Stratégies de résolution de systèmes couplés aéro-structure haute-fidélité 42

Le choix de la stratégie de résolution d’un système couplé est essentielle. La stratégie la plus fréquemment rencontrée dans la littérature repose sur une formulation faiblement couplée. Par exemple, le schéma NLBGS (Non-Linear Block Gauss-Seidel) se basant sur une méthode de point fixe est très utilisé. Cette approche alterne résolution du bloc fluide puis du bloc structure jusqu’à convergence du système couplé. Si le bloc d’équations structure peut être résolu par des solveurs directs, il n’en est pas de même pour le bloc fluide qui nécessite des techniques itératives. Les plus connues se basent sur des approches de type Newton. Dans ce cas, le système linéarisé est résolu avec un solveur itératif de type Newton-Krylov, ou alors converge vers une solution stationnaire en utilisant un schéma temporel associé à une phase implicite approchée (approché réfère ici à une approximation haute-qualité de la matrice jacobienne aérodynamique). Pour stabiliser la résolution des systèmes fortement couplés, il est généralement utile d’introduire une étape de relaxation pour les variables d’état de la structure, du fluide, ou des deux. La valeur optimale du paramètre de relaxation est généralement inconnue. Une amélioration classique et facile

CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DE L’ÉTAT DE L’ART

à mettre en œuvre consiste à choisir un paramètre de relaxation dynamique obtenu par l’accélération de Aitken [Irons et Tuck 1969].

Typiquement, dans [Maute et al. 2000] est résolu un problème aéroélastique quasi-statique haute-fidélité en utilisant une méthode NLBGS. Le calcul des sensibilités est ensuite effectué en appliquant la même méthode, modifiée pour un problème linéaire. Constatant les limites de cette méthode, [Barcelos et al.] développent en 2006 une nouvelle méthode pour résoudre les problèmes quasi-statiques fluide-structure ainsi que le problème des sensibilités. Pour cela, ils utilisent une formulation "complément de Schur" qu’ils appliquent aux variables de l’interface du maillage aérodynamique. Les analyses aéroélastique et de sensibilité sont ensuite réalisées avec une méthode de type Newton-Krylov via l’algorithme GMRES (Generalized Minimal Residual- [Saad et Shultz 1986]). Cet algorithme utilise une projection sur l’espace de Krylov du vecteur solution, puis des techniques de minimisation du résidu mesurant l’écart entre l’équation à satisfaire et l’équation à l’itération courante du processus itératif de résolution. La nouvelle méthode de Barcelos et al. est nommée Schur-Newton-Krylov (SNK) et n’a pas de paramètre de relaxation à régler (noté θ dans leur article). Deux cas d’applications sont ensuite traités pour comparer la méthode par point-fixe, renommée STG dans l’article, et la nouvelle méthode SNK. Le 1er cas-test considère un écoulement tridimensionnel modélisé par les équations d’Euler autour d’une plaque flexible. Deux configuration sont étudiées, considérant une épaisseur de plaque t = 0.025 m (configuration "stiff") puis t = 0.01 m (configuration "soft"). Le tableau 1.2 compare les résultats obtenus pour ce premier cas-test entre l’approche STG et l’approche SNK, lors de l’analyse aéroélastique (AA) et de l’analyse des sensibilités du système (SA). "+" signifie que la convergence n’est pas atteinte après 500 itérations, et "-" dénote un cas

de divergence.

Ces résultats démontrent la supériorité en temps-calcul de l’approche SNK dans tous les cas, sauf pour l’analyse aéroélastique du cas-test "stiff" pour lequel la méthode STG affiche de meilleurs résultats (après réglage du paramètre de relaxation). Pour le cas "soft", quelle que soit l’analyse, la méthode SNK est bien meilleure, car le problème fluide-structure est alors fortement couplé et par conséquent la méthode STG converge plus difficilement.

CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DE L’ÉTAT DE L’ART

Figure 1.2 – Performance de calcul des méthodes STG et SNK pour les configurations "stiff" et "soft" [Barcelos et al. 2006].

modèle éléments finis tridimensionnel est utilisé pour la structure, et le fluide est toujours modélisé par les équations d’Euler. La figure 1.3 représente le coût moyen total par itération du processus d’optimisation.

A nouveau, la méthode de Newton-Krylov apparait plus efficiente et plus robuste que la méthode basée sur le schéma de Gauss-Seidel, dont le choix approprié du paramètre de relaxation reste essentiel. Le potentiel de cette approche a ensuite été confirmé par plusieurs auteurs qui ont adopté des stratégies similaires pour la résolution du problème aéroélastique et de l’analyse des sensibilités ([Kenway et al. 2012], [Jovanov et al. 2016]), se démarquant notamment dans la stratégie de calcul de la jacobienne aérodynamique, ou dans le choix du ou des pré-conditionneurs appliqués au solveur GMRES lors de la résolution du système aéroélastique et du système tangent ou adjoint associé.

Dans ces travaux de thèse cependant, pour des raisons pratiques de réutilisation de l’existant, les analyses aéroélastique et de sensibilité reposent sur un schéma de Gauss-Seidel associé à un schéma d’intégration en temps Backward-Euler pour la résolution du bloc fluide (voir section 2.3.6). Par conséquent, une attention particulière sera portée sur le niveau de relaxation du système résolu, en particulier pour l’analyse des sensibilités par méthode adjointe. Cependant, une approche basée sur un algorithme block flexible GMRES

CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DE L’ÉTAT DE L’ART

Figure 1.3 – Comparaison du coût moyen total par itération d’optimisation des méthodes STG et SNK au cours du processus d’optimisation [Barcelos et al. 2006].

pour la résolution de systèmes linéaires a récemment été implémenté dans elsA [Pinel et Montagnac 2013; Giraud et al. 2010].

1.3 L’optimisation aéro-structure à l’ONERA

Comme mentionné dans l’introduction, de récents travaux ont été menés à l’ONERA sur le sujet de l’optimisation de forme aérodynamique rigide (modélisation RANS) avec la thèse de [Drullion] (2004). La thèse de [Marcelet] (2008) étend ces travaux de manière à prendre en compte un modèle structure sous la forme idéalisée d’une poutre Euler-Bernouilli (et modèle fluide Euler/RANS), implémenter les méthodes de transfert forces/déplacements pour pouvoir réaliser une analyse aéroélastique, et enfin développer une capacité de calcul de gradients pour de l’optimisation de forme aérodynamique flexible. Au cours de sa thèse, [Ghazlane] (2012) complète ces outils afin de prendre en compte, dans le calcul des gradients, des paramètres structuraux en plus des paramètres aérodynamique de forme. A l’aide de ces

CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DE L’ÉTAT DE L’ART

outils de calcul de gradients, un design préliminaire aéro-structure d’une aile à flèche inverse en utilisant une stratégie bi-niveau a été réalisé récemment [Viti et al. 2016]. Cependant, ces travaux restent limités à une modélisation poutre de la structure. En parallèle de ces thèses, plusieurs modules ont été implémentés dans le logiciel elsA de l’ONERA (voir Chapitre 2) :

elsA/Ael ([Girodroux-Lavigne 2007], [Girodroux-Lavigne et Dugeai 2014]) qui est dédié à

l’analyse aéroélastique haute-fidélité ; elsA/Opt [Peter et al. 2012] dédié à l’optimisation aérodynamique de forme rigide (modèle fluide uniquement) dont le développement s’est basé sur certaines des thèses citées précédemment, et elsA/Aoc [Blondeau 2015], le module le plus récent qui combine les possibilités de Ael et Opt afin de calculer des gradients de fonctions aérodynamiques flexibles haute-fidélité par méthodes tangente et adjointe. Ces gradients sont calculés par rapport à des paramètres aérodynamique de forme au début de la thèse, puis ce module est étendu au cours de la thèse afin de pouvoir prendre en compte des paramètres impactant la rigidité de la structure.

D’autre part, en 2007 et 2008, Airbus initie une série de Forums de Recherche eXternes (XRF) incluant le DLR, QinetiQ et l’ONERA. Dans ce cadre naît le projet ARTEMIS (Advanced R&T Enablers for Multidisciplinary Integrated Systems) ([Blondeau et Salah El Din 2012], [Salah El Din et al. 2013]). Son but est l’implémentation de la feuille de route de l’ONERA dans le domaine de la MDO haute-fidélité, afin d’en démontrer les bénéfices lors de la phase de conception préliminaire, ainsi que de s’atteler au problème de l’échange d’informations entre les tâches de conception préliminaire et les explorations au niveau conceptuel. Pour répondre à ces objectifs, la stratégie visée est la mise en place d’une méthodologie et d’un démonstrateur logiciel dédié à l’optimisation bi-disciplinaire (aérodynamique-structure) d’une configuration réaliste d’avion de transport civil. La figure 1.4 représente l’organisation globale du projet ARTEMIS. La brique la plus haute (Global Aircraft Process ou GAP) permet l’exploration de différents concepts d’avion de façon à répondre à un ensemble de spécifications (mission, capacité, géométrie, ...). Il s’agit donc d’une large exploration de l’espace de conception, afin de trouver les meilleurs compromis à l’aide d’optimisations multi-critère, en ayant à disposition le résultat des analyses sur des modèles haute-fidélité réalisées dans la brique du milieu. Celle-ci (Bi-Disciplinary Process ou BDP) est le siège des analyses multidisciplinaires (MDA) et des optimisations basées sur

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Figure 1.4 – Organisation du projet ARTEMIS [Blondeau et Salah El Din 2012].

des outils haute-fidélité. La dernière brique représente un niveau de détail supérieur encore, pour le dimensionnement de panneaux composites (par exemple respecter les critères de flambage avancés).

La brique d’optimisation aéroélastique mise en place par l’ONERA est la brique intermédiaire BDP. Elle est inspirée d’une formulation BLISS (pour Bi-Level Integrated

System Synthesis) [Sobieszczanski-Sobieski et al. 1998]. Ce type de formulation appartient

aux méthodes d’optimisation dites Multidisciplinary Feasible (MDF) distribuées. Cette méthode se distingue des méthodes classiques de conception car elle considère le système dans sa globalité (conception intégrée), ce qui offre une alternative très intéressante aux méthodes d’optimisation séquentielles. Dans ce qui suit, on décrit de manière plus formelle la méthode BLISS.

Dans un système multidisciplinaire, les paramètres de conception peuvent être locaux (affectant un seul sous-système) ou partagés (affectant plusieurs sous-systèmes). Dans les méthodes d’optimisation multidisciplinaires, les méthodes sont dites multi-niveaux lorsque

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l’optimiseur global n’a pas la charge de toutes les décisions du design : chaque sous-système opère indépendamment, le couplage n’étant géré qu’au niveau global lors d’une phase de coordination. L’optimiseur global est simplement chargé de l’échange d’informations entre les différents sous-systèmes.

La méthode BLISS est une méthode multi-niveaux. Elle fournit à chacun des sous-systèmes une grande part d’autonomie. On peut la décomposer en trois étapes :

1. les variables d’état (disciplinaires et couplées) de chacun des sous-systèmes sont calculées, ainsi que leurs gradients par rapport aux paramètres de conception (locaux et partagés).

2. Pour chacun des sous-systèmes, le problème d’optimisation consistant à calculer l’ensemble des paramètres locaux de manière à minimiser une fonction objectif tout en satisfaisant un jeu de contraintes disciplinaires est résolu. Cette fonction objectif mesure l’influence de la discipline sur la fonction objectif globale.

3. Les paramètres de conception partagés sont calculés par l’optimiseur global, de façon à minimiser la fonction objectif globale et à satisfaire les contraintes. Une approche par région de confiance peut être mise en place afin de contrôler la validité des modèles approchés impliqués au niveau global.

La méthode BLISS est une réponse au problème posé par le compromis à trouver entre le besoin d’autonomie de chacune des disciplines et la vision au niveau système global du "tout influence tout". Ce type de méthode est donc bien adaptée dans un processus d’optimisation multidisciplinaire en industrie. La figure 1.5 illustre la décomposition utilisée dans le cadre du projet ARTEMIS, faisant intervenir deux disciplines (aérodynamique et structure), paramétrées par les vecteurs des variables locales p_aet p_s, et par le vecteur des variables partagées t.

Au niveau local, les paramètres de conception p sont calculés de façon à améliorer la contribution de chaque discipline (ici aérodynamique et structure) à la performance globale. La fonction objectif est donc issue d’une technique de séparation :

J = αCd+ (1 − α)W_w ≈ J₀+dJ^T dpa

∆p_a+dJ^T dps

CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DE L’ÉTAT DE L’ART

Figure 1.5 – Décomposition BLISS dans le projet ARTEMIS [Blondeau et Salah El Din 2012].

où le coefficient α représente le compromis entre les fonctions objectif disciplinaires, C_dest le coefficient de trainée, et W_w représente la masse de la structure. La figure 1.6 détaille plus précisément le fonctionnement de la brique structurale. Les efforts aéroélastiques dimensionnant la structure sont déterminés en deux étapes. D’abord, les charges CFD sont calculées de manière externe avec le module Ael et enrichissent une base de donnée initiale. Celle-ci est ensuite combinée avec une procédure de Décomposition Orthogonale aux valeurs Propre (POD) pour déterminer des cas de charges statiques dans toute l’enveloppe de vol, qui sont figés lors du processus d’optimisation structure. Les cas de charge critiques sont eux calculés avec des doublets (DLM).

L’introduction d’allègement de charges dans le processus de dimensionnement peut bénéficier de la plus grande liberté fournie par les structures composites. Cependant, ici les charges CFD sont affectées par les effets de la flexibilité via un couplage faible. Un couplage fort requiert le calcul des dérivées croisées, notamment du gradient des charges CFD flexibles par rapport aux paramètres structuraux. L’introduction de ce calcul de gradients aéro-structure permettrait de fusionner dans la figure 1.6 les deux boucles d’optimisation

CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DE L’ÉTAT DE L’ART

(interne et externe).

Dans la fonction objectif de l’équation 1.1, la prise en compte des sensibilités croisées s’écrit : ∆J = ∆p^T_a  α^dCd dpa + (1 − α)dWw dpa  + ∆p^T_s  α^dCd dps + (1 − α)dWw dps  (1.2) où le premier terme représente la fonction objectif côté aérodynamique, et le second la fonction objectif côté structure. La sensibilité croisée dW_w/dp_a représente la dépendance de la masse structurale aux paramètres locaux de forme aérodynamique. Il s’agit d’un gradient géométrique uniquement, qui ne dépend pas des charges. La sensibilité de l’écou-lement fluide par rapport aux paramètres structuraux dC_d/dps est la seconde sensibilité croisée dans l’équation 1.2. Comme on a pu le voir précédemment, le calcul de ce terme est particulièrement intéressant lorsque l’on considère des ailes ayant une grande flexi-bilité. L’un des axes majeurs de la thèse concerne le calcul de ce terme, et de manière plus générale le calcul du gradient total des charges aéroélastiques par rapport aux para-mètres structuraux. Ainsi, les travaux réalisés au cours de la thèse permettront notamment d’étendre le processus de la figure 1.6 en fournissant directement ces gradients à l’optimiseur.

La recherche de nouvelles configurations d’avions, marquant une rupture avec les configurations historiques, motive pleinement ces travaux de thèse. Les possibilités de modélisation haute-fidélité, la disponibilité d’un certain nombre de méthodes d’optimisation multidisciplinaire efficaces marquées par l’arrêt de l’utilisation de méthodes séquentielles, rendent le calcul des gradients aéro-structure déterminant pour mener à bien cette rupture. Ce manuscrit propose plusieurs approches pour calculer ces gradients en haute-fidélité de manière efficiente.

CHAPITRE 1. PRÉSENTATION DE L’ÉTAT DE L’ART

Chapitre 2

Calcul de l’équilibre statique du

système aéroélastique

2.1 Introduction

Une aile d’avion est une structure flexible qui est soumise à des efforts aérodynamiques importants. Ces efforts déplacent la structure et la déforment, ce qui modifie en retour l’écoulement fluide autour de l’aile. La procédure de calcul de la position d’équilibre statique de l’aile flexible soumise à un écoulement fluide est appelée analyse aéroélastique. La détermination de cette position d’équilibre est importante car la performance aérodynamique de l’aile mais aussi les charges aérodynamiques appliquées à la structure dépendent de sa flexibilité. Le calcul de la performance et des charges aérodynamiques doit donc être réalisé sur la configuration équilibrée afin de tenir compte de cette dépendance. Le gradient de ces charges aéroélastiques est ensuite calculé autour de la position d’équilibre du système aéroélastique. De cette façon, l’optimisation aérodynamique, structure ou aéro-structure de l’aile, basée sur ces gradients, tient effectivement compte des interactions fluide-structure. Cela permet d’aboutir à un meilleur design, de manière plus fiable que si ces interactions sont négligées.

L’analyse aéroélastique fait cohabiter deux physiques différentes : la mécanique des fluides et la mécanique des structures. Pour procéder à cette analyse, il est possible d’utiliser un seul code de calcul, travaillant sur les équations couplées discrétisées sur un maillage unique, et faisant intervenir une interface commune entre les domaines fluide et structure.

CHAPITRE 2. CALCUL DE L’ÉQUILIBRE STATIQUE DU SYSTÈME AÉROÉLASTIQUE

Cependant, il est plus simple d’utiliser deux codes de calcul différents, chacun étant adapté à sa discipline. Les deux domaines maillés ne coïncident pas, ce qui nécessite de définir une interface de couplage, appelée interface aéroélastique dans ce manuscrit, pour assurer le transfert des efforts du fluide vers la structure, et celui des déplacements de la structure vers le fluide. Cette approche est modulaire, et permet de réutiliser des codes existants. C’est cette option qui a été choisie dans ces travaux.

Le système aéroélastique est donc constitué de deux domaines tridimensionnels maillés représentant la structure et le fluide qui l’entoure. Notre objectif est de calculer l’équilibre statique de ce système en choisissant les modèles et méthodes respectant un bon compromis entre temps de calcul et fidélité de la modélisation.

Dans cette étude, on fait l’hypothèse des petits déplacements et petites déformations, ce qui est généralement le cas pour une phase de croisière. Cela nous permet d’utiliser une structure linéaire qui dans ce cadre a un comportement réaliste. Toujours sous ces hypothèses, le maillage de la structure reste fixe, seul le maillage du fluide est impacté par les déplacements structuraux transmis à l’interface aéroélastique. De plus, tous les calculs sont réalisés sur des configurations statiques, dans des conditions stationnaires. Enfin, comme on a pu le voir dans l’état de l’art (Partie 1), plusieurs méthodes existent pour résoudre le problème couplé aéroélastique. Dans ces travaux de thèse, pour des raisons pratiques de réutilisation de l’existant, l’analyse aéroélastique repose sur un schéma de Gauss-Seidel (NLBGS).

Dans ce chapitre, on présente en premier lieu le module elsA/Ael permettant le calcul de la position d’équilibre aéroélastique. Puis, les modélisations fluide et structure utilisées sont détaillées. Ensuite, les techniques de couplage assurant les transferts forces/déplacements entre les deux modèles sont présentées. Enfin, des analyses aéroélastiques sont réalisées sur deux cas-tests de complexité croissante.