III.5 Utilisation des diff´ erents mod` eles
IV.1.3 Etude de la croissance d’un germe initial en fonction de l’angle de bascu-
Une ´etude syst´ematique de l’´evolution temporelle d’un syst`eme p´eriodique sans bord en fonction d’un angle initial de basculement a ´et´e r´ealis´ee pour un syst`eme de taille N = 16. Le germe initial choisi est de taille 0.01 et de forme donn´ee par l’´equation IV.2. Les r´esultats de cette ´etude sont pr´esent´es sur la figure IV.9. La partie sup´erieure de la figure IV.9 pr´esente en fonction de l’unit´e r´eduite de temps la forme de la FID pour diff´erents angles de basculement α. La valeur initiale de chaque FID refl`ete la fraction de la polarisation totale que se trouve dans le plan transverse `a l’instant initial, ´egale `a sin α. On remarque tout d’abord que le temps de vie est d’autant plus important que l’angle α est faible. Pour les angles sup´erieurs ou ´egaux `a 40◦; la forme de chaque FID est tr`es semblable `a celle d´ej`a observ´ee pour des angles de 90◦ : le signal RMN meurt assez brutalement en un temps compris entre 1.9 et 4.5 en unit´es de Fdip (pour une taille de germe de 0.01). En revanche, pour les angles de 30◦, 20◦ et 10◦, aucune d´ecroissance n’a ´
et´e observ´ee, mˆeme `a des temps tr`es longs (de l’ordre de 1000 Fdip−1). On observe uniquement une oscillation de faible amplitude de |F ID(t)| ; par exemple, l’amplitude des oscillations est 310−5 et la p´eriode 3.0 Fdip−1 pour un angle de 30◦. On a donc mis en ´evidence l’existence d’un angle seuil en de¸c`a duquel les inhomog´en´eit´es ne peuvent pas croˆıtre exponentiellement : le milieu est stable vis-`a-vis de petites perturbations. On dispose d’un mod`ele analytique [13], rappel´e au paragraphe IV.1.4, qui permet de discuter de la stabilit´e du milieu infini face `a une perturbation et pr´edit l’existence d’un angle seuil.
Pour confirmer que la d´ecroissance de l’aimantation est bien due `a la croissance exponentielle du germe pour tout angle sup´erieur `a l’angle seuil, ce qu’on appelle le d´efaut d’aimantation transverse est pr´esent´e sur la figure IV.9 dans la partie inf´erieure, en ´echelle logarithmique. Il s’agit de la diff´erence (|F ID(t = 0)| − |F ID(t)|), `a laquelle on a rajout´e une valeur not´ee b0 sens´ee d´ecrire l’´etat du syst`eme en l’absence de germe. Cette valeur b0 est de l’ordre de 10−5 et est n´egligeable devant (|F ID(0)| − |F ID(t)|) d`es que cette diff´erence atteint une valeur sup´erieure `a 10−4. Pour la figure IV.9, b0 a ´et´e fix´e `a 2 × 10−5. Une discussion sur le choix de b0 est pr´esent´ee par la suite (au paragraphe IV.1.4) `a la lumi`ere de l’´etude sur les germes initiaux. Pour les angles sup´erieurs ou ´egaux `a 40◦ et pass´e un temps initial inf´erieur `a 0.2 en unit´es de Fdip−1, la croissance du d´efaut d’aimantation transverse est bien lin´eaire dans cette
0 2 4 1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 Angle 90° 80° 70° 60° 50° 40° 30° 20° 10°
Défaut d'aimantation transverse
Temps x Fdip 0 2 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Amplitude FID
Fig. IV.9 – Partie sup´erieure : FID pour diff´erents angles de basculements dans un milieu p´eriodique sans bords, pour un germe donn´e par l’´equation IV.2. Partie inf´erieure : D´efaut d’aimantation transverse d´efini comme la diff´erence F ID(0) − F ID(t) + b0 (voir texte).
croissance des inhomog´en´eit´es d´ecroˆıt `a mesure que l’angle de basculement diminue. Une ´etude syst´ematique de ces taux de croissance est pr´esent´ee plus loin (figure IV.11).
Le comportement du d´efaut d’aimantation pour des angles de basculement inf´erieurs `a 30◦ est tr`es diff´erent. On observe des oscillations d’amplitude de l’ordre de 10−5 et de p´eriode 3 pour 30◦, 1.9 pour 20◦. L’origine de ces oscillations en dessous de l’angle seuil sera explicit´ee dans la suite (paragraphe IV.1.4), lorsque le mod`ele analytique aura ´et´e pr´esent´e.
Pour extraire les param`etres de d´ecroissance des FID pour les angles sup´erieurs `a 40◦, on approche ces FID par des fonctions type tangentes hyperboliques, comme au chapitre II, paragraphe II.4.3. La fonction d’approximation utilis´ee est :
f (t) = A0
2 [1 − tanh(γe· (t − ti))] (IV.6)
On se reportera au paragraphe II.4.3 pour la justification de la signification physique des pa-ram`etres A0, ti et γe. On rappelle ici que A0 est proche de l’amplitude initiale du signal, ti
est l’instant o`u a lieu l’inflexion pour la tangente hyperbolique, qui se trouve ˆetre proche du temps de demi-vie T1/2 du signal, et γe qui nous int´eresse plus particuli`erement ici est le taux de croissance des inhomog´en´eit´es. La figure IV.10 permet de comparer la forme d’une FID (obtenue pour α = 60◦) avec la meilleure approximation obtenue par m´ethode des moindres carr´es. La partie de la FID prise en compte pour la m´ethode des moindres carr´es correspond `
a l’intervalle de temps o`u |F ID(t)| est sup´erieur `a 66% de |F ID(0)|. On voit que sur cet in-tervalle, la FID correspond particuli`erement bien `a la d´ecroissance en tanh ; au-del`a de 33% de perte, la d´ecroissance de la FID est plus rapide que tanh et ne semble pas pr´esenter d’inflexion `
a mi-hauteur.
On pourra se reporter `a [6] pour une ´etude syst´ematique de l’erreur sur la valeur des diff´erents param`etres obtenus en fonction de l’intervalle d’approximation, de la m´ethode (tan-gente hyperbolique ou d´ecroissance exponentielle) ou du bruit. On retiendra que le choix d’une approximation en tanh sur un intervalle correspondant `a environ 33% de chute de signal donne des r´esultats peu sensibles aux bornes de cet intervalle. On retiendra ´egalement que l’erreur statistique sur les taux de croissance est environ 5 `a 10%.
La comparaison du d´efaut d’aimantation transverse est aussi pr´esent´ee sur la figure IV.10, dans la partie inf´erieure. Les deux courbes en pr´esence sont le d´efaut d’aimantation obtenu par
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 Défaut d'aimantation Temps x Fdip 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Limite de validité Approx Tanh : Chi^2/DoF = 8.1654E-7 Fin de prise en compte (66% de chute) A0 0.8656 ±0.0002
T1/2 2.396 ±0.001
ge 2.51 ±0.01
FID Amplitude
Fig. IV.10 – Exemple d’approximation par une tangente hyperbolique d’une FID, calcul´ee `
a partir du germe initial donn´e par l’´equation IV.2, pour α = 60◦ (partie sup´erieure). La partie inf´erieure illustre comment le d´efaut d’approximation transverse se compare au d´efaut correspondant `a la mˆeme tangente hyperbolique.
mieux que 5.10−5). Cependant la fonction d’approximation est syst´ematiquement inf´erieure et ne permet pas de d´ecrire les premiers temps de la croissance du d´efaut. Ceci s’explique par le fait que la croissance du d´efaut d´emarre avec une d´eriv´ee nulle, ce qui n’est pas le cas de la courbe d’approximation trac´ee. On verra que la raison ce d´esaccord au d´epart r´eside dans le fait que le germe choisi se d´ecompose en une partie dont l’amplitude croˆıt exponentiellement, et une partie dont l’amplitude d´ecroˆıt exponentiellement. La courbe d’approximation au contraire suppose aux temps courts une croissance exponentielle pure. Dans tous les cas, d’apr`es la m´ethode choisie pour obtenir les param`etres de l’approximation (une m´ethode des moindres carr´es sur la FID), les d´esaccords de l’ordre de 10−5 sur le d´efaut d’aimantation sont compl`etement n´egligeables.
La figure IV.11 pr´esente les taux γe obtenus en fonction de l’angle α dans le cadre d’ap-proximations par des tangentes hyperboliques similaires `a celles que nous venons de d´ecrire. On observe sur cette figure que les taux de croissance donn´es par le mod`ele dynamique `a r´epliques sont tr`es bien reproduits dans le cadre d’une ´etude analytique des effets dipolaires dans un milieu aimant´e (´etude pr´esent´ee ci-apr`es).
0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 6 Taux g e / Fdip Angle de basculement (°) Simulation Analytique
Fig. IV.11 – Taux de croissance des inhomog´en´eit´es obtenus par approximation tangente hy-perbolique sue les FID du mod`ele (symboles) et calcul´es analytiquement (trait continu). Les valeurs des taux de croissance co¨ıncident parfaitement.