Résultats

i=1

(Π/2)². On observe que la valeur de cette distance est plus importante pour le paramètre p₂ que pour p₁. On en déduit que l’information contenue dans Φ diffère plus de

∂Φ/∂p₂ que de ∂Φ/∂p₁. Ainsi, si l’on veut réduire le coût de calcul total, on saura qu’il vaut mieux négliger la contribution de Z(∂Φ/∂p₁) que de Z(∂Φ/∂p₂) dans la reconstruction des gradients.

4.4.3 Résultats

Dans cette section, la méthode non-intrusive est appliquée au cas-test de l’aile M6. Notre objectif est de calculer les gradients de coefficients aérodynamiques et de charges aéroélastiques par rapport aux deux paramètres structuraux définis précédemment. Ces calculs sont réalisés autour de la configuration d’équilibre définie à la section 2.6.

Le tableau 4.1 synthétise les valeurs des gradients totaux des coefficients de portance et de trainée de pression, calculés par méthode intrusive puis non-intrusive. Les résultats

CHAPITRE 4. DÉVELOPPEMENT D’UNE MÉTHODE NON-INTRUSIVE DE CALCUL DE GRADIENT AÉRO-STRUCTURE

obtenus par méthode non-intrusive sont satisfaisant. Le signe et l’ordre de grandeur sont toujours correctement prédits comparés aux résultats de la méthode directe, qui est notre référence. La contribution des dérivées des vecteurs propres ∂Φ/∂p améliore toujours les résultats pour l’approche non-intrusive. On rappelle que sans cette contribution, le coût de la méthode est indépendant du nombre de paramètres d’optimisation, réduisant fortement le coût de calcul des gradients.

Intrusive Non-Intrusive Direct Adjoint Φ,∂Φ/∂p Φ dC_l/dp ^{p1 +1.619 × 10} −2 +1.626 × 10⁻² +1.417 × 10⁻² +1.830 × 10⁻² p2 −5.628 × 10⁻³ −5.622 × 10⁻³ −5.141 × 10⁻³ −6.867 × 10⁻³ dCd/dp ^{p1 +8.818 × 10} −4 +8.905 × 10⁻⁴ +7.897 × 10⁻⁴ +9.772 × 10⁻⁴ p₂ −2.287 × 10−4 −2.276 × 10−4 −2.050 × 10−4 −3.011 × 10−4 Tableau 4.1 – Gradients des coefficients de portance et de trainée par rapport à l’épaisseur des peaux et des longerons. Cas-test de l’aile M6.

Pour le cas particulier des gradients des coefficients aérodynamiques par rapport à des paramètres structuraux, il y a généralement peu de fonctions objectif et de nombreux paramètres d’optimisation. La méthode adjointe est donc l’approche à privilégier, car elle nécessite de résoudre le système adjoint (équation 3.47) autant de fois qu’il y a de fonctions objectif.

On considère maintenant les dérivées totales des charges aéroélastiques. Dans ce cas, le coût de calcul avec l’approche adjointe est indexé sur le nombre de composantes d’efforts individuels. Un chargement réaliste en contient généralement plusieurs centaines, ce qui est comparable au nombre de paramètres utilisés pour une optimisation réaliste. Ainsi, ni la méthode directe, ni la méthode adjointe ne se démarquent réellement dans ce cas particulier. Il en est de même si on utilise la méthode non-intrusive avec la contribution des dérivées des modes, car sa performance sera indexée sur le nombre de paramètres. Cependant, si on calcule ces gradients d’efforts avec la méthode non-intrusive en négligeant cette contribution, le coût de calcul sera bien moindre, comparé aux approches intrusives.

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En effet, dans ce cas, les gradients aéro-structure ne requièrent qu’un calcul linéarisé rigide par mode propre retenu. Cette discussion est illustrée par la figure 4.5.

Figure 4.5 – Synthèse du coût de calcul des différentes méthodes de calcul de gradient.

Sur ce graphe, l’approche non-intrusive est dite "full" ou "light" selon si la contribution venant des dérivées des vecteurs propres ZδΦ_q est prise en compte. Soit n_f le nombre des composantes d’efforts individuels, et n_Φ le nombre de modes retenus dans la base modale (n_f ≫ n_Φ). Dans la version "full", la méthode non-intrusive a une pente plus faible que l’approche tangente puisque seuls des calculs linéarisés rigides sont requis pour reconstruire les gradients. Dans notre cas, le coût d’un calcul linéarisé rigide est environ 0.7 fois celui d’un calcul linéarisé aéroélastique. Le choix de la méthode de calcul de gradient est donc guidé par le nombre de modes retenus (généralement peu), de paramètres d’optimisation, et de composantes d’efforts individuels. Enfin, l’utilisation de l’approche non-intrusive "light" sera dans la majorité des cas le choix le plus économique, mais aussi le moins précis.

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sont calculées avec la méthode directe et comparées avec l’approche non-intrusive (full et light). Afin d’avoir un exemple représentatif, on considère les gradients des efforts transverses et des moments de torsion par rapport à p₁ et p₂. Par souci de clarté, les gradients normalisés sont présentés uniquement pour les nœuds appartenant au longeron avant (voir Figures 4.6 - 4.9). On constate que les résultats pour les approches intrusive et non-intrusive correspondent bien. En prenant l’approche intrusive comme référence, on peut observer que l’approche non-intrusive est toujours prédictive, même sans la contribution des dérivées des vecteurs propres. Cependant, pour certains nœuds proches de l’emplanture, les gradients des efforts transverses par rapport à p₂ calculés sans les dérivées des vecteurs propres sont faux. Ceci met en évidence le rôle essentiel de celles-ci pour certains paramètres d’optimisation. Notons que ce comportement a été correctement prédit par la distance de Grassmann dans la section 4.4.2. Néanmoins, ces imprécisions apparaissent majoritairement pour les faibles gradients, qui affectent peu l’optimisation car l’optimiseur est généralement guidé par les valeurs fortes des gradients.

Figure 4.6 – Gradients des efforts transverse par rapport à p1, calculés avec l’approche non-intrusive (barres vertes et grises). Les valeurs de l’approche tangente (référence) sont fournies (marqueurs rouges).

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Figure 4.7 – Gradients des efforts transverse par rapport à p2, calculés avec l’approche non-intrusive (barres vertes et grises). Les valeurs de l’approche tangente (référence) sont fournies (marqueurs rouges).

Figure 4.8 – Gradients des moments de torsion par rapport à p1, calculés avec l’approche non-intrusive (barres vertes et grises). Les valeurs de l’approche tangente (référence) sont fournies (marqueurs rouges).

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Figure 4.9 – Gradients des moments de torsion par rapport à p2, calculés avec l’approche non-intrusive (barres vertes et grises). Les valeurs de l’approche tangente (référence) sont fournies (marqueurs rouges).