Invariance conforme de la quantification Q T

Xi(ev_g)⁻¹, i.e.  L^λ,µ_X¯_i − evgLδ ¯ Xi(ev_g)⁻¹ Q◦ S =^hQ◦ S, L^δ_X¯_i i .

Le membre de gauche se déduit alors des expressions (4.10) et (4.53) donnant respective-ment L^λ,µ_X¯_i − Lδ ¯ Xi et Lδ ¯ Xi − evgLδ ¯

Xi(ev_g)⁻¹. Le membre de droite a déjà été calculé dans le Lemme 4.2.7, d’où au final le système

~ i  2nλ∂_p˜i+ 2 ˜ξ_iΨ + Ψ∂_ξ˜i− ˜ξ_iΩ−¹ 2^∂ξ˜iΩ  = 2c^T_d(Σ)(Ψ∂_ξ˜i− ˜ξ_iΩ + n(1− δ)∂p˜i) + 2c^T_γψ(Σ)(Σ− nδ)˜ξ_iΨ (4.61) + 2c^T_λψ(Σ)(Σ− n(1 − δ))(Ψ∂_ξ˜i − ∂p˜i) + 2c^T_γω(Σ)(Σ− nδ)˜ξ_iΩ + 2c^T_λω(Σ)(−Σ + n(1 − δ))∂_ξ˜iΩ.

Le résoudre est équivalent à résoudre indépendamment les deux systèmes (4.20) et (4.56) déterminant respectivement Q et S, et les coefficients déterminés par ces 3 systèmes véri-fient alors c^T = cS+c. Explicitement, le coefficient c^T_γψest égal au coefficient c_Sintervenant dans la superisation, il est donné dans la Proposition 4.3.5, et les 4 autres coefficients coïn-cident avec ceux déterminant la quantificationQλ,µ, obtenus à partir de (4.2.9). L’existence deQT est donc équivalente à l’existence simultanée de Q et S. Cela redémontre également les formules données pour QT.

La proposition précédente permet de quantifier les symboles obtenus par superisation de Sδ

1, on obtient ainsi la quantification conformément équivariante des symboles Sδ 1 à valeurs dans les opérateurs différentiels spinoriels.

Corollaire 4.3.9. Si δ 6= ²_n, il existe une unique quantification conformément équivariante

S^δ_T :Sδ

≤1֒→ D^λ,µ1 , et sur un symbole P = Pⁱpi∈ Sδ

1, elle est donnée par

Q^λ,µ_T (P ) = ~ i  ∂_i+ ^λ 1− δ^∂iP i  +~ i N  1 nδ− 2^ξ˜ i_ξ˜_j∂iPj  . (4.62)

4.3.4 Invariance conforme de la quantification QT

Nous obtenons ici la quantification conformément équivariante QT des symboles de degré 1 en les impulsions en terme de dérivées covariantes.

Remarquons tout d’abord que QT est une quantification conformément invariante, ce qui se traduit par une expression locale en coordonnées naturelles ne dépendant pas de la métrique conformément plate g choisie. En effet, l’identification localeN ◦ evg :Tδ → Dλ,µ

ainsi que les actions L^δ_X et L^λ,µX , caractérisant Q_T, vérifient cette propriété. Comme dans le Paragraphe 2.3.3, traitant du cas des fibrés cotangents, il reste alors à trouver une expression covariante pour QT qui soit invariante conforme et qui redonne l’expression trouvée dans le cas plat.

Commençons par le calcul des expressions des dérivées covariantes des spineurs et des tenseurs deTδ en coordonnées naturelles surM.

Dérivées covariantes des spineurs et des symboles

La dérivée covariante des spineurs a été définie au chapitre précédent, et la formule (3.66) fournit son expression dans un repère orthonormé. Nous donnons désormais l’écriture de la dérivée covariante des spineurs de poids λ en coordonnées naturelles sur une variété conformément plate.

Proposition 4.3.10. Sur une variété conformément plate (M, g), munie des coordonnées conformes (xⁱ), telles que gij = F ηij, la dérivée covariante des spineurs de poids λ a pour expression,

∇^λi = ∂_i−_8F¹ [γ_i, γ^j]F_j −_2F^nλF_i, (4.63)

où Fi= ∂iF , γi = γ(∂i), et γ^j = g^ijγi.

Démonstration. Tout d’abord, si ∇ est la dérivée covariante des spineurs de poids nul et ∇λ est celle des spineurs de poids λ, on a alors

∇^λi =∇i− λΓi, avec Γ_i = Γ^j_ij = ^nFi

2F . Il suffit donc désormais de calculer la dérivée covariante des spineurs de poids nul. Pour cela, on introduit (e_a)_a=1,...,nun repère orthonormal de (M, g). Il est relié au repère naturel (∂i)i=1,...,n, défini par les champs de vecteurs associés aux coordonnées xi, via le changement de repère ei

a = F⁻¹2δi

a, d’inverse θa

i = F¹2δa

i. Rappelons la formule (3.25) de la 1-forme de la connexion de Levi-Civita

ω_a^b = θ_k^b

de^k_a+ Γ^k_jie^j_adxⁱ

, (4.64)

avec Γ^k_ji le symbole de Christoffel de la connexion de Levi-Civita, qui vérifie dans le cas conformément plat Γ^k_ji = _2F¹ 

F_jδ_i^k+ F_iδ_j^k− F^kg_ij

. La dérivée covariante des spineurs (3.66) est alors donnée par

∇i= ∂_i+¹ 4^ω

b

où γ^a = γ(η^ace_c) et γ_b = γ(e_b). De l’expression de ω^a_b, donnée en (4.64), il découle alors ω_ai^b γ^aγ_b= _2F¹ Fjγ^jγi− Fkγiγ_k

, où γi= γ(∂i) et γ^j = g^ijγi. On obtient donc au final, ∇i = ∂_i− ¹

8F^{[γi, γ}

j]F_j, (4.66)

ce qui permet de conclure.

La formule (3.35) définit la dérivation horizontale surS^δ[ξ], associée à la connexion de Levi-Civita. L’espaceTδ, vu comme espace de fonctions surM, admet donc une dérivation horizontale donnée par

∂^∇_i = ∂i+ Γ^k_ijp_k∂pj − Γ^kijξ^j∂_ξk − ! δ− ^ξ i∂_ξi n " Γi, (4.67)

où Γ_i = Γ^j_ij. On en déduit son expression en coordonnées conformes, ∂_i^∇= ∂_i+ ¹ 2F ^FiE + Fkp_i∂_pk− F^jp_j∂_pi
− ¹ 2F  F_kξ^k∂_ξi− F^jξ_i∂_ξj  − ^nδ 2F^{Fi. (4.68)} Détermination d’une quantification conformément invariante

Nous appellerons quantification, dans la suite de ce paragraphe, la famille d’applications suivante.

Définition 4.3.11. Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne quelconque, ∇ la

connexion de Levi-Civita et P ∈ Tδ

1. On appelle quantification les applications linéaires préservant le symbole principal ˜QT ,g :T1^δ→ D^λ,µ, données par

˜ QT ,g(P ) = N ◦ evg(Pⁱ)~ i ∇ λ i (4.69) +N ◦ evg  c0g˜_ikξ^jξ^k∂_j^∇Pⁱ+ c1∂^∇_i Pⁱ+ c2g^ijg_klξ^l∂_i^∇P_j^k+ c3ξⁱ∂_i^∇P_j^j+ c4g˜^ij∂_i^∇P_kj^k ,

où les coefficients c₀, . . . , c₄, sont des polynômes en Σ, Pi = ∂_pi, P_i = ∂_ξiP , et enfin ˜

g_ij = g_ij|volg|⁻n², ˜g^ij = g^ij|volg|n².

Les termes facteurs de c₀et de c₄ se voient affectés d’un poids pour qu’ils soient encore dansTδ, sachant qu’ils changent le degré en ξ de respectivement +2 et−2. Remarquons que ˜

g est un invariant conforme. Pour une métrique conformément plate on a ˜g_ij = η_ij|volx|⁻²n, avec|volx| la forme volume locale donnée par un système de coordonnées conforme volx = dx¹∧ . . . ∧ dxn.

Nous déterminons désormais, dans la classe d’applications précédemment définie, celles qui sont invariantes sous changement conforme de métrique.

Théorème 4.3.12. Soit g^′ = F g une métrique conforme à g, sur une variété M . La

quantification ˜QT ,∗ est invariante conforme, i.e.

˜

QT ,g′ = ˜QT ,g, (4.70)

si et seulement si c₀ = c_S, c₁ = c_d+ c_λψ, c₂ =−cλψ, c₃= c_γψ et c₄ = c_λω; ces polynômes étant donnés respectivement dans la Proposition 4.3.5 et la Proposition 4.2.9.

La quantification conformément équivariante Q^λ,µ_T coïncide avec la quantification conformément invariante ˜QT ,g sur les variétés (M, g) conformément plates.

La démonstration, technique, de ce théorème est donnée dans l’Annexe C. Remarquons que les coefficients c₁, . . . , c₄de la quantification ˜QT ,gsont données, en fonctions des coeffi-cients c_d, . . . , c_λω, par les mêmes expressions que ceux intervenant dans l’écriture (4.43) de Qλ,µ. L’écriture covariante deQ^λ,µ_T est donc obtenue en substituant les dérivées ordinaires par des dérivées covariantes.

4.4 Formulation covariante de la quantification

conformé-ment équivariante des symboles de degré 1

Nous pouvons désormais formuler en termes covariants la quantification des symboles Qλ,µ : (Sδ

1[ξ], L^δ) → (Dλ,µ,Lλ,µ), déterminée par les Théorèmes 4.2.10 et 4.2.11 en co-ordonnées conformes, sur une variété conformément plate quelconque. Pour cela nous allons nous appuyer sur la Proposition 4.3.8 qui l’exprime à partir de la quantification Q^λ,µ_T : (Tδ

1, L^δX) → (Dλ,µ,Lλ,µ), ainsi que sur le Théorème 4.3.12 qui fournit une écriture covariante de Q^λ,µ_T . Nous en déduisons une formulation covariante pour la superisation également.

Rappelons que la dérivée horizontale des symbolesSδ

1[ξ] est donnée par (3.35) et celle des spineurs de poids λ par (4.63).