Pour ´etablir la pr´ecision d’un sch´ema de discr´etisation en temps du syst`eme de Vlasov-Poisson dans la section 6.1.2, on aura besoin d’utiliser la r´egularit´e des solutions f et E. On sait (et l’on peut citer sur ce sujet l’article [55] de Raviart) que lorsque la solution initiale f0appartient `a un espace de Sobolev Wm,p, c’est ´egalement le cas de la
solution f (t) pour tout t <∞. Plus pr´ecis´ement, la r´egularit´e dont on aura besoin est r´esum´ee dans la proposition suivante. On en donne ici une preuve compl`ete (inspir´ee notamment des techniques expos´ees dans le livre [34] de Glassey), car elle est assez simple dans ce contexte uni-dimensionnel, et qu’on s’en est inspir´e pour ´etablir des estimations d’erreur dans l’´etude du sch´ema num´erique.
Proposition 4.3 On d´esigne ici par Ω l’espace des phases T× R p´eriodis´e en x. Si f0 appartient `a W1,∞(Ω) et v´erifie les hypoth`eses (4.30)-(4.31) du th´eor`eme de Cooper
et Klimas, alors pour tout temps final T <∞, la solution poss`ede un support born´e en vitesse
Σv(f (t)) := sup{|v| : ∃x, f(t, x, v) > 0} ≤ Σv(f0) + 2T, t≤ T (4.36)
et satisfait les estimations de r´egularit´e suivantes :
kfkL∞([0,T ];W1,∞(Ω)) ≤ C(f0, T ) k∂tfkL∞([0,T ];L∞(Ω)) ≤ C(f0, T ) kEkL∞([0,T ];W2,∞([0,1])) ≤ C(f0, T ) k∂tEkL∞([0,T ];W1,∞([0,1])) ≤ C(f0, T ) k∂2 ttEkL∞([0,T ];L∞([0,1])) ≤ C(f0, T ). (4.37)
Preuve. Pour commencer, montrons que les bornes
kEkL∞([0,T ];W1,∞([0,1]))≤ C(T ) (4.38)
et
k∂tEkL∞([0,T ];L∞([0,1]))≤ C(T ) (4.39)
s’obtiennent d`es que f0est continue (elles sont d’ailleurs prouv´ees dans [24]). La conser-
vation de f le long des trajectoires caract´eristiques (4.15) entraˆınant d’une part un “principe du maximum” en temps
0≤ f ≤ kf0kL∞(Ω), (4.40)
d’autre part une propagation born´ee en vitesse Σv(f (t))− Σv(f0)≤ sup
(x,v)∈Ω
Z T
0 |∂t
V (τ ; 0, x, v)| dτ ≤ T kEkL∞([0,T ];L∞([0,1])), (4.41)
on obtient en utilisant successivement (4.34), (4.40) et (4.32) : kE(t)kL∞([0,1])≤ kKkL∞
Z Z
|f(t, x, v)| dx dv + 1
4.3. R´egularit´e des solutions classiques Grˆace `a (4.41), cette derni`ere in´egalit´e entraˆıne (4.36). On a d’autre part
k∂xE(t,·)kL∞([0,1]))≤ Σv(f (t))kf0kL∞(Ω)+ 1 (4.43)
en utilisant l’´equation de Poisson (4.3), et
k∂tE(t,·)kL∞([0,1]))≤ Σv(f (t))2kf0kL∞(Ω)+
Z
vfp(v) dv
en utilisant la loi d’Amp`ere (4.29), ce qui ´etablit respectivement (4.38) et (4.39). Si on suppose ensuite f0∈ W1,∞(Ω), on peut ´ecrire
|f(t, x, v)−f(t, ˜x, ˜v)| = |f0(X0(t), V0(t))−f0( ˜X0(t), ˜V0(t))| ≤ |f0|W1,∞ |ex(t)|+|ev(t)| en d´esignant pour 0≤ s ≤ t ≤ T (X0, V0)(s) := (X, V )(t− s; t, x, v) ( ˜X0, ˜V0)(s) := (X, V )(t− s; t, ˜x, ˜v) et ex(s) := X0(s)− ˜X0(s) ev(s) := V0(s)− ˜V0(s) . (4.44) D’apr`es la d´efinition (4.16) des trajectoires caract´eristiques, ces quantit´es v´erifient e0x(s) = ev(s) et e0v(s) = E(t− s, X0(s))− E(t − s, ˜X0(s)). En utilisant (4.38), on
obtient donc
|e0x(s)| + |e0v(s)| ≤ C(T ) |ex(s)| + |ev(s)|. (4.45)
On en d´eduit que la fonction ψ(s) :=|ex(s)| + |ev(s)| v´erifie
ψ(t) = ψ(0) + Z t 0 e0x(s) ds + Z t 0 e0v(s) ds ≤ ψ(0) + C(T ) Z t 0 ψ(s) ds, (4.46) et le lemme de Gronwall (1.5) nous permet d’´ecrire
|ex(t)| + |ev(t)| ≤ C(T ) |ex(0)| + |ev(0)| ≤ C(T ) |x − ˜x| + |v − ˜v|. (4.47)
Ceci nous montre que f (t) est bien uniform´ement lipschitzienne sur [0, T ], et par cons´e- quent que la normekfkL∞([0,T ];W1,∞(Ω)) est bien finie pour tout temps T . La borne
k∂tf (t)kL∞(Ω)≤ Q(T )k∂xf (t)kL∞(Ω)+kEkL∞([0,1])k∂vf (t)kL∞(Ω)
provient alors directement de l’´equation de Vlasov (4.2). Voyons maintenant le champ ´electrique : en d´erivant l’´equation de Poisson (4.3) par rapport `a x et t, on obtient respectivement
k∂xx2 EkL∞([0,T ];L∞([0,1])) ≤ Q(T )k∂xfkL∞([0,T ];L∞(Ω)) (4.48)
k∂tx2E(t)kL∞([0,T ];L∞([0,1]))≤ Q(T )k∂tfkL∞([0,T ];L∞(Ω)), (4.49)
et on majore facilementk∂2
ttEkL∞([0,T ];L∞([0,1]))en d´erivant l’´equation d’Amp`ere (4.29)
Chapitre 5
Le sch´ema adaptatif
semi-lagrangien dans un cadre
abstrait
Afin de mettre en avant notre strat´egie d’adaptation dynamique des maillages de calculs, on consid`ere dans ce chapitre un probl`eme de transport “abstrait” de type Vlasov, qu’on suppose discr´etis´e en temps par une m´ethode lagrangienne dont les propri´et´es s’inspirent de celles qu’on ´etablira au chapitre suivant pour un sch´ema de time-splitting appliqu´e au syst`eme de Vlasov-Poisson.
On commence donc par d´ecrire ces hypoth`eses - num´erot´ees de (HT.1) `a (HT.5) - avant de pr´esenter la fa¸con dont notre sch´ema fait ´evoluer les maillages d’un pas de temps `a l’autre. Cette ´evolution se fait en deux ´etapes : lors d’une premi`ere ´etape, on pr´edit le maillage sur lequel sera approch´ee la prochaine solution num´erique. On calcule alors cette solution, et dans une deuxi`eme ´etape, on corrige le maillage pr´edit pour ´equilibrer au mieux la courbure totale de la solution obtenue. D’un point de vue algorithmique, et dans la mesure o`u notre sch´ema met en œuvre les ´el´ements finis multi-´echelles introduits au chapitre 2, il est possible de d´ecrire cette strat´egie d’adap- tation de maillage en ne faisant intervenir que des maillages dyadiques compos´ees de cellules carr´ees.
La principale nouveaut´e de notre approche r´eside alors sans doute dans l’op´erateur de pr´ediction de maillage T [A] qu’on pr´esente dans la section 5.2, et qui repose es- sentiellement sur un calcul des trajectoires caract´eristiques associ´ees au flot A. Cet op´erateur, qui associe `a un maillage dyadique un autre maillage dyadique, ne trans- porte ´evidemment pas les mailles de fa¸con exacte, mais par simplicit´e, nous en parlerons comme d’un op´erateur de “transport de maillages”. Enfin, et sous r´eserve de v´erifier les hypoth`eses (HT.1)-(HT.5) faites sur le probl`eme abstrait et sur sa discr´etisation en temps, on ´etablit un r´esultat de pr´ecision uniforme a priori pour ce sch´ema adaptatif, ainsi qu’une analyse partielle de sa complexit´e.
5.1
Hypoth`eses de travail
On s’int´eresse donc `a une ´equation de transport de type Vlasov
∂tf (t, x, v) + F (t, x, v)· ∇x,vf (t, x, v) = 0, t > 0, (x, v)∈ R2 (5.1)
associ´ee `a une condition initiale
f (0,·) = f0 ∈ W1,∞,
o`u la non-lin´earit´e vient du fait que le terme de force F : R+×R2→ R2 est coupl´e avec
f . On supposera n´eanmoins que la solution f existe de fa¸con unique sur tout intervalle de temps [0, T ], et qu’elle est uniform´ement lipschitzienne
f ∈ L∞([0, T ]; W1,∞(R2)). (5.2) On supposera aussi qu’entre les instants tn:= n∆t et tn+1, f est transport´ee le long de
trajectoires caract´eristiques t → (X(t), V (t)) = (X(t; tn, x, v), V (t; tn, x, v)) associ´ees
au champ F (t, x) de la mˆeme fa¸con qu’en (4.15)-(4.16). L’op´erateur de transport exact Texact =Texact
∆t : f (tn)→ f(tn+1) peut alors s’´ecrire sous la forme
Texactf (tn) = f (tn)◦ Aexact[f (tn)]−1, (5.3)
o`u
Aexact[f (tn)] : (x, v)→ (X(tn+1; tn, x, v), V (tn+1; tn, x, v))
d´esigne le diff´eomorphisme de R2 dans lui-mˆeme qui repr´esente le flot caract´eristique entre tn et tn+1.
D’autre part, on suppose connue une discr´etisation en temps mat´erialis´ee par un op´e- rateur de transport approch´eT : W1,∞(R2)→ W1,∞(R2) v´erifiant
T f(tn) = f (tn)◦ A[f(tn)]
−1
≈ f(tn+1), (5.4)
o`u A[f(tn)] = A∆t[f (tn)] d´esigne un diff´eomorphisme de R2 dans lui-mˆeme qui ap-
proche le flot caract´eristique exactAexact[f (t
n)]. On peut signaler que dans le chapitre
6, ce transport approch´e sera donn´e par (6.6)-(6.7).
Remarque 5.1 (`a propos de la non-lin´earit´e des op´erateurs de transport) L’´equation (5.1) ´etant non-lin´eaire, il en est de mˆeme pour les op´erateurs de transport Texact et T . En ce qui concerne les flots caract´eristiques (exacts ou approch´es), ceci
se manifeste par une d´ependance vis-`a-vis d’une “donn´ee de d´epart” lipschitzienne : A[g], par exemple, correspond au d´eplacement des trajectoires “issues” de g ∈ W1,∞
pendant une dur´ee ∆t , (ind´ependamment, d’ailleurs, de l’instant initial). On notera A[·] l’op´erateur de d´eplacement approch´e d´efini par (5.4), la lettre A seule d´esignant un diff´eomorphisme quelconque de R2, ´eventuellement donn´e par A[g]. Parall`element,
on pourra d´esigner parT [g]: ˜g → ˜g◦ A[g]−1
l’op´erateur de transport lin´eraire associ´e `
5.1. Hypoth`eses de travail
5.1.1 Pr´ecision et r´egularit´e du transport approch´e
Notre premi`ere hypoth`ese porte sur l’ordre de la discr´etisation en temps. On sup- pose ainsi qu’il existe un σ > 0 pour lequel
kf(tn+1)− T f(tn)kL∞ ≤ c1∆tσ+1. (HT.1)
En utilisant (5.2), on pourra remarquer qu’il suffit pour cela que les d´eplacements approch´es v´erifient sup x∈R2 A[f(tn)] −1 (x)− Aexact[f (tn)]−1(x) ≤ C ∆t σ+1, (5.5)
o`u |x| := maxi|xi| d´esigne la norme `∞ de R2.
On supposera ´egalement que les d´eplacements A[g] et A[g]−1
sont uniform´ement lipschitziens. Plus pr´ecis´ement, qu’il existe une constante c2 telle que
A[g](x) − A[g](x0)
≤ c2|x − x0| (HT.2)
et une constante c3< 2 telle que
A[g] −1 (x)− A[g]−1 (x0) ≤ c3|x − x 0| (HT.3)
pour toute fonction g∈ W1,∞.
Remarque 5.2 Dans le chapitre suivant, cette hypoth`ese sera v´erifi´ee d`es lors que le pas de temps ∆t sera inf´erieur `a une constante qui d´ependra uniquement de la donn´ee initiale f0 et du temps final T = N ∆t . En particulier, ∆t ne sera pas soumis `a une
condition de type Courant-Friedrichs-Lewy, difficilement compatible avec la pr´esence de mailles arbitrairement fines.
Enfin, le transport approch´e v´erifiera une propri´et´e de “∆t -stabilit´e” vis-`a-vis des per- turbations de densit´es
k[T [g1]− T [g2]]g3kL∞ ≤ c4∆t|g3|W1,∞kg1− g2kL∞. (HT.4)
Remarque 5.3 Les hypoth`eses (HT.1) et (HT.4) correspondent `a une pr´ecision glo- bale d’ordre σ pour le sch´ema de discr´etisation en temps
fτ0 := f0 et fτn+1 :=T fτn.
On a en effet apr`es N pas de temps
kf(N∆t ) − fτNkL∞ ≤ C∆tσ, (5.6)
la constante C ne d´ependant que de c1, c4, du temps final N ∆t et de f0. Pour le voir,
on peut “fixer la lin´earit´e” des op´erateurs de transport en ´ecrivant ˜Tn = T [f(t n)] et
Tn
τ =T [fτn], ce qui nous permet de d´ecomposer eτn+1:=kf(tn+1)− fτn+1kL∞ suivant
eτn+1 ≤ kf(tn+1)− T f(tn)kL∞+k ˜Tn− Tτnf (tn)kL∞+kTτn f (tn)− fτnkL∞
≤ c1∆tσ+1+ (1 + c4∆t|f(tn)|W1,∞)kf(tn)− fτnkL∞
≤ C∆tσ+1+ (1 + C∆t )eτn.
Pour la deuxi`eme in´egalit´e, on a utilis´e les hypoth`eses (HT.1), (HT.4) et le fait qu’un transport ne fait jamais augmenter la norme L∞. Quant `a la troisi`eme, elle vient de l’hypoth`ese (5.2). L’estimation (5.6) d´ecoule alors du lemme de Gronwall discret 1.4.
5.1.2 Stabilit´e locale vis-`a-vis de l’indicateur d’erreur
On ´enonce `a pr´esent une hypoth`ese qui sera fondamentale dans l’analyse d’erreur du sch´ema, et qui exprime `a la fois une propri´et´e de l’op´erateur de transport approch´e T et des discr´etisations adaptatives.
Dans la premi`ere partie, on a montr´e que la semi-norme W2,1 d’une fonction g don-
n´ee (ou sa courbure totale, si elle n’appartient qu’`a l’espace BC(R2)) pouvait ˆetre
vue comme un bon indicateur local de l’erreur d’interpolation affine par morceaux kg − PMgkL∞ associ´ee `a un maillage dyadique M . Par “bon indicateur”, on entend ici
– d’une part, le fait que cet indicateur contrˆole localement les erreurs d’interpola- tion, au sens des propositions 2.13 et 3.11,
– d’autre part, le fait qu’un maillage dyadique obtenu par un ´equilibrage de ces in- dicateurs aura une complexit´e optimale ou quasi-optimale, au sens des th´eor`emes 2.1 et 3.2.
La propri´et´e de compatibilit´e qu’on exige alors du transport approch´e est une stabilit´e locale vis-`a-vis de ces indicateurs d’erreur. Pour ´ecrire cette propri´et´e, on va d´esigner parE(g, α) l’indicateur d’erreur (6.15) qu’on sera amen´e `a consid´erer au chapitre sui- vant. Cet indicateur sera d´efini pour une fonction g ∈ W1,∞∩ BC(R2) et une cellule
dyadique α ∈ D(R2), et de mˆeme que la courbure totale |g|BC(α) (et la semi-norme |g|W2,1(α)), il v´erifiera les propri´et´es suivantes :
1. E contrˆole les erreurs locales de projection au sens o`u kg − PMgkL∞(α)≤ C
X
β∈VM(α)
E(g, β) pour tout α ∈ M (5.7) pour une constante C ind´ependante du maillage dyadique M ∈ M(R2) et de la
fonction g (l’ensembleVM(α) d´esignant les cellules voisines de α dans le maillage
M ).
2. pour toute fonction g, l’indicateur a prioriE(g, ·) est sous-additif X
β∈F(α)
E(g, β) ≤ E(g, α), (5.8)
de sorte qu’en d´esignant par
E`0(g) :=
X
`(α)=`0
E(g, α) (5.9)
la somme de ses valeurs prises au niveau le plus bas, on voit que X
α∈M
E(g, α) ≤ E`0(g) (5.10)
pour toute partition dyadique M , gradu´ee ou non.
3. lorsque α est une cellule de M , PM est stable par rapport `a E(·, α), au sens o`u
E(PMg, α)≤ CE(g, α) (5.11)
5.2. Gestion dynamique des maillages