Le formalisme des mécaniques classique et quantique

La description de la dynamique d’un système isolé nécessite trois ingrédients : l’espace des états, l’espace des observables et une structure d’algèbre de Lie sur ce dernier. Cette structure permet d’écrire l’équation d’évolution de toutes observables d’un système une fois le hamiltonien donné, et définit le groupe de symétrie maximal d’un système, comme le groupe des transformations covariantes de cette équation.

La formulation symplectique de la mécanique classique

La présentation suivante de la mécanique classique est inspirée de l’article [72], ainsi que des ouvrages de références [97, 3, 106].

L’espace des états d’un système classique constitue une variété M que l’on suppose non singulière. L’espace de ses observables est donné par l’ensemble des fonctions lisses à valeurs réelles sur cette variété, C∞(M). La connaissance des équations d’évolutions des observables nécessite alors, en plus du choix d’une observable comme hamiltonien du sys-tème, une structure d’algèbre de Lie sur les observables, donnée par un crochet de Poisson. En imposant à ce dernier d’être non dégénéré, on obtient une structure symplectique sur l’espace des états,M, ce qui constitue notre cadre de travail.

Définition 2.1.1. Une variété symplectique est un couple (M, ω), où ω est une 2-forme fermée non dégénérée sur la variété M, qui est donc de dimension paire.

Un exemple standard de variété symplectique est le fibré cotangent d’une variété π : T^∗M → M, muni de sa forme symplectique canonique ω = dα, dérivant de la 1-forme de Liouville α. Celle-ci est définie par hV, αi(x, p) = hπ∗V (x), pi, où V ∈ Vect(T^∗M ), x représente un point de la base M et p un point de la fibre T_x^∗M . En coordonnées fibrées, la 1-forme de Liouville s’écrit donc α = p_idxⁱ, avec i = 1, . . . , dim(M).

Toutes les variétés symplectiques ne sont pas de cette forme. En effet, la sphère S2, munie de sa forme d’aire, est une variété symplectique mais n’est pas un fibré cotangent.

Le sous-groupe des difféomorphismes deM qui préservent la forme symplectique ω est appelé groupe des symplectomorphismes et est noté Sympl(M, ω).

La forme symplectique ω induit un isomorphisme entre espaces tangent et cotangent, ce qui permet de définir le champ de vecteur hamiltonien XF d’une observable F comme gradient symplectique,

ι_XFω =−dF, (2.1)

où ι désigne le produit intérieur et d la différentielle extérieure. On peut alors définir le crochet de Poisson sur l’espace des observables,

{F, G} = ω(XF, X_G) = X_FG =−XGF. (2.2)

Il munit C^∞(M) d’une structure d’algèbre de Poisson, et donc de Lie, où l’identité de Jacobi découle de la fermeture de ω.

Dans le cas d’un fibré cotangent muni de sa structure symplectique canonique ω = dp_i ∧ dxⁱ, on obtient, grâce à la formule (2.1), l’expression, en coordonnées, du champ hamiltonien d’une fonction F ,

et donc celle du crochet de Poisson,

{F, G} = ∂piF ∂iG− ∂iF ∂piG. (2.4) La correspondance (2.1) définit un morphisme d’algèbre de Lie entre l’espace des obser-vables C∞(M) et l’espace des champs de vecteurs Vect(M). Cela se traduit par l’égalité : X_{F,G}= [X_F, X_G]. (2.5) Ce morphisme a pour noyau les constantes et n’est pas surjectif. Son image est l’algèbre de Lie des champs hamiltoniens, qui est incluse dans l’algèbre de Lie de Sympl(M, ω). En effet, la Formule de Cartan : L_XFω = d(ι_XFω) + ι_XFdω = 0, assure que les champs hamiltoniens préservent la structure symplectique.

Nous sommes alors en mesure d’écrire, pour un hamiltonien H, l’équation d’évolution d’une observable F ,

dF

dt ⁼{H, F }, (2.6)

avec t un paramètre d’évolution. Celle-ci est covariante respectivement au groupe des sym-plectomorphismes, qui s’interprète comme le groupe de symétrie de la mécanique classique. De l’équation d’évolution (2.6) d’une observable F , on déduit qu’une constante du mouvement est caractérisée par {H, F } = 0. Si le flot φt du champ hamiltonien XF est défini pour tout t ∈ R, il constitue un groupe à un paramètre qui est alors groupe de symétrie du système de hamiltonien H, i.e. un sous-groupe de Sympl(M, ω) préservant H. Plus généralement, à une algèbre de Lie d’observables, on peut associer un groupe agissant symplectiquement sur l’espace des phases.

Intéressons nous à la procédure inverse. Partant de l’action symplectique d’un groupe de Lie G surM, peut-on trouver l’algèbre de Lie des observables dont les flots engendrent l’action de ce groupe ? Soit g l’algèbre de Lie de G, elle se représente dans Vect(M), par Z 7→ ZM, telle que L_ZMω = 0. En utilisant la Formule de Cartan pour la dérivée de Lie on obtient d(ι_ZMω) = 0, i.e. la 1-forme ι_ZMω est fermée. Supposons qu’elle soit exacte pour tous les éléments Z de g. L’action du groupe est alors dite hamiltonienne et on peut définir l’application moment J : g→ C∞(M), dû à J.-M. Souriau [97], par l’équation

ι_ZMω =−dJ(Z). (2.7)

Elle est couramment définie de manière duale, J : M → g∗, et −d hZ, Ji = ιZMω.

L’application moment permet de formuler la version symplectique du Théorème de Noether : si un groupe de symétrie agit de manière hamiltonienne et préserve le hamiltonien du système, son application moment définit un ensemble de constantes du mouvement.

de configuration donné par la variété pseudo-riemannienne (M, g). L’espace des phases est alors le fibré cotangent T^∗M muni de sa forme symplectique canonique et le hamiltonien est donné par H = gijp_ip_j. Son flot est le flot géodésique.

La formulation hilbertienne de la mécanique quantique

L’espace des états d’un système quantique est un espace de Hilbert complexeH, ou plus précisément le projectivisé de cet espace, qui est l’ensemble de ses droites. Tous les espaces de Hilbert de même cardinal étant isométriques, le choix spécifique de H est donc sans importance. L’espace des observables se réalise comme espace d’opérateurs auto-adjoints surH, qui, muni du commutateur

i[A, B] = i(AB− BA), (2.8)

forme une sous-algèbre de Lie deL(H). Elle est isomorphe à l’algèbre de Lie des opérateurs anti auto-adjoints, où le commutateur est le même au facteur i près. Le groupe de Lie associé est le groupe unitaire U(H).

Pour un système de hamiltonien H, l’équation d’évolution d’une observable F est don-née par la structure d’algèbre de Lie précédemment définie,

dF dt ⁼

i

~^{[H, F ]. (2.9)}

Les transformations covariantes de cette équation sont précisément données par l’action adjointe d’opérateurs unitaires, le groupe unitaire est donc le groupe de symétrie de la mécanique quantique.

Comme dans le cas classique, une observable F est une constante du mouvement si et seulement si i[H, F ] = 0, i.e. si elle correspond à une symétrie infinitésimale du système.

Terminons par l’exemple important du système constitué d’une particule libre dans l’espace plat de Minkowski. L’espace de Hilbert est L²(R⁴), et le hamiltonien du système est donné par le laplacien ∆ = ηij∂_i∂_j, avec η la métrique plate de signature (+− −−).

La similarité des hamiltoniens classique et quantique pour le même système est à noter. Etablir une correspondance entre les deux est un des but de la quantification.