ) , ce qui montre, conjointement avec (4.108), queSδ

k,κ,s; a0[ξ] est un sous-espace propre de Cδ T, de valeur propre donnée par (4.105). De même, si b = 1, on obtient, grâce au Lemme 4.5.13 et à la loi de commutation (4.109), l’expression suivante

γ_{k−2s,κ,0; a1}(∆Ω + ΦΨ) = (1− a)(k − 2s + κ) + a (n + k − 2s − κ) + a (k − 2s + κ − 2) . Ainsi, Sδ

k,κ,s; a1[ξ] est également un sous-espace propre de C_T^δ et sa valeur propre γ_{k−2s,κ,0; a1}(Cδ

T) est bien donnée par (4.106).

Donnons une écriture explicite d’un symbole P ∈ Sδ

k,κ,s;ab. Par définition de Sδ ∗,∗,s, on a P = RsQ avec Q ∈ Sδ

k−2s,κ,0;ab, et donc T Q = 0. Remarquons alors que d’une part ker Ψ⊂ ker ΦΨ ⊂ ker ΨΦΨ, et d’autre part ΨΦΨ = [Ψ, Φ]Ψ = (E + Σ)Ψ, ce qui implique ker Ψ = ker ΦΨ. Pour b = 1 qui correspond à l’image de ΦΨ, le Lemme 4.5.13 fournit la valeur propre de ΦΨ. Nous faisons également usage, afin de simplifier le cas ab = 10, de

l’égalité ∆₀ = ∆− RT ∆c = ∆ − 2RΨc, qui découle de la formule donnant Π0 dans la Proposition 4.5.11.

– Si ab = 00, le symbole Q vérifie ΩQ = ΨQ = 0. – Si ab = 01, on a ΩQ = 0 et ΦΨQ = (k− 2s + κ)Q.

– Si ab = 10, Q se factorise suivant Q = ∆Q0, où Q0 est tel que ΩQ0 = ΨQ0= 0. – Si ab = 11, on a également Q = ∆₀Q₀, mais Q₀ est tel que ΩQ₀ = 0 et ΦΨQ₀ =

(k− 2s + κ − 2)Q0.

Diagonalisation de l’opérateur de Casimir Cδ

La diagonalisation de l’opérateur de Casimir Cδ = Cδ T + ~

2iΓΨ, repose sur la Proposi-tion 4.5.16, donnant la diagonalisaProposi-tion de C_T^δ, et le Lemme 4.5.8, qui fournit une méthode pour diagonaliser un opérateur C = C0 + N , où C0 est diagonalisable et N nilpotent. Essentiellement, il suffit alors de résoudre, génériquement, un système linéaire triangulaire. La difficulté tient dans la détermination des valeurs résonantes de δ, pour lesquelles le système en question n’a pas de solution et C^δ n’est pas diagonalisable. Ici le cas d’une solution non unique au système ne se présente pas. La démonstration de la proposition suivante est technique, et effectuée dans l’Annexe E.

Proposition 4.5.17. Soit nδ /∈ N \ {0, 1}. L’opérateur de Casimir Cδ, donné par (4.81), est diagonalisable sur S^δ[ξ]. A chaque vecteur propre de C_T^δ est associé un unique vecteur propre de C^δ de même symbole principal et de même valeur propre.

Diagonalisation de l’opérateur de Casimir C^λ,µ

Il ne reste plus qu’à diagonaliser l’opérateur de Casimir C^λ,µ, égal à C_T^δ + N avec N un opérateur nilpotent faisant strictement baisser le degré en ˜p. La Proposition 4.5.16 donnant la diagonalisation de Cδ

T, il suffit alors d’utiliser le Lemme 4.5.8, qui fournit une méthode pour diagonaliser un opérateur C = C₀ + N , où C₀ est diagonalisable et N nilpotent. Nous ne déterminons pas l’ensemble des valeurs de µ− λ = δ ∈ IQ, qui conduisent à une obstruction pour que chaque vecteur propre de Cδ

T soit le symbole principal d’un unique vecteur propre de C^λ,µ, comme nous l’avons fait pour C^δ. Cela semble pour l’instant hors de portée.

Proposition 4.5.18. Soit δ /∈ IQ, avec I_Q un sous-ensemble de Q. L’opérateur de Casimir C^λ,µ, donné par (4.82), est diagonalisable sur Sδ[ξ]. A chaque vecteur propre de C_T^δ (et donc de Cδ) est associé un unique vecteur propre de Cλ,µ de même symbole principal et même valeur propre.

Démonstration. Soit C^λ,µ = C_T^δ + N , où N est déterminé par la formule (4.82) donnant Cλ,µ. Ainsi N fait baisser strictement le degré en ˜p. Le Lemme 4.5.8 montre que tout vecteur propre P_k ∈ Sδ

le système N P_i+1 = (γ_k,κ,s;ab− C_T^δ)P_i, pour i = 0, . . . , k− 1, et Pi ∈ Si^δ[ξ], admet une unique solution. Le sous-ensemble I_Q est donc déterminé par l’ensemble des solutions δ des équations γ_k,κ,s;ab− γk′,κ′,s′;a′b′ = 0 correspondant aux dégénérescences du système précédent, les indices primés étant tels qu’il existe P_i se décomposant avec une partie non triviale sur Sδ

k′,κ′,s′;a′b′[ξ].

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