IV.4 Echantillons quasi-ph´ eriques ` a angles de basculement quelconques
V.1.1 Description du mod` ele
a 0.5 K est D = 5 × 10−4 cm2s−1.
Un champ magn´etique de 1.3 mT est appliqu´e le long de l’axe du tube. L’homog´en´eit´e du champ est maˆıtris´ee, si bien que l’inhomog´en´eit´e r´esiduelle est de l’ordre de 10−7 T.cm−1. La dynamique de l’aimantation est ´etudi´ee par RMN. La relaxation longitudinale de l’aimantation dans la cellule a ´et´e mesur´ee et donne un T1de l’ordre de 300 s, la relaxation est principalement due `a la relaxation volumique dans le liquide. La relaxation transverse a ´et´e trouv´ee bien plus courte, avec des d´ecroissances de FID allant de quelques millisecondes `a plusieurs secondes. C’est pour tenter de comprendre les m´ecanismes de ces tr`es fortes variations que nous avons d´evelopp´e les deux mod´elisations pr´esent´ees dans ce chapitre, qui sont fond´ees sur chacun des deux mod`eles pr´esent´es au chapitre III : le mod`ele lin´earis´e et le mod`ele `a r´epliques.
V.1 Modes propres dans un mod`ele lin´earis´e de films
cylindriques pour de petits angles de basculement
Cette premi`ere partie du chapitre est consacr´ee `a l’´etude de films verticaux par le mod`ele lin´earis´e. Nous commen¸cons par d´ecrire pr´ecis´ement l’application de ce mod`ele `a des ´echantillons en forme de films. Puis nous pr´esentons les r´esultats obtenus pour un champ magn´etique appliqu´e uniforme et dans un gradient de champ appliqu´e.
V.1.1 Description du mod`ele
On consid`ere un syst`eme de moments magn´etiques dispos´es r´eguli`erement sur une seule couche de forme cylindrique comme illustr´e sur la figure V.2 ; c’est un mod`ele 2D. Nous d´ecrivons
les d´etails de ce mod`ele 2D, puis nous montrons comment il peut ˆetre simplifi´e en un mod`ele 1D en tenant compte de l’invariance de rotation.
Mod`ele lin´earis´e 2D
Le proc´ed´e de discr´etisation pour le mod`ele lin´earis´e a ´et´e pr´esent´e au chapitre III : le film consid´er´e est pav´e par des volumes ´el´ementaires quasi-isotropes. Le rapport a/R ´etant faible, on n´eglige les effets d’anisotropie de ces volumes ; ceci revient `a n´egliger le champ cr´e´e en son centre par un seul volume uniform´ement aimant´e (cf chapitre III, paragraphe III.3.1). On s’int´eresse `
a l’´evolution de moments magn´etiques situ´es au centre de chacun de ces volumes. On rep`ere chaque moment par un couple d’entiers (k, j), o`u k est le num´ero du cube dans la direction z en partant du centre, et j le num´ero sur la circonf´erence (cf. fig. V.2).
Maillage de l’échantillon par des volumes élémentaires quasi-isotropes
Polarisation M(k,j)
Couplage entre volumes : Interactions dipolaires k k=0 j=0 j ≈ a a ≈ a Pseudocubes : z
Fig. V.2 – Sch´ema du maillage d’un film cylindrique par des ”pseudo-cubes” de cˆot´e a, o`u a est l’´epaisseur du film mod´elis´e.
respecter les rapports a/R et a/H. Cependant on pourra souhaiter changer ces nombres pour ´
etudier la d´ependance du mod`ele en fonction de certains param`etres. Ecriture des couplages
On se place dans le cadre de l’approximation des petits angles de basculement. On rappelle que, dans ces conditions, la polarisation longitudinale Mz est constante. De plus l’´evolution de la polarisation transverse en chaque point peut s’´ecrire sous la forme d’une ´equation lin´eaire :
dM+ (k,j) dt = 2iπ · F(k,j)· M+ (k,j) + Fdip· X (k0,j0)6=(k,j) C(k,j),(k0 0,j0)Mz0 (k0,j0)· M+ (k,j) +Fdip· X (k0,j0)6=(k,j) C(k,j),(k00 0,j0)Mz0 (k,j)· M+ (k0,j0) (V.1)
Dans cette ´equation :
C(k,j),(k0 0,j0) = 3 cos 2θ(k,j),(k0,j0)− 1 (d(k,j),(k0,j0))3 × 2 (V.2) C(k,j),(k00 0,j0) = C 0 (k,j),(k0,j0) 2 avec : (V.3) (d(k,j),(k0,j0))2 = (k − k0)2 + 2NR2 1 − cos[2π NR(j − j 0 )] (V.4) cos2θ(k,j),(k0,j0) = (k − k 0)2 (d(k,j),(k0,j0))2 (V.5)
avec d(k,j),(k0,j0)· a repr´esentant la distance r´eelle entre les centres des volumes (k, j) et (k0, j0) et θ(k,j),(k0,j0) l’angle form´e entre l’axe z et la droite passant par les centres des volumes (k, j) et (k0, j0). On notera que d’apr`es l’´equation V.1, l’´evolution est ind´ependante de a : il y a invariance d’´echelle. Ceci provient du fait qu’`a densit´e d’aimantation donn´ee, l’aimantation totale d’un volume ´el´ementaire est proportionnelle `a ce volume, et donc `a a3; de plus le champ dipolaire cr´e´e par ce volume ´el´ementaire est proportionnel `a l’aimantation totale sur ce volume et inversement proportionnelle au cube de la distance `a ce volume. Ainsi l’emploi d’une distance normalis´ee entre cubes (la distance r´eelle divis´ee par a) permet d’´eliminer la d´ependance en a de ce champ dipolaire, et donc dans V.1. D’autre part toute la d´ependance en densit´e d’aimantation a ´et´e condens´ee dans Fdip. On supposera toujours dans la suite que la polarisation longitudinale est uniforme ´egale `a 1 : Mz0 (k,j) = 1. Dans ces conditions, on peut r´ecrire l’´equation V.1 sous la forme :
dM+ (k,j) dt = 2iπFdip· X (k0,j0) A(k,j),(k0,j0)· M+ (k0,j0), (V.6) en posant : A(k,j),(k0,j0) = C(k,j),(k00 0,j0), pour (k, j) 6= (k0j0) (V.7) A(k,j),(k,j) = F(k,j) Fdip + X (k0,j0)6=(k,j) C(k,j),(k0 0,j0) (V.8)
(A) est appel´ee la matrice de couplage de l’aimantation transverse.
On introduit ´egalement le champ local initial ∆(j,k) qui est la somme partielle de chaque ligne de la matrice (A).
∆(j,k) = X
(j0,k0)
A(k,j),(k0,j0) (V.9)
∆(j,k) correspond, `a un facteur de proportionnalit´e pr`es, `a un facteur de proportionnalit´e pr`es, `
a la valeur de la partie s´eculaire du champ magn´etique induit en chaque point par le reste de l’´echantillon lorsque l’aimantation transverse est uniforme.
Discussion des propri´et´es du mod`ele
On peut tout d’abord remarquer que la matrice des couplages est sym´etrique : A(k,j),(k0,j0) = A(k0,j0),(k,j).
Cette propri´et´e est particuli`erement int´eressante, car elle assure que la matrice (A) est diago-nalisable et que ses vecteurs propres et valeurs propres sont r´eels. De plus les modes propres sont orthogonaux. On en d´eduit imm´ediatement que les modes d’aimantation d´ecrits par ce mod`ele sont de dur´ee de vie infinie.
La matrice de couplage comporte deux parties :
– La partie not´ee F(k,j),(k,j) traduit les inhomog´en´eit´es du champ magn´etique appliqu´e, un gradient de champ par exemple. Elle est purement diagonale.
– La partie constitu´ee des coefficients C0 et C00, qui contient les couplages dipolaires. Elle poss`ede les propri´et´es suivantes :
En revanche il n’y a pas d’invariance par translation : seule la sous-matrice hors diagonale de la partie dipolaire est invariante par translation, et ce en dehors des extr´emit´es du cylindre. C’est cette absence d’invariance par translation qui va ˆetre `a l’origine des propri´et´es de spectral clustering.
Connaissant les propri´et´es de la partie dipolaire de la matrice (A), on peut voir que ces pro-pri´et´es seront vraies ´egalement pour (A) selon les propri´et´es g´eom´etriques du champ magn´etique appliqu´e. En particulier, elle est invariante par rotation lorsque les inhomog´en´eit´es du champ B sont r´eduites `a un gradient vertical ∂B/∂z. Le tableau V.1 r´esume les propri´et´es de la matrice en fonction du champ appliqu´e.
B uniforme ∇⊥B = 0 ∂B/∂z=0
Invariance par rotation √ √
Parit´e √ √
Tab. V.1 – Propri´et´es de la matrice de couplage en fonction du champ magn´etique appliqu´e. ∇⊥repr´esente le gradient transverse. On appelle parit´e la sym´etrie par rapport au plan (z = 0). On peut facilement se convaincre que la structure des modes obtenus par diagonalisation refl`ete d’une certaine mani`ere les propri´et´es g´eom´etriques du syst`eme. En particulier il existe des modes invariants de rotation ou pairs, selon les propri´et´es de (A). Par exemple, lorsque la matrice est paire, tous les modes obtenus sont soit pairs soit impairs.
Dans la suite des ´etudes effectu´ees avec ce mod`ele lin´earis´e, on se placera seulement dans le cas simple d’une aimantation initiale uniforme. On peut alors prouver que si la matrice est invariante de rotation (respectivement paire), seuls les modes invariants de rotations (respecti-vement pairs) ont un poids non nul dans la d´ecomposition en modes de l’aimantation initiale. On pourra donc s’int´eresser uniquement `a ces modes l`a dans l’´etude de la dynamique du syst`eme aimant´e. C’est la base de la simplification du mod`ele dans le cas de l’invariance de rotation, qui est d´ecrite dans le paragraphe suivant.
Mod`ele simplifi´e `a 1D
Lorsque le syst`eme est invariant de rotation, c’est `a dire qu’aucune source d’inhomog´en´eit´e transverse n’est pr´esente, on sait que la matrice et les modes de poids non nuls seront invariants de rotation. On peut donc simplifier le mod`ele 2D en un mod`ele `a une dimension. En effet, si l’aimantation initiale est invariante de rotation, l’aimantation restera invariante de rotation `a tout instant. La polarisation est alors uniforme sur chaque couronne horizontale de la figure V.2 ; on note Mk la polarisation sur la couronne de cˆote k.
On peut r´ecrire l’´equation V.6 sous la forme : dM+ k
dt = 2iπFdip·X
k0
A(1D)k,k0 · M+ k0, (V.10)
en introduisant le couplage entre les couronnes de cˆotes k et k0 : A(1D)k,k0 =X
j0
A(k,0),(k0,j0).
Cette simplification permet de diminuer consid´erablement le temps de calcul. En effet, on a vu que pour mod´eliser le cylindre d’h´elium polaris´e on prenait NR= 50. Dans le cas du mod`ele 1D, on a donc divis´e par 50 la taille du syst`eme consid´er´e, ce qui revient `a un facteur th´eorique d’environ 503 sur le temps de calcul, de l’ordre de (NR× NH)3. En fait la diagonalisation dans le cas du mod`ele 1D est quasi instantan´ee pour des NH de quelques dizaines.
C’est dans le cadre de mod`eles lin´earis´e 1D ou 2D que nous avons ´etudi´e les films cylin-driques verticaux aimant´es dans un champ vertical. Nous pr´esentons dans un premier temps les r´esultats obtenus avec le mod`ele 1D en absence de gradient de champ magn´etique, et mon-trons qu’une structure en modes discrets apparaˆıt. Puis nous ´etudions l’influence d’un gradient de champ vertical sur cette structure de modes. Nous ´etudions ´egalement le comportement du mod`ele en pr´esence d’un gradient de champ transverse en employant un mod`ele 2D. Enfin quelques r´esultats sont montr´es dans le cas particulier o`u NH=1 (couronne de spins) en pr´esence d’un gradient de champ transverse.