III. Rhéologie des Cristaux liquides :
III.3. Structure et propriétés de la phase nématique :
Au cours de cette thèse nous nous sommes intéressés exclusivement à des phases nématiques.
III.3.1. Paramètre d’ordre :
Comme noté au-dessus, dans la phase nématique, les molécules tendent à s’orienter en moyenne suivant n⃗ . On considère un repère dont l’axe 𝑂𝑧⃗⃗⃗⃗⃗ coïncide avec 𝑛⃗ . L’axe d’une molécule individuelle, est représenté par un vecteur unitaire 𝑎 , vecteur dont l’orientation est décrite par les angles 𝜃 et ϕ de la Figure 6 . Le degré d’alignement des molécules le long de n⃗ peut-être caractérisé par un paramètre d’ordre scalaire noté 𝑆 défini selon :
𝑆 = 1
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Dans la phase isotrope ce paramètre vaut 0. Dans la phase nématique 𝑆 = 1 signifie que les molécules sont toutes alignées parallèlement au directeur n⃗⃗⃗ . Dans les phases nématiques expérimentales, ce paramètre varie typiquement entre 0.3 et 0.6 [25].Figure 6: Description de l’orientation du cristal liquide en fonction des angles zénithal θ et azimutal 𝜙.
III.3.2. Elasticité :
En l’absence de contraintes extérieures, les molécules sont idéalement alignées parallèlement à une direction fixe n⃗⃗⃗ . Dans ce cas le champ de directeur est uniforme. En revanche, sous l’effet d’une contrainte extérieure, le cristal liquide se déforme élastiquement pour atteindre une configuration d’équilibre. En général, la densité d’énergies libre 𝐹𝑑 ou énergie élastique de Frank est donnée par [26] :
Fd= 1 2 K1( ∇.⃗⃗⃗ n⃗ )2 + 1 2 K2( n⃗ . ( ∇ ⃗⃗⃗ × n⃗ ))2 + 1 2 K3( n⃗ × ( ∇ ⃗⃗⃗ × n⃗ ))2 + K13 ∇⃗⃗ . (n⃗ ( ∇⃗⃗ . n⃗ )) −1 2 (K22+ K24) ∇.⃗⃗⃗⃗ (n⃗ (∇⃗⃗ . n⃗ ) + n⃗ × ( ∇⃗⃗ × n⃗ )) (47)
Les termes 𝐾1, 𝐾2 et 𝐾3 sont les constantes élastiques correspondant aux déformations respectivement en éventail(Splay), en torsion(Twist) et en flexion (Bend) représentées dans la Figure 7. Les termes 𝐾13 et 𝐾24 sont des termes de divergence qui peuvent être négligés dans les conditions d’ancrage fort. Donc l’énergie de Frank d’un nématique se réduit habituellement à :
Fd =1
2 K1( ∇.⃗⃗⃗ n⃗ )2 +1
2 K2( n⃗ . ( ∇ ⃗⃗⃗ × n⃗ ))2+1
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Figure 7 : Les différentes déformations élastiques d’un cristal liquide nématique.III.3.3. Défauts topologiques et textures :
Suites aux distorsions élastiques, il existe certains endroits où le champ de directeur 𝑛⃗ n’est pas défini. Ces endroits traduisent la présence de défauts topologiques pour le champ de directeur. Expérimentalement, ces points singuliers sont macroscopiquement visibles.
On peut classifier ces défauts (ou bien désinclinaisons) selon un nombre appelé rang (ou charge) topologique 𝑚 qui peut être négatif ou positif (voir Figure 8): 𝑚 = 2𝜋𝑊 .
Figure 8. Configuration du champ du directeur autour d’un défaut topologique de charge m : a) m=1 ; b) m= -1 ; c) m= 1/2 ; d) m= -1/2.
III.3.4. Propriétés optiques :
La phase nématique est un milieu optiquement biréfringent d’indices optiques principaux 𝑛∥ et 𝑛⊥ et qui peut donc modifier la polarisation d’un rayon incident qui le traverse. Ce rayon se sépare ou bien se dédouble en deux rayons ordinaire et extraordinaire de différents vitesses. L’ordinaire est polarisé perpendiculairement au directeur 𝑛⃗ . L’extraordinaire est polarisé parallèlement au plan de réfraction ou bien dans le plan formé par le vecteur d’onde 𝐾⃗⃗ et 𝑛⃗ . La biréfringence induite est donc définie par :
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∆n = ne− no (49)
où 𝑛𝑜 est l’indice de réfraction qui correspond au rayon ordinaire et 𝑛𝑒 est l’indice de réfraction qui correspond au rayon extraordinaire. On a 𝑛𝑜 = 𝑛⊥ et ne est donnée par la relation suivante [27]:
ne = n∥− n⊥
√n∥2𝑐𝑜𝑠2θ + n⊥2 𝑠𝑖𝑛2θ
(50)
où 𝜃 est l’angle entre l'axe optique et la direction de propagation de la lumière (Figure 9). La mesure du retard optique à l’aide d’un compensateur et de l’orientation du cristal liquide permet donc une mesure simple de l’épaisseur d’un film mince.
Figure 9 : Schéma d'un cristal liquide uniaxial orienté uniformément.
III.3.5. Propriétés d’ancrage :
Lorsqu’un cristal liquide nématique est en contact avec une surface, l’invariance par symétrie des orientations spontanées du directeur est brisée. Suite à ce contact, le champ de directeur prend une ou des directions privilégiées, ce qui se traduit par un phénomène important appelé ancrage. L’ancrage d’un cristal liquide sur un substrat est caractérisé par une orientation bien définie et une énergie d’ancrage.
Au voisinage d’une surface, le cristal liquide s’aligne en effet spontanément suivant une direction privilégiée appelée axe facile. Cet axe correspond à l’orientation qui minimise l’énergie de l’interface.
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Selon l’orientation de champ de directeur par rapport à la surface on distingue 3 types d’ancrage selon la valeur de l’angle 𝜃 entre le directeur et la normale à la surface : Ancrage homéotrope (ou perpendiculaire) pour θ = 0 Ancrage planaire (parallèle ou dégénéré) pour θ = 𝜋2 Ancrage oblique (incliné) pour 0 < θ < 𝜋2.
Toute déviation du directeur par rapport à l’orientation privilégiée de la surface a un coût en énergie. Dans le modèle le plus simple et dans le cas d’un ancrage homéotrope cette énergie est donnée, par [28] :
Fs =W
2 ∫ 𝑑S 𝑠𝑖𝑛2θ
(51)
Figure 10 : Différents types d'alignement moléculaire d’un cristal liquide nématique sur une interface.
où W est la force d’ancrage (énergie par unité de surface). Selon sa valeur, on parlera d’ancrage fort ou ancrage faible. Pour comparer les effets élastiques (𝐹𝑑) et les effets de surface (𝐹𝑠) il est en effet habituel d’utiliser une longueur 𝐿𝑒𝑥 appelée longueur d’extrapolation définie par [29] :
Lex = K/W (52)
où 𝐾 est la constante élastique moyenne du cristal liquide. Dans le cas d’un ancrage fort où l’énergie de surface 𝐹𝑠 domine 𝐿𝑒𝑥 sera faible. Dans ce cas la surface va imposer sa direction privilégiée au directeur 𝑛⃗ . Cependant, plus 𝐿𝑒𝑥 est grande plus les effets de surfaces sont négligeables : on est dans le cas d’un ancrage faible et le système cherche à minimiser 𝐹𝑑 en volume.
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III.3.6. Viscosité des cristaux liquides :
En raison de l’anisotropie des cristaux liquides, les lois de comportement rhéologiques à l’échelle locales sont plus complexes que les lois rhéologiques vues précédemment. Pour les fluides les plus simples, la relation la plus simple équivalente à (22) entre le tenseur des contraintes, le directeur 𝑛⃗ et le champ de vitesse de déformation d’un cristal liquide nématique est décrite théoriquement par les équations de Ericksen-Leslie [30],[31] à la base de la nématohydrodynamique. Ces relations utilisent 5 coefficients 𝛼𝑖 i=1.2..5 (connus comme étant les coefficients de Leslie) qui ont la dimension d’une viscosité. Une autre description, provenant de mesures expérimentales [32] définit trois viscosités effectives 𝜂𝑖 mesurés dans des cisaillements planspour lesquels le directeur est orienté selon le gradient de vitesse 𝛻⃗ 𝑣 (viscosité 𝜂1), selon la vitesse 𝑣 (𝜂2), ou selon la direction perpendiculaire au plan (𝑣 , ∇⃗⃗ 𝑣) (𝜂3). En plus de ces trois coefficients, un terme supplémentaire 𝜂12 intervient pour décrire la viscosité effective 𝜂𝑒𝑓𝑓 dans une direction quelconque définie par des angles 𝜃 et 𝜙 par rapport à 𝑣 et ∇⃗⃗ 𝑣:
𝜂𝑒𝑓𝑓 = 𝜂1sin2𝜃 cos2𝜙 + 𝜂2cos2𝜃 + 𝜂3sin2𝜃 sin2𝜙 + 𝜂12sin2𝜃 cos2𝜃 cos2𝜙
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Ces coefficients sont appelés coefficients de viscosité de Miesowicz [33].