1.2 Chapitre 2 : Quantification équivariante des fibrés cotangents 8
2.1.2 La quantification : méthodes et obstructions
La quantification d’un système classique, i.e. d’une variété symplectique (M, ω), consiste en la construction d’un espace de Hilbert H, puis d’une correspondance entre observables classiques et quantiques, qui s’écrit Q : f 7→ Q(f), où f ∈ C∞(M) et Q(f) est un opérateur sur H. Le parallèle structurel entre les formalismes des mécaniques classique et quantique mène P.A.M. Dirac [31], à formuler le problème portant son nom : trouver une bijection linéaire Q satisfaisant les trois propriétés suivantes,
1. la fonction constante égale à 1 surM se quantifie en l’identité sur H, Q(1M) = IdH, 2. la conjugaison ¯· se quantifie en l’adjonction ∗ (axiome de réalité),
Q( ¯f ) = Q(f )∗, (2.10)
3. l’application Q est un morphisme d’algèbre de Lie,
Q({f, g}) = ~i[Q(f ), Q(g)]. (2.11)
Il fait naître ainsi le concept même de quantification. Les propriétés que doivent satisfaire une quantification n’ont rien de canonique, et nous verrons par la suite des quantifications répondant à des versions modifiées du problème de Dirac.
La troisième propriété (2.11) signifie que la quantification préserve la dynamique, l’équation d’évolution (2.9) en mécanique quantique se déduisant par quantification de (2.6), celle en mécanique classique. Cette propriété peut également s’interpréter comme équivariance de la quantification sous l’algèbre de Lie des champs de vecteurs hamiltoniens, ou encore, comme représentation unitaire de Sympl(M, ω) sur H.
La préquantification constitue une réponse au problème de Dirac. Cependant, même pour l’espace des phases T∗Rn, elle n’est pas satisfaisante. En effet, elle fournit comme espace de Hilbert L2(T∗Rn) au lieu de l’espace attendu L2(Rn). La solution est apportée par l’ajout d’une polarisation qui conduit à la quantification géométrique [61, 97, 72, 106]. Celle-ci répond à un raffinement du problème de Dirac, qui est formulé dans [1]. Si une polarisation permet de construire l’espace de représentation hilbertien H pertinent pour l’interprétation physique, la quantification géométrique ne peut s’appliquer qu’à un sous ensemble restreint d’observables, celles précisément qui préservent la polarisation choisie. On peut d’ailleurs montrer que la quantification géométrique ne peut être prolongée à C∞(M) tout en satisfaisant le problème de Dirac, voir Proposition 2.1.8.
Une des voies pour étendre la quantification géométrique est la quantification par dé-formations [8, 47, 32], qui s’applique à toutes les observables. Celle-ci ne satisfait pas la contrainte (2.11) mais une version déformée. L’existence d’une quantification par déforma-tion, ou star-produit, a été prouvée sur toute variété symplectique [27, 40], et même de Poisson [58]. Tout le problème est d’imposer des conditions supplémentaires afin d’obtenir l’unicité. Par ailleurs, elle est formulée directement sur l’espace C∞(M) et ne fournit pas d’espace de représentation hilbertien H.
L’unicité d’une procédure de quantification repose souvent sur la présence d’un groupe de symétrie. Ainsi la quantification G-équivariante [67, 34], pour certains groupes G [15], permet d’étendre la quantification géométrique à une large classe d’observables de
ma-nière univoque. Elle définit également une quantification par déformation fortement G-invariante [33].
La quantification géométrique
La quantification géométrique d’une variété symplectique (M, ω) s’effectue en deux étapes, la première étant la préquantification. Supposons la forme symplectique exacte, ω = dα. On poseH = L2(M), l’espace des fonctions complexes dont le carré du module est intégrable surM, relativement à la mesure de Liouville. On définit alors la préquantification de toute observable f via la formule de Koopman-Van Hove-Segal, voir e.g. [53],
Q(f ) = ~
iXf + f − hXf, αi. (2.12)
La préquantification Q est bien à valeurs dans les opérateurs formellement auto-adjoints et résout le problème de Dirac. Cela s’applique en particulier au cas d’un fibré cotangent T∗M , muni de sa forme symplectique canonique ω = dpi∧ dxi, et la formule (2.12) devient
Q(f ) = ~
i ((∂pif )∂i− (∂if )∂pi) + f − pi∂pif. (2.13) La préquantification des coordonnées s’écrit alors,
Q(xi) =−~i∂pi + xi, Q(pi) = ~
i∂i. (2.14)
Si la forme symplectique n’est pas exacte, elle doit satisfaire une condition d’intégralité pour que la préquantification existe. Plus précisément, la classe de 2-cohomologie de la 2-forme (2π~)−1ω doit être dans H2(M, Z), voir [61, 97]. Un exemple est la sphère S2, munie de la forme symplectique ω = n~
2surfS2, avec surfS2 la forme d’aire canonique de S2 et n un entier positif. La théorie générale de la préquantification se formule de façon équivalente en terme de fibré en droites complexes sur M [61], ou en terme de fibré en cercles sur M [97]. Suivons cette dernière approche.
Définition 2.1.2. Soit (M, ω) une variété symplectique telle que (2π~)−1[ω]∈ H2(M, Z). Il existe alors un fibré en cercle π : Y → M, muni d’une 1-forme ˜α vérifiant
L∂θα = 0,˜ h∂θ, ˜αi = ~, et d ˜α = π∗ω, (2.15) où ∂θ est l’action infinitésimale de eiθ ∈ U(1).
Le couple (Y, ˜α) est appelé fibré préquantique. Si ω est exacte, il est simplement donné par Y =M × S1 et ˜α = α + ~dθ. La préquantification d’une fonction F ∈ C∞(M) est alors
fournie par le relevé quantique du champ hamiltonien de f , Q(f ) = ~
iXf∗, (2.16)
vérifiantD Xf∗, ˜αE
= f . L’opérateur obtenu est vu comme agissant sur l’espace des fonctions équivariantes sur Y ,
H = {Ψ ∈ L2(Y )|∂θΨ = iΨ}. (2.17)
Dans le cas où le fibré est trivial, H s’identifie à L2(M) et (2.16) redonne la formule de Koopman-Van Hove-Segal.
Bien que constituant une réponse au problème de Dirac, la préquantification n’est pas satisfaisante, même pour un fibré cotangent T∗M . Elle conduit à une représentation de l’algèbre de Lie C∞(T∗M ) sur L2(T∗M ), qui n’induit pas une représentation irréductible de l’algèbre de Lie de Heisenberg, engendrée par les coordonnées de Darboux pi et xi. En effet L2(M ) est alors un sous-espace stable. De plus, elle ne coïncide avec la quantification canonique de pi et xi qu’après restriction à L2(M ). Il nous faut donc une procédure pour réduire l’espace de Hilbert, ce qui nécessite l’introduction d’une structure supplémentaire surM : une polarisation.
Définition 2.1.3. Une polarisation complexe de (M, ω) est une distribution complexe intégrable et isotrope P ⊂ TC
M, le complexifié du tangent de M, telle que la dimension de D = P ∩ ¯P ∩ T M soit constante.
Dans la pratique, une polarisation complexe peut être définie localement par n =
1
2dimM fonctions complexes en involutions, leurs champs hamiltoniens engendrant P . Si D = {0}, alors P ∩ T M est une distribution réelle intégrable et isotrope, i.e. une polarisation réelle. Sur un fibré cotangent T∗M , il existe une polarisation réelle canonique, dite verticale. Elle est engendrée par les fonctions coordonnées xi, de champs hamiltoniens ∂pi.
Définition 2.1.4. Soit (M, ω) une variété symplectique de fibré préquantique (Y, ˜α) et admettant une polarisation P . Le relevé horizontal de P est le champ de sous-espaces
e
P ⊂ TC∗Y se projetant sur P et vérifianth eP , ˜αi = {0}.
Si la forme ω est exacte, le relevé horizontal d’un champ X ∈ P est donné par eX = X− hX, αi ∂θ.
Définition 2.1.5. Les fonctions P -polarisées de H sont les fonctions ψ ∈ H telles que e
Xψ = 0 pour tout eX∈ eP . Elles forment l’espace de Hilbert notéHP.
Ainsi l’existence d’une polarisation permet de réduire l’espace de représentation. Dans le cas d’un fibré cotangent T∗M muni de la polarisation verticale, l’espace des fonctions polarisées s’identifie bien à L2(M ).
Une observable classique f est dite quantifiable si sa préquantification Q(f ) définit un opérateur qui préserveHP. L’ensembleA des observables quantifiables forment alors une sous-algèbre de Lie de C∞(M) qui se représente via Q sur HP. Pour un fibré cotangent muni de la polarisaton verticale P , on obtient, au vu de la formule (2.13) donnant la préquantification,
A = {f(x, p) = piAi(x) + B(x)|A1, . . . , An, B∈ C∞(M )}, (2.18) et la quantification géométrique est alors donnée par
QG(f ) = ~
iAi(x)∂i+ B(x). (2.19)
Elle induit donc une représentation irréductible de l’algèbre de Lie de Heisenberg, avec QG(pi) = ~i∂i, QG(xi) = xi et QG(1) = IdHP.
Introduisons enfin l’espace des demi-densités, qui est l’espace des sections du fibré en ligne |ΛnT∗M|⊗12. R.J. Blattner et B. Kostant ont montré dans [11, 62] qu’il était plus avantageux de choisir le complété des demi-densités polarisées à support compact comme espace de Hilbert, ce choix permettant à la fois d’éviter l’introduction d’une mesure pour définir l’espace L2, et d’obtenir une formule de quantification correcte, à la correction métaplectique près, pour l’oscillateur harmonique [94, 95].
La quantification par déformation
Elle constitue une voie pour étendre la quantification géométrique à un espace plus vaste d’observables [78], en déformant la relation (2.11), qui exprime la propriété de morphisme d’algèbres de Lie d’une quantification.
Soit (M, ω) une variété symplectique et Q une quantification définie sur une sous-algèbre de Poisson A de (C∞(M), {·, ·}) qui vérifie Q({f, g}) = i
~[Q(f ), Q(g)] pour tout f, g ∈ A, et est bijective. On définit alors, par transport, un nouveau produit ∗ sur les observables f, g∈ A, telles que Q(f)Q(g) ∈ Q(A), via
Q(f ∗ g) = Q(f)Q(g). (2.20)
Ce produit est associatif et non commutatif. Si la quantification Q satisfait la contrainte (2.11) du problème de Dirac, alors le ∗-commutateur est simplement
f∗ g − g ∗ f = ~i {f, g}. (2.21)
Une telle quantification induit une déformation particulière du produit commutatif sur C∞(M), dans la catégorie des algèbres associatives. Une manière de relâcher la contrainte (2.11) est donc de chercher des déformations plus générales du produit, dit star-produits,
vérifiant une version déformée de (2.21). C’est la méthode de quantification par déforma-tion.
Définition 2.1.6. [8] Soit (M, ω) une variété symplectique et C∞(M)[[ν]] l’espace des séries formelles en ν à coefficients dans C∞(M). Un star-produit différentiable ∗ est un produit associatif sur C∞(M)[[ν]], donné par l’extension à C∞(M)[[ν]] de l’application bilinéaire ∗ : C∞(M) ⊗ C∞(M) → C∞(M)[[ν]], de la forme
u∗ v = uv + Σ∞r=1νrCr(u, v). (2.22)
Les Cr sont des opérateurs bidifférentiels, avec C1(u, v)− C1(v, u) = 2{u, v} qui vérifient u∗ 1 = 1 ∗ u = u.
L’associativité du star-produit assure que le commutateur, défini par [u, v] = u∗v−v∗u, confère une structure d’algèbre de Lie àC∞(M), et
[u, v] = 2ν{u, v} + Σ∞r=2νrBr(u, v), (2.23) où les Br sont des opérateurs bidifférentiels antisymétriques en leur deux arguments. Pour ν = 2i~, cette équation correspond alors à une déformation de l’égalité (2.21), la quantifi-cation par déformation peut alors être vue comme un prolongement de la quantifiquantifi-cation géométrique.
Les deux quantifications les plus couramment utilisées de T∗Rn sont la quantification de Weyl et "l’ordre normal". Elles prolongent la quantification géométrique, où l’espace de Hilbert choisi est respectivement celui des demi-densités et celui des fonctions de carré intégrable sur Rn. Elles donnent ainsi lieu toutes les deux à un star-produit formel sur C∞(T∗Rn) via l’équation (2.20). On peut les définir simultanément par la formule intégrale [47, 32], Qw(f ) = Z T∗Rn ˇ f (ξ, η) exp i ~(P ξ + Xη) w(ξ, η)dξndηn, (2.24) oú ˇf est la transformée de Fourier inverse de f , Pi = ~i∂i et Xi = xi sont les quantifiés (géométriques) de pi et xi, et la fonction w est un poids. Si w = 1, on obtient la quantifica-tion de Weyl, notée QW, et si w(ξ, η) = exp(−14(ξ2+ η2)) on obtient l’ordre normal, noté N . Ces deux quantifications consistent, pour un polynôme sur T∗Rn, à remplacer pi par Pi et xi par Xi, avec une écriture du polynôme symétrisée en p et x pour la quantification de Weyl et avec les p "à droite" pour l’ordre normal. Le domaine de définition de (2.24) contient l’espace des symboles des opérateurs différentiels sur M , notéS(Rn), qui est l’es-pace des fonctions polynomiales en les p sur T∗Rn. L’ordre normal permet ainsi de définir le symbole d’un opérateur différentiel, et il peut même s’étendre au cas pseudo-différentiel. La quantification de Weyl définit, via (2.20), le produit de Moyal [76] qui est le premier
exemple, et probablement le plus simple, de star-produit. Il est donné par
f∗ g = m ◦ exp(νP )(f ⊗ g), (2.25)
où P est le crochet de Poisson donné par la structure symplectique canonique de T∗Rn, et m est la multiplication usuelle surC∞(T∗Rn). Ainsi, on a P (f, g) = Λij∂if ∂jg, où Λij = 1 si|j − i| = n et est nul sinon. L’écriture en coordonnées de Pr(f, g) est donc naturellement donnée par Pr(f, g) = Λi1j1· · · Λirjr∂i1···irf ∂j1···jrg. Il est clair que le produit de Moyal converge sur l’espace des symboles S(Rn).
Il existe des extensions de ces deux exemples de quantifications au cas des fibrés cotan-gents, mais pas de manière univoque [16, 85, 103]. Ce problème est générique. En effet, si il a été montré que toute variété symplectique admet une quantification par déformation [27, 40], la question de l’unicité est problématique. Elle requiert d’imposer des contraintes supplémentaires, via un groupe de symétrie par exemple.
La non unicité du star-produit peut s’interpréter comme la trop grande généralité de l’affaiblissement (2.23) de la propriété (2.11). En effet cette égalité assurait une correspon-dance entre les dynamiques classique et quantique. Une méthode consiste à chercher un star-produit qui préserve l’évolution d’un ensemble privilégié d’observables, choisi comme les moments d’un groupe de symétrie G du système par exemple. Un tel star-produit est dit fortement G-invariant [8, 2, 32]. Il a été montré que certains choix pour le groupe G conduisent à l’unicité du star-produit. Ainsi le produit de Moyal surC∞(T∗Rn) est l’unique star-produit fortement Sp(2n, R) ⋉ R2n-invariant [46].
Vers la quantification équivariante
Pour obtenir une unique quantification, il s’agit donc de spécifier les symétries de l’es-pace des phases. Si celui-ci est un fibré cotangent T∗M , muni de sa structure symplectique canonique ω = dα, elles peuvent être données infinitésimalement comme sous-algèbre de Lie de Vect(M ), i.e. comme symétries de l’espace de configuration M , relevées canonique-ment à T∗M par préservation de α. Nous montrons que la quantification géométrique est caractérisée par Vect(M ) tout entier, puis discutons de son extension par réduction de l’algèbre de Lie des symétries.
Proposition 2.1.7. Soit X ∈ Vect(M) et α la 1-forme de Liouville sur T∗M . Il existe alors un unique relevé de X = Xi∂i à T∗M qui préserve α, donné par
e
X = Xi∂i− pj∂iXj∂pi. (2.26)
moment J : Vect(M )→ C∞(T∗M ), telle
JX =h eX, αi = piXi. (2.27)
Réciproquement, le champ hamiltonien associé à l’observable f = piXi est Xf = eX. Introduisons S≤k(M ), l’espace des fonctions de T∗M qui sont polynomiales de degré inférieur ou égal à k en les variables fibrées. Rappelons que la quantification géométrique de T∗M , notée QG, est définie sur l’espace A = S≤1(M ) des observables quantifiables, donné en (2.18), et son image (2.19) est incluse dansD(M), l’espace des opérateurs différentiels sur M . Or, d’une part, une algèbre de Lie g⊂ Vect(M) agissant sur l’espace de configuration M agit par adjonction sur D(M), et d’autre part la proposition précédente définit une action de cette algèbre de Lie surC∞(T∗M )⊃ S≤k(M ), pour tout k∈ N. Une application Q :S≤k(M )→ D(M) est dite G-équivariante si c’est un morphisme de G-modules. Proposition 2.1.8. La quantification géométrique d’un fibré cotangent T∗M muni de sa structure symplectique canonique est l’unique application Vect(M )-équivariante Q : A → D(M), à normalisation près. De plus, il n’existe pas de prolongement à S≤2(M ), qui soit Vect(M )-équivariant.
Démonstration. Il suffit de prouver cette propriété pour M = Rn, quitte à se place lo-calement sur M . Montrons d’abord la propriété de Vect(Rn)-équivariance. Pour toutes fonctions f, h ∈ A, on a Q({f, h}) = i
~[Q(f ), Q(h)]. Choisissons X ∈ Vect(M) et f = JX = piXi, on a alors {f, h} = eXh et Q(f ) = ~
iX. La propriété de morphisme d’algèbre de Lie de Q se réécrit :
Q( eXh) = [X, Q(h)] =LXQ(h), (2.28)
où LX est l’action canonique de X sur D(Rn) ; pour une expression explicite se référer à la formule (2.41). Cette dernière équation montre précisément que la quantification géo-métrique est Vect(Rn)-équivariante.
Dans notre cadre, on peut voir l’unicité comme découlant de l’unicité de la quantifica-tion conformément équivariante des symboles de degré 1 [35, 37], qui coïncide alors avec la quantification géométrique. Par ailleurs, le fait que, les quantifications projectivement [67] et conformément équivariantes [35, 37] coïncident sur les symboles de degré 1 et diffèrent sur les symboles d’ordre 2, montre qu’il n’y a pas de prolongement Diff(Rn)-équivariant de la quantification géométrique àS≤2(Rn).
Pour étendre le domaine d’application de la quantification géométrique, on peut donc chercher à prolonger Q avec une condition de G-équivariance, où G est un groupe agissant localement sur M par difféomorphismes. Il s’agit alors de choisir G assez petit pour qu’il existe un prolongement à l’espace des symboles S(M) =Sk∈NS≤k(M ), et assez gros pour
que ce prolongement soit unique. A partir d’une telle application bijective Q, on peut définir un star-produit via (2.20), qui est fortement G-invariant [33]. En particulier les moments f ∈ C∞(T∗M ) du groupe G vérifient Q({f, h}) = i
~[Q(f ), Q(h)] pour tout h∈ C∞(T∗M ), leurs évolutions sont transportées par Q.