Jean Jeener a montr´e [13] et nous rappelons au chapitre 4, section [REF], que dans le cas d’un milieu infini p´eriodique, sous l’action du champ dipolaire, une inhomog´en´eit´e d’aiman-tation pouvait croˆıtre exponentiellement avec un taux de croissance proportionnel `a Fdip. On peut montrer comment la croissance d’une inhomog´en´eit´e entraˆıne la d´ecroissance du signal d’aimantation transverse.
En reprenant les notations de [13] : −→
M (x, t) =−→
M0(t) + −→m(x, t), (II.15)
o`u−→
M (x, t) est l’aimantation en un point x de l’´echantillon `a l’instant t et−→
M0(t) est l’aimantation moyenn´ee sur l’espace au temps t. Ainsi −→m(x, t) est de moyenne spatiale nulle. On suppose que k−→m(x, t)k k−→
M0(t)k `a tout instant (hypoth`ese requise dans [13]). On d´ecompose −→m(x, t) en ondes planes :
−
→m(x, t) =X
k6=0
−→
mk(t)eik.x (II.16)
D’apr`es [13], en l’absence de diffusion, les −m→
k(t) ont une croissance exponentielle `a un taux γ d´ependant de la direction du vecteur d’onde, not´ee par le vecteur unitaire ˆk. On suppose ici que la croissance au taux maximal pr´evu par [13] (correspondant `a ˆk dans la direction du champ) domine la dynamique, cela sera vrai aux temps assez longs pourvu que le germe initial ait au moins une composante sur ce vecteur d’onde. On a alors pour un tel k :
−→
mk(t) = −−→mk+(0).eγt, et : (II.17)
−
→m(x, t) ' −−→m
k+(x, 0).eγt, (II.18)
En prenant le carr´e scalaire de cette derni`ere ´equation, et en moyennant sur l’espace, on obtient :
< k−→
M (x, t)k2 >= k−→
M0(t)k2+ < k−−→mk+(x, 0)k2 > .e2γt, (II.20) o`u < ... > repr´esente une moyenne spatiale sur l’´echantillon. Or en l’absence de relaxation k−M (x, t)k est constante en tout point. On ´→ ecrit :
−→
M0(t) =−−→
M0z(t) +−−→
M0⊥(t). (II.21)
On peut montrer que −−→
M0z(t) est constante dans le temps, et donc nulle apr`es un basculement de 90◦. Pour s’en convaincre, il suffit de sommer sur l’espace l’´equation d’´evolution de Mz´ecrite aux chapitre 3, section III.2. D’o`u :
k−−→M0⊥(t)k2 =< k−→
M (x, t)k2 > − < k−−→mk+(x, 0)k2 > .e2γt, (II.22) On voit ainsi qu’on peut pr´edire en l’absence de diffusion et de relaxation, dans un milieu infini p´eriodique plong´e dans un champ magn´etique statique homog`ene, pour les temps initiaux de l’´evolution de l’aimantation apr`es un basculement de 90◦ (i.e. tant que |m| |M0⊥|), un signal dont l’amplitude est une constante moins une exponentielle croissante. Le taux de croissance de cette exponentielle est d’apr`es les calculs le double du taux de croissance du germe indiqu´e dans [13] et qui lui donne naissance.
On a donc tent´e d’approximer les premiers instants de chaque courbe de pr´ecession apr`es un basculement de 90◦ par des courbes de type ”constante - exponentielle”, et d’´etudier le taux de croissance obtenu en fonction de Fdip. En fait, on a pu observer que la forme des signaux s’approxime bien par des fonctions faisant intervenir une tangente hyperbolique sur une p´eriode temporelle allant de l’instant initial `a l’instant o`u le signal a atteint 60 % `a 70 % de sa valeur maximale, fonctions qui permettent de prendre en compte `a la fois le d´epart exponentiel et l’inflexion de la d´ecroissance du signal. La fonction choisie est donc :
y = A0
2 {1 − tanh[γe(t − ti)]}. (II.23)
On se reportera `a [6] pour une discussion sur la pertinence de l’utilisation de cette fonction pour l’´etude de la d´ecroissance de l’aimantation, ainsi que la d´ependance des param`etres d’ajustement en fonction de la zone d’approximation. L’incertitude sur la valeur de chacun de ces param`etres est variable. A partir de l’´etude pr´esent´ee dans [6], et de quelques tests que nous avons r´ealis´es, on estime qu’on peut d´eterminer `a 10 % pr`es le taux de d´epart des inhomog´en´eit´es γeen utilisant une approximation par une tangente hyperbolique. Dans des cas tr`es d´efavorables, l’erreur sur ce taux peut atteindre 20 %. On obtient en revanche une excellente pr´ecision sur le temps de demi-vie et l’amplitude initiale.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ajustement de 100% à 65% de A0 Résidu : Signal
Fit par une fonction tanh :
A0 = 0.435 ±0.002 ti = 0.134 ±0.001 ve = 30.5 ±1.5 Chi^2/DoF = 0.00009 A m p lit ud e du si gn al (u .a .) Temps (s) 0.00 0.05 0.10 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02
Fig. II.19 – Exemple d’approximation du signal de pr´ecession apr`es un angle de basculement de 90◦ par une courbe tangente hyperbolique (cf. ´equation II.23). La fr´equence dipolaire est Fdip = 36.0 ± 0.1 Hz, et le champ est horizontal HN. Le r´esidu (signal moins son approximation) est trac´e dans l’encart.
Dans l’hypoth`ese, qu’on v´erifiera ult´erieurement, o`u eγeti 1, on peut interpr´eter A0comme proche de l’amplitude initiale du signal et γe comme proche du taux de croissance des inho-mog´en´eit´es (γe ' γ). De plus ti, instant de l’inflexion de la tangente hyperbolique, est proche du temps de demi-vie (ti ' T1/2). En effet, pour t ' 0 et eγeti 1, on a :
A0
2 {1 − tanh[γe(t − ti)]} ' A0− (A0e−2γeti).e2γet (II.24) De plus A0.e−2γeti est une mesure de l’amplitude initiale de l’inhomog´en´eit´e. On remarquera alors que l’hypoth`ese eγeti 1 implique que la taille initiale du d´esordre est n´egligeable `a l’instant 0 devant l’amplitude initiale.
La figure II.19 pr´esente un exemple d’approximation du d´epart exponentiel par la fonction de l’´equation II.23. L’encart sur la figure montre de plus un graphe du r´esidu (signal auquel on a retranch´e l’approximation) : on n’y observe aucun biais syst´ematique, prouvant ainsi que ce
dessus) de 22 Hz, sans que rien ne permette de les distinguer, ni du point de vue des conditions exp´erimentales, ni du point de vue de l’ajustement par une tangente hyperbolique. En effet, pour chacun de ces points ”singuliers”, on peut trouver un point ”r´egulier” effectu´e le mˆeme jour. On pense donc que les conditions d’homog´en´eit´e du champ magn´etique, de pr´ecision du basculement, ou de temp´erature du milieu sont bien les mˆemes. De plus les courbes auxquelles correspondent ces points ne sont ni plus ni moins bien approxim´ees par une tangente hyper-bolique. On ne distingue `a ce stade d’aucun indice permettant d’avancer une explication de l’existence ces taux de croissance plus rapides. Une ´etude plus syst´ematique de ces taux de croissance devrait sans doute ˆetre r´ealis´ee pour tenter de r´esoudre cette question.
Nous disposons de plusieurs points de comparaison de ces taux de croissance :
– Le taux de croissance maximal pour α = 90◦, en milieu infini, d´etermin´e analytiquement par Jean Jeener dans l’article [13], est γmax
∞ = 2.96Fdip (le raisonnement permettant d’obtenir ce nombre est repris au chapitre 4, section IV.1.4, ´equation IV.22). Ce nombre est environ trois fois sup´erieur `a celui que nous obtenons majoritairement pour les tubes en U, et deux fois sup´erieurs `a tous les points ”singuliers” cit´es pr´ec´edemment. Il est `a noter que le taux de croissance d’une onde plane en milieu infini d´epend du vecteur d’onde ˆ
k de cette onde plane. Ainsi
γ∞(ˆk) = γ∞max|3(ˆk.ˆv)2− 1|
o`u ˆv est la direction du champ magn´etique B0. Ainsi on voit qu’en milieu infini le taux de croissance d´epend de la variation spatiale du germe appliqu´e. On a un point de d´epart pour la compr´ehension des diff´erents comportements observ´es pour les taux de croissance, la forme du germe initial n’´etant bien sˆur pas du tout maˆıtris´ee dans le cadre de nos exp´eriences. N´eanmoins il serait surprenant qu’un germe exp´erimental al´eatoire n’ait pas des composantes dans toutes les directions de l’espace.
– Dans des ´echantillons de type sph`eres ou cubes, qui s’´etendant dans les trois directions de l’espace, un taux γSpCumax proche de 2.1Fdip, `a 0.15Fdippr`es, a ´et´e observ´e dans les mod`eles et les exp´eriences (cf. chapitre 4, section IV.1.5). Cette valeur est encore syst´ematiquement sup´erieure aux taux de croissance des tubes en U. La valeur de ce nombre est robuste, et semble assez peu d´ependre de la forme du germe et de celle de l’´echantillon (sph`ere ou cube), comme on le verra dans ce mˆeme chapitre.
Avant de conclure cette discussion, on peut examiner la validit´e de l’approximation eγeti 1.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Champ HT Champ HN Régression linéaire (hors points éloignés)
γe
(
s
-1 )
Fdip (Hz)
Fig. II.20 – Etude du taux de croissance γe des inhomog´en´eit´es en fonction de Fdip pour deux directions du champ HN et HT. Deux groupes de points se dessinent. Un premier groupe de points r´epartis autour d’une droite de pente 0.94 (obtenue par r´egression lin´eaire, trac´ee en continu sur le graphe). Un autre groupe de points au-dessus de cette droite, indiquant des taux plus rapides sans qu’on puisse expliquer cette diff´erence par des conditions exp´erimentales.
En effet, on a :
ti ' T1/2 ' 1
0.25 Fdip(cf. fig. II.18). Et :
γe ' Fdip D’o`u :
eγeti > 50,
l’hypoth`ese est donc valide : la taille initiale du d´esordre est n´egligeable devant l’amplitude initiale.
Ainsi les r´esultats obtenus sur les tubes en U de x´enon polaris´e pour des angles de bascu-lement de 90◦ ont r´ev´el´e des comportements int´eressants de l’aimantation. La d´ecroissance de l’aimantation est non exponentielle, mais contrairement au deuxi`eme r´egime des petits angles (cf. infra) s’effectue en une seule constante de temps. La forme de la d´ecroissance pour α = 90◦ semble assez universelle pour les syst`emes polaris´es, des formes similaires ´etant observ´ees dans des syst`emes sph´eriques exp´erimentaux et dans des syst`emes cubiques ou sph´eriques mod´elis´es (cf. discussion du chapitre 4, section IV.1.5). La vitesse de d´ecroissance, caract´eris´ee par Γ1/2, varie d’un syst`eme `a l’autre.
Les premiers instants de la d´ecroissance ont pu ˆetre interpr´et´es comme la croissance expo-nentielle d’un germe initial. Le taux de croissance obtenu pour les tubes en U ´etudi´es ici est syst´ematiquement plus faible que celui des mod`eles ou des autres syst`emes exp´erimentaux cit´es, mais reste du mˆeme ordre de grandeur (moins de trois fois plus faible que le plus rapide des taux observ´es dans les autres syst`emes). Le caract`ere ”d’instabilit´e” de l’aimantation initiale quasi-uniforme est ainsi illustr´e.