Pour g´en´eraliser le Th´eor`eme 9.1, la principale difficult´e est qu’avec un flux f g´en´eral, on ne dispose plus d’une expression semblable `a (9.27) reliant u et u±.
9.3.1 Un corollaire du th´eor`eme de Lax
On a alors choisi de se placer dans le contexte de la section 8.2, o`u les solutions sont d´ecrites par la formule de Lax (8.22)-(8.23), et on a ´etabli la proposition suivante, qui en est un corollaire.
Proposition 9.5 On consid`ere ici un flux f de classe C2 qui v´erifie (8.21) et dont la
d´eriv´ee seconde est born´ee sur R
f00≤ B, (9.30)
et on d´esigne par h− et h+ les solutions faibles entropiques de la loi de conservation scalaire (8.2) issues respectivement de deux donn´ees initiales admissibles h−0 et h+0 dont l’une, au moins, est semi-lipschitzienne sup´erieurement. S’il existe un α≥ 0 pour lequel
h−0 ≤ h+0 + α, (9.31)
alors h− et h+ v´erifient
h−(t, x−+ t∆)≤ h+(t, x+) + α + tL∆ (9.32) pour tout t > 0, tout x∈ R et tout ∆ > αB, avec L := min{supR(h−0)0, sup
R(h+0)0}.
Remarque 9.6 D’apr`es (8.15) et (8.18), l’enveloppe convexe de l’ensemble I(t) = h−(t, R)∪ h+(t, R)⊂ R d´ecroˆıt au cours du temps. On peut donc restreindre les hypo-
th`eses faites sur le flux f `a l’enveloppe convexe de I(0) = h−0(R)∪ h+0(R), les valeurs
de f en dehors de cet intervalle n’ayant aucune influence sur les solutions h− et h+.
L’hypoth`ese (9.30) est donc une simple cons´equence de la continuit´e de f00.
Preuve. On va utiliser le fait que les solutions h− et h+sont donn´ees par (8.22)-(8.23). Pour x et t donn´e, si y+= y+(t, x) minimise la fonctionnelleL+(·, t, x) := Lh+
0,f(·, t, x),
on peut montrer que minimiseurs y−deL−(·, t, x + t∆) := L
h−0,f(·, t, x + t∆) sont tous
sup´erieurs `a y+, au sens large (ce qu’illustre la figure 9.5). Pour cela, il nous suffit que
la quantit´e
9.3. Stabilit´e des lois de conservation `a flux convexes soit strictement positive lorsque z < y+. En utilisant le fait queL+(y+, t, x)≤ L+(z, t, x)
pour tout z, on a K ≥ L−(z, t, x + t∆)− L−(y+, t, x + t∆)− L+(z, t, x) +L+(y+, t, x) = Z y+ z h+ 0(s)− h−0(s) ds + t f∗ x − z + t∆ t − f∗ x − y++ t∆ t − f∗ x − z t + f∗ x − y+ t = Z y+ z h+0(s)− h−0(s) + (f∗)0 x − s + t∆ t − (f∗)0 x − s t ds. (9.34) En utilisant l’hypoth`ese (9.31), on en d´eduit que
K(z)≥ Z y+ z −α + inf((f ∗)00)∆ = (y +− z) inf((f∗)00)∆− α
d`es que ∆ est positif. Et lorsqu’il est strictement sup´erieur `a αB, on voit d’apr`es (8.32) que K(z) > 0 pour tout z < y+.
A ce stade, on peut donc ´ecrire que pour tout x, le plus grand minimiseur y+ de
Lh+0,f(·, t, x) est `a droite du premier minimiseur y− de Lh−0,f(·, t, x + t∆), y+ et y−
v´erifiant respectivement
h+(t, x+) = h+0(y+) et h−(t, x−+ t∆) = h−0(y−). (9.35)
En ´ecrivant l’´egalit´e (8.27) pour y− et y+, on obtient
y−+ tf0(h−0(y−)) = x + t∆ = y++ t∆ + tf0(h+0(y+)). (9.36)
La convexit´e de f nous permet d’en d´eduire que y− et y+ v´erifient soit
h−0(y−)≤ h+0(y+),
ce qui entraˆıne h−(t, x−+ t∆)≤ h+(t, x+) d’apr`es (9.35), soit y−≤ y++ t∆.
Dans la mesure o`u y+≤ y−, on peut alors utiliser l’hypoth`ese (9.31) sur h−0 et h+0 pour
calculer
h−0(y−)≤ h+0(y−) + α≤ h0+(y+) + L(y−− y+) + α≤ h+0(y+) + tL∆ + α, (9.37)
si (h+0)0≤ L, ou bien
h−0(y−)≤ h−0(y+) + L(y−− y+)≤ h−0(y+) + tL∆≤ h+0(y+) + tL∆ + α (9.38)
si c’est (h−0)0 qui est major´ee par L. L’in´egalit´e (9.32) se d´eduit alors imm´ediatement
x−z t z y ˜y ? ? x x + ∆ f0 (u0) f0 (˜u0) x+∆−z t
Fig. 9.5 – position des minimiseurs ˜y apr`es une perturbation de la donn´ee initiale u0
(illustration de la preuve de la proposition 9.5).
9.3.2 Stabilit´e des lois unidimensionnelles `a flux convexes
On a alors ´etabli le r´esultat suivant, qui g´en´eralise le th´eor`eme 9.1.
Th´eor`eme 9.2 On consid`ere ici un flux f de classe C2 qui v´erifie (8.21) et dont la
d´eriv´ee seconde est born´ee sur R
f00≤ B, (9.39)
ce qui est toujours possible d’apr`es la remarque 9.6. Si u0 est une fonction semi-
Lipschtizienne sup´erieurement
(u0)0 ≤ L (9.40)
et si v0 est admissible au sens de la d´efinition 9.1, alors les solutions faibles entropiques
u(t,·) et v(t, ·) de la loi de conservation scalaire (8.2) issues des donn´ees initiales u0
et v0 v´erifient
dH(u(t,·), v(t, ·)) ≤ C(t)dH(u0, v0) (9.41)
avec C(t) = ˜L(1 + 2tB ˜L) et ˜L := 2L + 1.
Preuve. Mis `a part l’expression (9.27), la preuve du th´eor`eme 9.1 s’applique `a nouveau. On aura donc ´etabli l’in´egalit´e (9.41) si l’on arrive `a montrer que
dH(u, u+)≤ ε˜L(1 + 2tB ˜L), (9.42)
o`u u+ d´esigne la solution issue de la translat´ee
u+0(x) := u0(x− ε) + ε˜L (9.43)
(not´ee S+u
0 en (9.23)), et ε la distance initiale dH(u0, v0). Pour estimer la distance
entre u(t,·) et u+(t,·), on peut rappeler dans un premier temps que la monotonie de
l’´equation nous assure que
u(t,·) ≤ u+(t,·). (9.44)
Dans un deuxi`eme temps, on peut utiliser la proposition 9.5 avec h−0 = u+0(· + ε), h+0 = u0 et α = ˜Lε. On a alors pour tout t > 0 et tout x (en prenant ∆ = 2 ˜LεB)
9.3. Stabilit´e des lois de conservation `a flux convexes soit en observant que h+(t,·) = u(t, ·) et h−(t,·) = u+(t,· + ε),
u+(t, x−+ ε(1 + 2t ˜LB))≤ u(t, x+) + ε ˜L(1 + 2tLB). (9.46) Pour conclure, on peut utiliser le fait que u ne peut avoir que des discontinuit´es d´ecrois- santes (garantit par exemple par l’in´egalit´e d’Oleinik (8.25)). On en d´eduit qu’un point m du graphe compl´et´e de u(t,·) s’´ecrit toujours (x, u) avec u ∈ [u(t, x+), u(t, x−)]. Les
in´egalit´es (9.44) et (9.46) nous apprennent alors que le graphe compl´et´e de u+(t,·) intersecte le rectangle de diagonale [m, m + ε((1 + 2t ˜LB), ˜L(1 + 2tLB)] (voir figure 9.6). On en d´eduit qu’il est `a une distance inf´erieure `a ε ˜L(1 + 2tB ˜L) du point m, et ceci ´etant valable pour tous les points m de Gu, que
(u, u+)≤ ε˜L(1 + 2tB ˜L) (9.47)
o`u l’´eloignement entre deux fonctions est d´efini par (9.15). Les in´egalit´es (9.44) et (9.46) ´etant valable pour tout x, on peut ´egalement en d´eduire que le graphe com- pl´et´e de u(t,·) intersecte tous les rectangles de diagonale [m+− ε((1 + 2t ˜LB), ˜L(1 +
2tLB)), m+], lorsque m+ d´ecrit le graphe G
u. On en d´eduit que (u+, u) ≤ ε˜L(1 +
2tB ˜L), d’o`u finalement (9.42), et la preuve est termin´ee.
m + ε (1 + 2t ˜LB), ˜L(1 + 2tLB) Gu+?
Gu
m = (x, u(x−))
Fig.9.6 – d’apr`es (9.44) et (9.46), le graphe de u+ est proche de tous les points m du
graphe compl´et´e de u.
9.3.3 Stabilit´e vis-`a-vis des perturbations de flux
Dans le mˆeme esprit, on a ´etabli le r´esultat suivant concernant la stabilit´e des lois de conservation scalaires pour une perturbation lipschitzienne du flux.
Th´eor`eme 9.3 On consid`ere ici deux flux f et g de classeC2 v´erifiant
0 < A≤ f00≤ B et 0 < A≤ g00 ≤ B, (9.48) et une fonction u0 admissible au sens de la d´efinition 9.1. Si u et v sont respec-
tivement solutions (faibles, entropiques) des lois de conservation (scalaires et uni- dimensionnelles)
et
∂tv(t, x) + ∂x[g(v(t, x))] = 0, v(0,·) = u0 (9.50)
issues de la mˆeme donn´ee initiale u0, alors on a
dH(u(t,·), v(t, ·)) ≤ C(t)kf0− g0kL∞ (9.51)
avec C(t) = max{tB/A, (1 + tB/A)/A}.
Preuve. Commen¸cons par observer que f00et g00´etant tous deux minor´es par un A > 0, leurs transform´ees de Legendre f∗ et g∗ v´erifient
k(f∗)0− (g∗)0kL∞ ≤ ε/A (9.52)
o`u ε := kf0 − g0kL∞. Fixons pour cela un s et notons u = (f∗)0(s) et v = (g∗)0(s).
Quitte `a intervertir g et f (les hypoth`eses sont sym´etriques), on peut supposer que u≤ v, on a alors
s = f0(v)≥ f0(u) + A(u− v) ≥ g0(u)− ε + A(u − v) = s − ε + A(u − v), (9.53) d’o`u l’on d´eduit|(f∗)0(s)− (g∗)0(s)| = u − v ≤ ε/A.
On peut alors ´etablir que u et v v´erifient
v(t, x−+ t∆)≤ u(t, x+) + (ε + ∆)/A (9.54) pour tout x∈ R, tout t > 0 et tout ∆ > εB/A. Consid´erons pour cela un minimiseur y = y(t, x) deL(·, t, x) := Lu0,f(·, t, x), et montrons que les minimiseurs ˜y de ˜L(·, t, x +
t∆) :=Lu0,g(·, t, x + t∆) v´erifient tous ˜y ≥ y d`es lors que ∆ > Bε/A. En utilisant le
fait queL(y, t, x) ≤ L(z, t, x) pour tout z, on calcule que la quantit´e
K(z) := ˜L(z, t, x + t∆) − ˜L(y, t, x + t∆) (9.55) v´erifie pour z < y K ≥ ˜L(z, t, x + t∆) − ˜L(y, t, x + t∆) − L(z, t, x) + L(y, t, x) = t g∗ x − z + t∆ t − g∗ x − y + t∆ t − f∗ x − z t + f∗ x − y t = Z y z (g∗)0 x − s + t∆ t − (f∗)0 x − s t ds ≥ Z y z (f∗)0 x − s + t∆ t − (f∗)0 x − s t ds− ε(y − z)/A ≥ [inf((f∗)00)∆− ε/A](y − z) > 0 (9.56)
pour tout ∆ > Bε/A, en utilisant `a nouveau inf((f∗)00) = 1/ sup(f00)≥ 1/B.
9.4. R´esultats n´egatifs